chapter5特征值与特征向量.ppt

1,第5章 特征值问题 二次型,矩阵特征值理论在许多实际问题的解决中起着重要作用.本章本章着重介绍了矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，给出了矩阵与对角矩阵相似的条件,并对实二次型的有关内容进行了讨论.,2,第5章 特征值问题 二次型,特征值与特征向量 相似矩阵 二次型及其标准形 正定二次型,3,第5.1节 特征值与特征向量,教学目的：掌握特征值与特征向量概念及其性质 教学重点：特征值与特征向量的求法 教学难点：特征值与特征向量性质 教学方法：讲练结合 教学步骤：如下：,返回,4,1.特征值与特征向量概念,(1)特征值与特征向量定义 设A为n阶方阵，若存在数 及非零向量x使 Ax = x 则称数 为A的特征值，x为A的对应于 的特征 向量. 例如,注：对应于同一特征值的特征向量不惟一； 一个特征向量不能对应于不同特征值.,所以1为A的一个特征值，,特征值1的特征向量.,5,(2)相关概念,将特征值与特征向量定义式 Ax = x 改写为 x Ax =0 即 ( E A )x = 0 称,6,(3)特征值与特征向量求法,依据 ( E A )x = 0 知： 特征向量 x 为该齐次线性方程组的非零解； 而齐次线性方程组有非零解的充要条件是 系数矩阵的行列式EA =0,即A的特征值 为特征方程的根. 步骤如下 (i)求出特征方程EA =0的全部根 1,2, n, 即A的全部特征值； (ii)对每个i ,求方程组( iEA )x = 0 的所有非零 解即为A的对应于特征值i 的特征向量.,分 析,7,例1 求矩阵A的特征值和特征向量,解 (i),(ii),8,例2,解(i),9,(ii),10,例3 求矩阵A的特征值和特征向量,解 (i),(ii),11,例2与例3中, 重特征值所 对应的线性 无关特征向 量的个数是 不相同的.,12,2.特征值与特征向量的性质,(1)特征值的性质 定理1 若1,2, n为方阵A的n个特征值，则 (i) 12n =A; (ii) 1+2+ n= a11+a22+ann=tr(A). 证 (i)根据多项式因式分解与方程根的关系，有 EA = (-1)(-2)(-n) 令=0，得A = (-1)(-2)(-n)=(-1)n 12n ,即 A=12n . (ii)略.,13,定理2 若为方阵A的特征值，则 (i) k为Ak(k为正整数 )的一个特征值; (ii) 若f(x)为x的多项式,则f()为f(A)的一个特征值； (iii)若A可逆,则-1为A-1的一个特征值; -1A为A*的 一个特征值; 定理3 n 阶方阵A与AT 有相同的特征值. 证 由于 (EA)T= (E)TAT= EAT ,所以 EA = (EA)T = EAT 即A与AT 有相同的特征值.,14,定理2的证明,15,例4 已知3阶方阵A的特征值为1，2，-3.求 (1) 2A的特征值；(2) A1的特征值; (3 tr(A),|A|; (4) A*的特征值; (5) A2的特征值; (6) B=A22A+E的特征值及|B|.,解 由特征值的性质 ，得 (1) 2A的特征值为2，4， 6； (2) A1的特征值为1，1/2， 1/3; (3) tr(A)=1+2+( 3)=0, |A|= 12 (-3)= 6; (4) A*的特征值为 6， 3，2; (5) A2的特征值为1，4，9; (6) B=A22A+E的特征值为2 2+1即0，1，16； |B|=0.,16,(2)特征向量的性质,定理4 方阵A的对应于不同特征值的特征向量线 性无关. 证 设1,2, m为方阵A的m个不同特征值, x1,x2, xm为相应的特征向量. 当m=1时,x10(单个的非零向量线性无关),定理 成立. 假设对m1不同的特征值定理成立，现证对m个 不同特征值定理也成立.设 k1x1+k2x2+kmxm=0 (*) 用方阵A左乘上式两端,得 k1Ax1+k2Ax2+ks Axm=0,17,再利用 Axi=i xi ( i=1,2, ,m),得 k11x1+k22x2+kmmxm=0 (*) (*)- m(*),得 k1(1m)x1+k2(2m)x2+km-1(m-1m)xm-1=0 由归纳假设, x1,x2,xm-1线性无关.因而 ki (im)=0 i=1, 2, ,m-1 但(im)0(i=1, 2,m-1),于是ki=0(i=1, 2,m-1). 此时式(*)变成 km xm=0, 而 xm0 ，所以 km=0. 这就证明了x1,x2,xm线性无关. ,18,关于对应于同一个特征值的特征向量间的关系，有,定理5 若0是方阵A的k重特征值，则对应于0的 线性无关特征向量个数不超过k个. 当A为实对称矩阵时，有 定理6 实对称矩阵A的k重特征值恰好有k个对应 于此特征值的线性无关的实特征向量.,思考练习,19,第5.2节 相似矩阵,教学目的：相似矩阵的定义，矩阵与对角矩阵相似的条件，实对称矩阵的对角化定理 教学重点：相似矩阵的性质，矩阵与对角矩阵相似的条件，实对称矩阵的对角化定理 教学难点：矩阵与对角矩阵相似的条件实对称矩阵的对角化定理 教学方法：讲练结合 教学步骤：如下：,返回,20,1.相似矩阵,(1)相似矩阵定义: 设A、B为n阶方阵，若存在可逆矩阵P,使 P1AP =B 称矩阵A相似于矩阵B,或称A与B相似.记为AB. 例如,注: AA； 若AB，则B A； 若 AB ,B C 则AC . AB A与B等价.,21,(2)相似矩阵的性质,(i) 若AB,则|A|= |B|； (ii) 若AB,则E A E B,从而| E A|=| E B| , 进而有相同的特征值，有相同的迹； (iii) 若AB,则Am Bm, kA kB; (iv) 若AB, f(x)为多项式,则f(A)f(B); (v) 若AB,且均可逆，则A1 B1； (vi) 若AB,则r(A)=r(B).,22,证 设矩阵A与B相似,即有P1AP=B,则,(i) |B| = | P1AP |= | P1| |A| |P|= |A| ； (ii) E B= E P1AP= P1( E A )P,即 E A E B；再由(i)得 | E A |= | E B|； 进而有相同的特征值，有相同的迹； (iii)Bm=( P1AP ) m=(P1AP )(P1AP ) (P1AP ) =P1AmP, 即Am Bm ； P1 (kA)P =k (P1AP )=kB , 即 kA kB; (iv) 由(iii)及矩阵的运算性质即得f(A)f( B); (v) B1 =(P1AP ) 1 =P1A1(P1)1 =P1A1P ； (vi) AB时，A与B等价，从而r(A)=r(B).,23,例1,解 因相似矩阵有相同的特征值,故A与B有相同的 特征值 2, y, 1. 由特征值的性质，有 2+0+x=2+y +(1) 2= |A|= 2y (1) = 2y 得 y=1，x=0.,24,2.矩阵与对角矩阵相似的条件(矩阵可对角化的条件),(1) A可对角化的定义 若A与对角矩阵相似，称A可对角化. (2) A可对角化的条件 定理,证 (),25,26,(),27,推论 若A有n个互不相同的特征值, 则A可对角化. n阶方阵A可对角化 A的每个特征值的代数 重数与几何重数相等.,线性无关特征向量的个数,特征值的重数,(3)矩阵对角化的实施步骤,(i) 求出A的全部特征值 1, 2, n ； (ii)对每个i ,求方程组( i E A )x = 0 的基础解系 即为A的属于特征值i 的线性无关特征向量; (iii) 若A有n个线性无关特征向量 p1, p2, , pn,则 A与对角矩阵相似.令 P=(p1, p2, , pn)，则,28,例1 矩阵 能否对角化？若能，求可逆 矩阵P, 使P1 AP=为对角阵.,解 (i),(ii),29,30,例2 矩阵 能否对角化?若能, 求可逆 矩阵P, 使P1 AP=为对角阵.,解 (i),(ii),31,由于线性无关特征向量个数为23，因此该矩阵不能对角化.,32,(4)可对角化矩阵的简单应用,(i)由特征值和特征向量反求矩阵A: A=P P1 (ii) 求方阵的幂: Ak=Pk P1 例3 3阶方阵A有三个不同的特征值1=1, 2=2, 3 , 对应的特征向量分别为,33,解,(2)令 P=(p1, p2, p3) 则 P1AP=,34,35,思考练习,36,3.实对称阵的对角化,(1)实对称矩阵特征值与特征向量的性质 定理 (i)实对称矩阵的特征值都是实数; (ii)实对称矩 阵A的对应于不同特征值的特征向量相互正交;(iii)实 对称矩阵的每个特征值的代数重数与几何重数相等. 证 (ii)设1,2为A的两个不同特征值,1,2为对应的 特征向量,即 Ai= i i ( i=1,2) 因 2TA1= 2T11= 12T1 2TA1= 2TAT1= (A2)T1= (22)T1 =22T1 故 12T1=22T1即 (1- 2 )2T1=(1- 2 )2,1=0， 但1 2，因此 2,1=0，即2与1正交.,37,(2)实对称矩阵的对角化,定理 若A为n阶实对称矩阵,则存在正交矩阵Q，使 Q1AQ= QTAQ = 为对角阵, 的对角线上的元素为A的n个特征值.(证略) 用正交矩阵化A为对角阵的步骤： (i) 由 | E A |=0求出A的全部特征值 1, 2, n; (ii)对每个i ,求方程组( i E A )x = 0 的基础解系 即为A的属于特征值i 的线性无关特征向量; (iii) 将线性无关特征向量正交化、单位化，令 Q=(q1, q2, , qn) 则Q为正交矩阵，且使 Q1 AQ= QT AQ = 为对角阵.,38,例1,解 (i),(ii),39,40,(iii) 正交化、单位化,41,令 Q=(q1, q2, q3),则Q为正交矩阵，且使 Q1 AQ= QT AQ =,实对称矩阵A的重特征值对应的正交特征向量组的取法不唯一，故Q不唯一； 由于实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量必正交，故只须对属于同一特征值的线性无关的向量正交化即可.,42,第5.3节 二次型及其标准形,教学目的：掌握二次型概念，利用可逆线性变换把一个二次型化成标准形. 教学重点：化二次型为标准形的方法，惯性定理 教学难点：化二次型为标准形的方法，惯性定理 教学方法：讲授 讲学步骤：如下：,返回,43,称为n元二次型，简称二次型.,称为二次型的系数.,1.基本概念,(1)二次型定义,44,(2)二次型的标准形,只含有平方项的二次型，即,称为标准形. 例如：,一般二次型,标准型,45,(3)二次型的矩阵表示,二次型f 与实对称矩阵是一一对应的. 称A为二次型f 的矩阵；称A的秩为二次型f 的秩. 二次型f 的标准形与对角矩阵是一一对应的.,二次型的矩阵表示,46,例1 写出二次型的矩阵表示,解,47,问题：如何将一个二次型经过可逆（满秩）的线 性变换化为标准形？即通过怎样的线性变换将一 个带有交叉的二次齐次多项式(一般二次型)化简 为只含有平方项的二次齐式 (标准形).,2.化二次型为标准形 (1)正交变换法 由于二次型的矩阵A都是实对称矩阵，根据上 一节的结果知,存在正交矩阵Q ，使 Q1AQ= QT AQ = 为对角阵. 将此结论应用于二次型，有如下结论,48,定理 任意n元实二次型 f=xTAx，都可经正交变换 xQy化为标准形,用正交变换化二次型为标准形的步骤： 写出二次型 f 的矩阵A； 求正交矩阵Q，使得QT AQ =为对角阵； 正交变换x =Qy化二次型为标准形 f =yT y .,49,解,(i)二次型 f 的矩阵为,例2 求一个正交变换xQy把二次型,(ii)求出A的全部特征值及线性无关特征向量,化为标准形.,50,得对应的一个线性无关的特征向量,当1=0,时解方程组 (0E-A)x=0.,当2 =3=2,时解方程组 (2E-A)x=0.,得对应的线性无关的特征向量为,(iii)将所求特征向量正交化、单位化,因1 分别 与2，3正交,故只需将 2，3 正交化.,51,正交化,单位化,52,则正交变换xQy将二次型化为标准形,(iv)写出正交变换,令,53,(2)配方法,定理 任何实二次型，都可经过可逆线性变换化为 标准形. 例3 用配方化二次型为标准形,并求所用的可逆线性 变换.,解 (1)由于f 中含有x1的平方项,首先把含x1的项归并 起来进行配方，得,54,则可逆线性变换xCy化二次型为标准形：,55,解 (2)由于f 中不含有平方项,首先令,56,所求可逆线性变换为xCz，这里,配方法化二次型为标准形（小结） 利用和的平方公式逐步消非平方项（交叉项）. (1)若二次型含有xi的平方项，则把含有xi的项集中, 再按xi配成平方项，其余类推，直至都配成平方项； (2)若在二次型中没有平方项,但aij0(i j),则首先 作可逆线性变换：,化二次型为(1)的情形，再配方.,57,(3)初等变换法,定理 对任何实对称矩阵A ,一定存在初等矩阵 P1,P2 Ps,使 PsTP2TP1T AP1,P2 Ps= 为对角矩阵. 证 A为实对称矩阵, 故存在可逆线性变换xPy使 f(x1,xn)=xTAx=(Py)TA(Py)= yTPTAP y = yT y 为标准形. 由于P为可逆矩阵，因此可以写成一系列 初等矩阵的乘积,即 P=P1,P2 Ps 从而 PTAP=PsTP2TP1T AP1,P2 Ps=,定理表明：对A的行每作一次初等变换的同时，也对A的列作相同的初等变换，经过若干次这样的双变换就可把A化为对角矩阵.,58,初等变换化二次型为标准形的步骤： (1)构造2n n矩阵,(2),59,例3 用初等变换法将二次型化为标准形,并求相应的可逆线性变换.,解 二次型f 的矩阵,于是,60,则可逆线性变换x=Py化二次型为标准形,61,对实二次型 f=xTAx，用不同的可逆线性变换均可将其化为标准形，因此其标准形不惟一.但需要指出的是：尽管标准形不惟一，但标准形中非零平方项的个数唯一确定，它等于二次型的秩r，且含正号的项的个数（称为正惯性指数）和含负号的项的个数（称为负惯性指数）都唯一确定.这就是实二次型的惯性定理.,3.惯性定理 设实二次型f(x1,xn)=xTAx 的秩为r,可逆线性 变换xBy和xCz分别把它化为标准形,则p=q.(证明略),62,第5.4节 正定二次型,教学目的：掌握正定二次型定义及判定定理，负定、半正定、半负定二次型定义及判定定理 教学重点：正定二次型定义及判定定理，负定、半正定、半负定二次型定义及判定定理 教学难点：正定、负定、半正定、半负定二次型判定定理 教学方法：讲授 教学步骤：如下：,返回,63,1.基本概念,定义：设有实二次型f(x1,xn)=xTAx，如果对任意的 x0，都有 f(x1,xn)=xTAx0 称f 为正定二次型;相应的矩阵A称为正定矩阵，记为 A0; ；若对任意x0都有f0,称f为负定二次型,相应 的矩阵A称为负定矩阵；若对任何 x0 都有f 0，称 f为半正定二次型，若f0，称f 为半负定二次型，相 应的矩阵A分别称为半正定、半负定矩阵.,64,半负定二次型,正定二次型,负定二次型,半正定二次型,考察,2.正定二次型（正定矩阵）的判别,定理1：二次型经过可逆线性变换，其正定性不变.,65,证明,定理2 f(x1,xn) =xTAx正定(或A)的充分必要条 件是标准形的n个系数均为正. 证明 若可逆线性变换x=Cy使 f =xTAx=yT(CTAC)y=yTy =,由于C可逆，所以x0与y0等价.而y0时，,即标准形的n个系数均为正.,66,推论1 f=xTAx正定（或A）的充分必要条件是正 惯性指数等于n