高考数学第十章计数原理、概率、随机变量及其分布4第4讲随机事件与古典概型练习理（含解析）.docx

第4讲 随机事件与古典概型 基础题组练1(2019高考全国卷)西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90位，阅读过红楼梦的学生共有80位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A0.5 B0.6C0.7 D0.8解析：选C.根据题意阅读过红楼梦西游记的人数用韦恩图表示如下：所以该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为0.7.2(2019福建漳州一模)甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“论语知识大赛”，决出第1名到第5名的名次甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说：“你当然不会是最差的”，从上述回答分析，丙是第一名的概率是()A. B.C. D.解析：选B.由于甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊又因为所有的限制条件对丙 、丁或戊都没有影响，所以这三个人获得第一名是等概率事件，所以丙是第一名的概率是.故选B.3(2019河南郑州模拟)现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为()A. B.C. D.解析：选C.将5张奖票不放回地依次取出共有A120种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票，共有3AAA36种取法，所以P.故选C.4(2019甘肃兰州模拟)双曲线C：1 (a0，b0)，其中a1，2，3，4，b1，2，3，4，且a，b取到其中每个数都是等可能的，则直线l：yx与双曲线C的左、右支各有一个交点的概率为()A. B.C. D.解析：选B.直线l：yx与双曲线C的左、右支各有一个交点，则1，总基本事件数为4416，满足条件的(a，b)的情况有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个，故概率为.5(2019武汉市调研测试)大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为()A. B.C. D.解析：选C.依题意，小明与另外3名大学生分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学的分配方法是1个学校2人，另外2个学校各1人，共有CA36(种)分配方法，若小明必分配到甲村小学，有CACA12(种)分配方法，根据古典概型的概率计算公式得所求的概率为，故选C.6(2019高考全国卷)我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_解析：经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98.答案：0.987从19这9个自然数中任取7个不同的数，则这7个数的平均数是5的概率为_解析：从19这9个自然数中任取7个不同的数的取法共有C36种，从(1，9)，(2，8)，(3，7)，(4，6)中任选3组，有C4种选法，故这7个数的平均数是5的概率为.答案：8一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称这个三位数为“好数”(如213，134)，若a，b，c1，2，3，4，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“好数”的概率是_解析：从1，2，3，4中任选3个互不相同的数并进行全排列，共组成A24个三位数，而“好数”的三个位置上的数字为1，2，3或1，3，4，所以共组成2A12个“好数”，故所求概率为.答案：9某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)01 0002 0003 0004 000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)0.15，P(B)0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)P(B)0.150.120.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.11 000100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.212024(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为0.24，由频率估计概率得P(C)0.24.10设a2，4，b1，3，函数f(x)ax2bx1.(1)求f(x)在区间(，1上是减函数的概率；(2)从f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1)处的切线互相平行的概率解：(1)由题意1，即ba.而(a，b)共有CC4种，满足ba的有3种，故概率为.(2)由(1)可知，函数f(x)共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法因为函数f(x)在(1，f(1)处的切线的斜率为f(1)ab，所以这两个函数中的a与b之和应该相等，而只有(2，3)，(4，1)这1组满足，故概率为.综合题组练1(2019泉州模拟)已知甲、乙、丙各有一张自己的身份证，现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、丙每人一张，则恰有一人取到自己身份证的概率为()A. B.C. D.解析：选A.甲、乙、丙各有一张自己的身份证，现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、丙每人一张，基本事件总数nA6，恰有一人取到自己身份证包含的基本事件个数mCCC3，所以恰有一人取到自己身份证的概率为p.故选A.2(2019河南开封模拟)如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个223的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为()A. B.C. D.解析：选B.根据题意，最近路线就是不能走回头路，不能走重复的路，所以一共要走3次向上，2次向右，2次向前，共7次，所以最近的行走路线共有A5 040(种)因为不能连续向上，所以先把不向上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列为A.接下来，就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中，5个位置排3个元素，也就是A，则最近的行走路线中不连续向上攀登的路线共有AA1 440(种)，所以其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率P.故选B.3连续抛掷同一颗均匀的骰子，记第i次得到的向上一面的点数为ai，若存在正整数k，使a1a2ak6，则称k为幸运数字，则幸运数字为3的概率是_解析：连续抛掷同一颗均匀的骰子3次，所含基本事件总数n666，要使a1a2a36，则a1，a2，a3可取1，2，3或1，1，4或2，2，2三种情况，其所含的基本事件个数mAC110.故幸运数字为3的概率为P.答案：4如下的三行三列的方阵中有九个数aij(i1，2，3；j1，2，3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率为_解析：从九个数中任取三个数的不同取法共有C84种，取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有CCC6种，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1.答案：5某电子商务公司随机抽取1 000名网络购物者进行调查这1 000名购物者2017年网上购物金额(单位：万元)均在区间0.3，0.9内，样本分组为：0.3，0.4)，0.4，0.5)，0.5，0.6)，0.6，0.7)，0.7，0.8)，0.8，0.9，购物金额的频率分布直方图如下：电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额(单位：元)与购物金额关系如下：购物金额分组0.3，0.5)0.5，0.6)0.6，0.8)0.8，0.9发放金额50100150200(1)求这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数；(2)以这1 000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率解：(1)购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表：x0.3x0.50.5x0.60.6x0.80.8x0.9y50100150200频率0.40.30.280.02这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数为(5040010030015028020020)96.(2)由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系及(1)知，P(y150)P(0.6x0.8)0.28，P(y200)P(0.8x0.9)0.02，从而，获得优惠券金额不少于150元的概率为P(y150)P(y150)P(y200)0.280.020.3.6某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：若xy3，则奖励玩具一个；若xy8，则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说