2020版高考数学第7章立体几何第2节空间点、直线、平面之间的位置关系教学案理新人教版.docx

第二节空间点、直线、平面之间的位置关系考纲传真1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题1四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：(0，903直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况4平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况5等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补常用结论1公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面2异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图所示基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.()(2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线()(3)平面ABC与平面DBC相交于线段BC.()(4)没有公共点的两条直线是异面直线()答案(1)(2)(3)(4)2下列命题正确的是()A经过三点确定一个平面B经过一条直线和一个点确定一个平面C四边形确定一个平面D两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D依据公理2可知D选项正确3(教材改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()A30B45C60 D90C连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1EF，故D1B1C为所求的角，又B1D1B1CD1C，D1B1C60.4已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A空间四边形 B矩形C菱形 D正方形B如图，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，易知EH綊BD，FG綊BD，EH綊FG，四边形EFGH为平行四边形，又ACBD，故EFFG，四边形EFGH为矩形故选B.5在三棱锥SABC中，G1，G2分别是SAB和SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是_平行如图所示，连接SG1并延长交AB于M，连接SG2并延长交AC于N，连接MN.由题意知SM为SAB的中线，且SG1SM，SN为SAC的中线，且SG2SN，在SMN中，G1G2MN，易知MN是ABC的中位线，MNBC，因此可得G1G2BC.空间两条直线的位置关系1对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使得m与l()A平行B相交C垂直 D互为异面直线C若l，则排除选项D；若lA，则排除选项A；若l，则排除选项B，故选C.2设a，b，c是空间中三条不同的直线，给出下面四个说法：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；若a平面，b平面，则a与b一定是异面直线其中说法正确的是_(写出所有正确说法的序号)显然正确；若ab，bc，则a与c可以相交，平行，异面，故错误；当a与b相交，b与c相交时，a与c可能相交，也可能平行，还可能异面，故错误；中a与b的关系，也可能有相交，平行，异面三种情况，故错误故只有正确3(2019唐山模拟)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号) 图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H平面GMN，因此GH与MN异面所以在图中GH与MN异面规律方法1.要判断空间两条直线的位置关系(平行、相交、异面)，可利用定义及公理4，借助空间想象并充分利用图形进行判断.2.判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如正方体、空间四边形等)模型来推断；二是利用排除法.3.在判断两条异面直线位置关系时，多用反证法.平面的基本性质及应用【例1】如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E，C，D1，F四点共面(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，则由P直线CE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA，CE，D1F，DA三线共点规律方法1.证明线共面或点共面的常用方法(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面.(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合.2.证明点共线问题的常用方法(1)基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上.(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.3.证明三线共点问题常用的方法：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上. 如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线证明(1)因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EFBD.在BCD中，所以GHBD，所以EFGH.所以E，F，G，H四点共面(2)因为EGFHP，PEG，EG平面ABC，所以P平面ABC.同理P平面ADC.所以P为平面ABC与平面ADC的公共点又平面ABC平面ADCAC，所以PAC，所以P，A，C三点共线异面直线所成的角【例2】(1)(2018银川二模)已知P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M，N分别是AB，PC的中点，若MNBC4，PA4，则异面直线PA与MN所成角的大小是()A30 B45C60 D90(2)在三棱锥SABC中，ABAC，ABACSA，SA平面ABC，D为BC中点，则异面直线AB与SD所成角的余弦值为()A. B.C. D.(1)A(2)B(1)连接AC，并取其中点O，连接OM，ON，则OM綊BC，ON綊PA，ONM是异面直线PA与MN所成的角，由MNBC4，PA4，得OM2，ON2，MN4，cosONM，又ONM(0，90，ONM30，即异面直线PA与MN所成角的大小为30，故选A.(2)以A为原点，建立空间直角坐标系Axyz，如图所示设ABACSA2，则(0,0,2)，(2,0,0)，(0,2,0)，(1,1,0)，(1,1，2)cos，.故选B.规律方法1.用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.2.当题设中含有两两垂直的三边关系时，常借助坐标法求异面直线所成的角.(1)如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是()A. B.C. D2(2)(2019安庆模拟)正四面体ABCD中，E，F分别为AB，BD的中点，则异面直线AF，CE所成角的余弦值为_(1)B(2)(1)如图，取AC中点G，连接FG，EG，则FGC1C，FGC1C，EGBC，EGBC，故EFG即为EF与C1C所成的角，在RtEFG中，cosEFG.(2)取BF的中点G，连接CG，EG(图略)，易知EGAF，所以异面直线AF，CE所成的角即为GEC(或其补角)不妨设正四面体棱长为2，易求得CE，EG，CG，由余弦定理得cosGEC，所以异面直线AF，CE所成角的余弦值为.1.(2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.B.C. D.C法一：如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM，易知O为BD1的中点，所以AD1OM，则MOD为异面直线AD1与DB1所成角因为在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，AD12，DM，DB1，所以OMAD11，ODDB1，于是在DMO中，由余弦定理，得cosMOD，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故选C.法二：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示由条件可知D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)，所以(1,0，)，(1,1，)，则由向量夹角公式，得cos，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故选C.2.(2017全国卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A. B.C. D.C以B1为坐标原点，B1C1所在的直线为x轴，垂直于B1C1的直线为y轴，BB1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示由已知条件知B1(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(1,0,0)，A(1，1)，则(1,0，1)，(1，1)所以cos，.所以异面直线AB1与BC1所成的角的余弦值为.故选C.3(2016全国卷)平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为()A.