福建省泉州市晋江季延中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题（含解析）.docx

福建省泉州市晋江季延中学2018-2019学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：A、B、C三个选项的关系无法判断或错误，而所以,故选D。考点：比大小（或者不等式证明）。2.椭圆1的离心率为，则k的值为（ ）A. 21 B. 21 C. 或21 D. 或21【答案】C【解析】试题分析：当焦点在轴时，当焦点在轴时，故选C考点：椭圆方程及性质3. 下列命题中，真命题是A. ，使得B. C. D. 是的充分不必要条件【答案】D【解析】A的值域为，所以“，使得”是假命题；B，当且仅当，即成立（而），所以“”为假命题；C当时，所以“”为假命题；D当，由不等式的性质，得；而满足，不满足，所以“是的充分不必要条件”是假命题；故选D考点：命题的判定4.对任意实数x，不等式恒成立，则正整数k的值为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】【分析】先判断，原不等式转化为，结合二次函数图象，利用判别式小于零，考虑为正整数，从而可得结果.【详解】因为恒成立， 且，设函数，即恒小于0，解得，又因为为正整数，故选A.【点睛】本题主要考查全称命题的定义，以及一元二次不等式恒成立问题，属于简单题. 一元二次不等式恒成立问题主要方法：（1）若实数集上恒成立，考虑判别式小于零即可；（2）若在给定区间上恒成立，则考虑运用“分离参数法”转化为求最值问题.5.已知是正项等比数列的前n项积，且满足，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析： ， ，与1的大小关系不确定，故选C考点：等比数列性质及单调性【方法点睛】本题综合考察了数列的单调性及常用性质：在等比数列中若有，则有，求解时首先由数列各项为正数且可知，由可知数列前7项都大于1，从第8项开始都小于1，因此A,B项中比较大小只需考虑两者间所差的项与1的大小关系即可求解，C,D项中判定乘积为1的大小关系，主要是看能否利用等比数列性质将其转化为前7项来表示，因此可借助于范围求得范围6.给出平面区域（含边界）如图所示，其中 ，若使目标函数 取得最大值的最优解有无穷多个，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由图可得，若使目标函数取得最大值的最优解有无穷多个，则直线的斜率与边界的斜率相等，利用斜率公式可得结果.【详解】目标函数，故目标函数是直线的截距，由图可知，当直线的斜率与边界的斜率相等时，目标函数取得最大值的最优解有无数多个，此时，即 ,故选B.【点睛】目标函数的最优解有无数多个,处理方法一般是：将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式；分析与截距的关系，是符号相同，还是相反；根据分析结果，结合图形做出结论；根据斜率相等求出参数.7.已知数列，,若该数列是递减数列，则实数的取值范围是( )A. (，6) B. (，4 C. (，5) D. (，3【答案】B【解析】数列an的通项公式是关于n(nN*)的二次函数，若数列是递减数列，则，即4.本题选择B选项.8.已知数列满足，是等差数列，则数列的前10项的和（ ）A. 220 B. 110 C. 99 D. 55【答案】B【解析】设等差数列的公差为，则，将已知值和等量关系代入，计算得，所以，所以，选B.点睛：本题主要考查求数列通项公式和裂项相消法求和，属于中档题。本题的关键是求出数列的通项公式。9.下列三图中的多边形均为正多边形，分别为正三角形、正四边形、正六边形，、是多边形的顶点，椭圆过且均以图中的为焦点，设图、中椭圆的离心率分别为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知图形把的坐标用含有的代数式表示，把的坐标代入椭圆方程，结合椭圆的定义与性质分别求出离心率后比较大小可得结论.【详解】由图知，由图知，点在椭圆上， ，则，整理得，解得，由图知，在椭圆上，则，整理得，故选B.【点睛】本题主要考查椭圆的定义、离心率及简单性质，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出;构造的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;根据圆锥曲线的统一定义求解10.关于x的方程有解，则实数的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简原方程可得，利用基本不等式求出的值域，可得的范围，从而可得结果.【详解】，（当且仅当，即，等号成立），故，实数的取值范围是，故选C.【点睛】已知函数有零点(方程有根)，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解11.已知是椭圆的左右焦点，P是椭圆上任意一点，过作的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为（ ）A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 四条线段【答案】B【解析】试题分析：连接并延长交于M点， 是外角的角平分线，所以是等腰三角形,所以 ,Q为中点，连接OQ，则OQ=，所以M表示以O为圆心为半径的圆，故选B考点：椭圆定义及动点轨迹方程【方法点睛】求动点的轨迹方程的一般步骤：建立合适的坐标系，设出所求点及相关点坐标，代入动点满足的关系式并将其坐标化，整理化简并检验是否有不满足要求的点；本题中要充分结合等腰三角形的性质及椭圆定义得到动点到定点的距离为定值，结合三角形中位线的性质得到点到原点的距离为定值，因此得到其轨迹为圆12.设不等式组所表示的平面区域为，记内的整点（横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为，若对于任意的正整数恒成立，则实数的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：不等式组表示的区域为直线围成的三角形，其内横坐标为1的整点有个，横坐标为2的整点有个，所以 所以，数列为增数列，当时，所以，故选A考点：1不等式表示平面区域；2裂项相消法求和；3不等式恒成立问题【方法点睛】首先由线性约束条件得到其对应的可行域区域，找到坐标为整数的点的个数，用表示，即可得到数列的通项公式，代入数列中整理其通项公式为，采用裂项相消法可求得的前项和，结合单调性可求得范围，从而得到不等式中的的取值范围二填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分将正确答案填在题中横线上)13.已知数列的前n项和,则数列的通项公式为_【答案】【解析】【分析】由数列的前项和,利用公式,即可得出数列的通项公式.【详解】数列的前项和为,时, ,时上式也成立，,故答案为.【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前项和，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意 的情况.14.已知点与点Q（1，0）在直线的两侧，存在某一个正实数m，使得 恒成立,则的最大值为_【答案】【解析】【分析】先判断点在直线左上方，求出原点到直线的距离，由线性规划知识可得，结合恒成立，可得的取值范围，从而可得结果.【详解】因为在直线右下方，由于点与点在直线的两侧，所以点 在直线左上方，表示为与两点间的距离，由于原点到直线的距离，由线性规划知识可得，要使恒成立,则 ，即的最大值为，故答案为.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式、线性规划的应用以及不等式恒成立问题，属于中档题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立.15.已知函数，则函数的值域是_【答案】3,0)【解析】【分析】函数即为，运用基本不等式，求得，即可得到函数的值域.【详解】函数，化为，由于，则，则有，则有，且，所以函数的值域为，故答案为.【点睛】本题考查函数的值域的求法，考查基本不等式的运用，属于中档题. 求函数值域的基本方法：观察法；利用常见函数的值域；分离常数法；换元法；配方法；数形结合法；单调性法（也可结合导数）；基本不等式法，利用基本不等式求最值，注意应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”；判别式法；有界性法16.点P在椭圆7x2+4y2=28上，则点P到直线3x2y16=0的距离的最大值为_【答案】 【解析】【分析】可设点坐标是，点到直线的距离，由此能求出点到直线的距离的最大值.【详解】在椭圆上，椭圆的标准方程是，可设点坐标是，点到直线的距离 ，故答案为.【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用以及点到直线的距离公式、辅助角公式的应用，属于中档题. 利用辅助角公式 可以求出:的周期;单调区间（利用正弦函数的单调区间通过解不等式求得）；值域；对称轴及对称中心，由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.三、解答题 (本大题共6小题，满分70分17题10分，其他题12分 .解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)17.设命题实数x满足，命题实数x满足（I）若，为真命题，求x的取值范围；（II）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)将代入不等式，利用一元二次不等式的解法与分式不等式的解法，分别求得命题为真命题与命题为真命题时的取值范围，再求交集即可；(2)由是的充分不必要条件，可得是的充分不必要条件，利用包含关系列出不等式组，即可解出的取值范围.【详解】（1）当时，由得，由得，为真命题，命题均为真命题，解得，实数的取值范围是（2）由条件得不等式的解集为，是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，是的子集，解得，实数的取值范围是【点睛】本题主要考查逻辑联接词的应用以及充分条件与必要条件的定义，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.18.若变量满足约束条件，求：（1） 的最大值；（2） 的取值范围；（3） 的取值范围【答案】（1）5；（2）；（3）【解析】【分析】作出可行域，求得三点的坐标，(1)中，根据直线的几何意义，即可求解目标函数的最大值； (2) 中，转化为点与取的斜率的范围，即可求解；(3)中，转化为与距离的平方，即可求解.【详解】作出可行域，如图阴影部分所示 由 即 由 即 由 即 (1)如图可知 ，在点处取得最优解，； (2) ，可看作与取的斜率的范围， 在点，处取得最优解，所以 (3) 可看作与距离的平方，如图可知 所以 在点处取得最大值，所以【点睛】本题主要考查简单线性规划解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义常见的目标函数有：（1）截距型：形如 .求这类目标函数的最值常将函数 转化为直线的斜截式： ，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如 ；（3）斜率型：形如.19.（1）已知,求的最小值；（2）已知，求的最小值.【答案】（1）2（2）4【解析】【分析】(1)利用对数的运算法则以及对数函数的定义域，化简原等式可得，利用基本列可求得的最小值；(2)根据，利用基本不等式求得，则，利用基本不等式求得的最小值，进而可得结果.【详解】(1)由lg(3x)lgylg(xy1)得x0，y0， xy13xy3()2，3(xy)24(xy)40， 3(xy)2(xy)20，xy2，当且仅当xy1时取等号，xy的最小值为2.（2），即，当且仅当时取等号， ， 当且仅当时取等号， 即的最小值为4.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.20.在圆上任取一点,过点作轴的垂线段,垂足为,点在直线上,且,当点在圆上运动时.(1)求点的轨迹的方程，并指出轨迹.(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值【答案】（1），椭圆，（2）见解析.【解析】【分析】(1)设点的坐标为，由,可得，代入化简即可得结果；(2)设直线，代入可得,利用韦达定理以及中点坐标公式可得 ,从而可得结论.【详解】(1)设点的坐标为，因为在圆上，所以设,因为，且与轴垂直，所以，代入 可得，化为，即的方程为，轨迹表示焦点在轴上的椭圆. (2)设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b280.故xM，yMkxMb. 所以直线OM的斜率kOM， 所以kOMk.故直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值【点睛】本题主要考查逆代法求轨迹方程、斜率公式的应用以及直线与椭圆的位置关系，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；逆代法，将代入.21.设等比数列的前项和为，且，成等差数列，数列满足（1）求数列的通项公式；（2）设,数列的前项和为,若对任意，不等式 恒成立，求的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，成等差数列,结合求出，从而可得公比的值，进而可求出等比数列的通项公式；（2由（1）可得 ，结合等比数列的求和公式，利用错位相减法即可求出，又，原不等式化为恒成立，利用数列的增减性可得，从而可得结果.【详解】（1）设数列的公比为，成等差数列，（2）设数列的前项和为，则，又，两式相减得 ，又，对任意，不等式恒成立，等价于恒成立，即恒成立，即恒成立，令，关于单调递减，关于单调递增，所以的取值范围为【点睛】本