人教版九年级数学第22章二次函数22.1用待定系数法求二次函数的解析式讲义

合作探究探究点1 用配方法将一般形式化为顶点式情景激疑在前面我们研究了及的形式的二次函数的图象与性质，那么一般形式的二次函数能否通过转化为的形式来研究它的图象与性质呢？转化的方法又是什么呢？下面我们通过画出二次函数的图象来感受这一转化过程知识讲解二次函数的图象是一条抛物线，它的形状与抛物线的形状完全相同，只是位置不同，抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线，二次函数的图象具有如下性质当a0时，抛物线的开口向上，时，y随x的增大而减小；，时，y随x的增大而增大；时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点当a0时，抛物线的开口向下，时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时y取得最大值即顶点是抛物线的最高点.二次函数可通过配方法化为的形式，则抛物线可由抛物线平移得到，二次函数的图象可由抛物线向左（或向右）平移个单位，再向上（或向下）下平移个单位而得到.典例剖析例1 画出二次函数的图象解析 本题主要考查二次函数图象的画法，先确定二次数的顶点坐标，然后列表、描点、连线答案 所以抛物线的顶点坐标为（1，4）列表x.-10123.y.-4242-4.描点、连线规律方法画二次函数的图象先确定抛物线的顶点坐标，然后列表，列表时先列顶点坐标，然后对称地向两边取值，再描点、连线类题突破1 抛物线的顶点坐标为（ ）A.(3,-4) B.(3,4) C.(-3,-4) D.（-3,4)答案A点拨 配方：所以顶点坐标为（3，-4)类题突破2 抛物线经过平移得到抛物线，则平移的方法是（ ）A向左平移1个单位，再向下平移3个单位B.向左平移1个单位，再向上平移3个单位C向右平移1个单位，再向下平移3个单位D向右平移1个单位，再向上平移3个单位答案D点拨 由抛物线平移为抛物线需向右平移1个单位，再向上平移3个单位探究点2 （高频考点）抛物线与a，b，C的符号的关系知识讲解作用说明a决定开口方向a0开口向上a0交点在y轴正半轴c=0抛物线过原点c0,a,b同号对称轴在轴y左侧ab0,ab不同号对称轴在y轴右侧决定顶点的位置典例剖析例2 已知二次函数的图象如图所示，试判断abc，2ab，abc，abc的符号思路图示 判断a，bc符号abc的符号对称轴与1的关系2ab的符号x1的函数值abc的符号答案 抛物线开口向上，a0,b0抛物线与y轴的交点在x轴的下方c0.,-b2a2a+b0abc0，2ab0，abc0，a-bc0规律总结抛物线的位置与函数解析式中系数a，b，c的关系如下：a决定抛物线的开口方向和增减性；c决定抛物线与y轴交点的位置；a，b共同决定抛物线的对称轴的位置，简记作“左同右异”，除了二次函数解析式的系数本身的符号外，有时还需借助图象对自变量取某些特殊值时的函数值进行考察，比如当x1时，abc的情況：当x-1时，abc的情况等等类题突破3 如图，若a0，b0，c0，则二次函数的大致图象为答案 B点拨a0，开口向下，排除C；c0，二次函数图象与y轴交点在x轴的下方，排除A；a0，b0，对称轴在y轴的右侧，排除D；则只有B满足开口向下，与y轴交点在y轴负半轴，对称轴在y轴右侧的特征探究点3 利用确定解析式知识讲解确定二次函数解析式，就是要确定解析式中的待定系数（常数）由已知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于待定系数的方程组，求出待定系数，就可以写出二次函数的解析式（1）若问题中没有设出待定系数，第一步先设出二次函数解析式，常用到以下两种形式：；（2）把图象上点的坐标分别代入，得到一个方程组，并求解（3）写出二次函数的解析式典例剖析例3 已知抛物线的形状和开口方向与相同，并且经过点（1，1）和（1，2），则a_.b_.c=_.解析 由两个抛物线形状、开口方向相同可知a2，把（1，1），（1，2）分别代入可得解得于是a=2,答案 2 方法指导待定系数法的一般步骤为：设解折式：把点的坐标代入解析式，组成方程组；解方程组；写出答案类题突破4 如图，已知抛物载经过点（0、3），请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间、你所确定的b的值是_.答案 （答案不唯一）点拨 把（0，3）代入函数的解析式可得c3，只要是再已知一个点的坐标代入解析式就可求出b值由“与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间”可选择满足条件的点的坐标代入即可，如代入（2，0）可求出探究点4 （高频考点）利用顶点式确定二次函数解析式知识讲解如果已知条件是二次函数的最大（小）值，或者是图象的顶点坐标，那么一般采用顶点式求解析式典例剖析例4 已知抛物线的顶点为（2，4），与y轴的交点为（0，3），求这个二次函数的解析式解析 当已知物线的预点坐标（h，k）和抛物线上另一点的坐标时，通常设函数解析式为求解答案 设这个二次函数的解析式为即，把（0，3）代入，得，解得，所以，可化为，即二次函数解析式为规律总结只要已知抛物线的顶点坐标，一般设为的形式易于求解类题突破5 已知抛物线的顶点（2，k）在直线yx1上，且点（1，1）在抛物线上，求抛物线的解析式答案 把（2，k）代人yx1得3，于是设抛物线解析式为，把（1，1）代入得a31，解得a2于是得抛物线的解析式为3，即点拨 先求出k的值，确定抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式求抛物线的解析式重点难点重难点1 二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质归纳如下a的取值图象开口方向顶点坐标对称轴增减性最值a0向上直线当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大当时，y最小值a0向下直线当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小当时，y最小值例1 已知抛物线，则抛物线的对称轴为直线x=_,满足y0的x的取值范围是_，将抛物线向_平移_个单位，可得到抛物线解析 画出抛物线由图象可得抛物线的对称轴为直线x3，当y0开口向上a0c与y轴正半轴相交c0与y轴负半轴相交例2 二次函数的图象如图所示，则下列关于a、b、c间的关系判断正确的是A.abo B.bc0 D.a-b+c0解析 由抛物线的开口向下可知a0；由图象与y轴的交点在y轴的负半轴上可知c0；抛物线的对称（直线在y轴左侧，说明a、b同号，则b0，所以b0，bc0，从而排除选项A、B当x1时，对应的坐标在第四象限，所以y0，即ya+b+c0：当x1时，对应的坐标在第三象限，所以y0，即yabc0故选D答案D类题突破3 如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经过点（1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴（1）给出四个结论：a0；b0c0：a+bc0其中正确结论的序号是_.（2）给出四个结论：abc0；2ab0；ac1；a1其中正确结论的序号是_.答案（1） （2）点拔（1）由图象可知a0，b0，c0，故正确；把x1代入可得abc0，故正确（2）由（1）易知不正确，由可知2ab0，故正确；当x-1时，y2，a-bc2，当x1时，y0，ab十c0，两式相加得2a2c2，故ac1故正确；由ac1，c0可知a1，故正确重难点3 与二函数有关的面积问题求图形的面积要先确定相关点的坐标，根据点的坐标求出相应垂线段的长后再求图形的面积例3 如图所示，已知抛物线与直线y=xb交于两点A，B，若A点坐标为（1，2），求（1）这个抛物线与直线的解析式；（2）B点的坐标；（3）AOB的面积.解析 （1）解析式中只有一个未知系数，只要知道图象上一个点的坐标即可：（2）B点坐标可用两函数组成方程组求解; （3）AOB的面积可转化为AOC与COB的面积差求解答案 （1）抛物线ya2，直线yxb都经过点A（1，2），所以抛物线的解析式为，直线的解析式为yx1（2）根据题意得,解这个方程组得到点B的坐标是（3）因直线与x轴交于点C（1，0），所以方法指导求三角形的面积时，往往把一些不特殊的三角形转化为一些边在坐标轴上的三角形的面积的差或和，本题就是把AOB的面积转化成AOC和COB的面积的差，AOC和COB都是以x轴上的线段为底类题突破4 已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C且ABC的面积等于10求C点的坐标答案 抛物线与x轴交点的坐标为（3，0），（1，0），又因，所以ABC的边AB上的高为5于是点C的纵坐标为5，把代入，得，所以点C的坐标为（一2，5）或（4，5）重难点4 用待定系数法求二次函数的解析式二次函数的解析式通常有两种形式：一般式为；顶点式为确定二次函数的解析式时常用待定系数法用待定系数法确定二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或第二步，代：将题中所给条件代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程（组）；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时，可设函数的解析式为：当已知抛物线与x轴的两个交点时，可设函数的解析式为例4 已知抛物线与y轴交点的纵坐标为，且还经过（1，6）和（1，0）两点，求抛物线的解析式；解析 由已知的三点，可选用一般式、从而得到关于a、b、c三元一次方程组，解方程组求出a、b、c的值，就可求得抛物线的解析式答案 设所求的抛物线的解析式为抛物线经过三点、（1，-6）、（-1，0）把三点坐标分别代入有，即，解方程组可得，抛物线的解析式为规律总结此题“一设”“二代”:把已知条件代入解析式;“三解”:解方程组;“四写”:写出抛物线解析式。类题突破5 2019年5月2229日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛，在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分，其中出球点B离地面O点的距离是1m.球落地点A到O点的距离是4m,那么这条抛物线的解析式是（ ）A.B.C.D. 答案A点拨 根据出球点B离地面O 点的距离是1m,球落地点A到O点的距离是4m,可知A，B两点坐标分別为（4、0），(0,1)且点在抛物线上将A（4，0），B（0、1）坐标分别代入抛物线解析式可得故选A例5 已知二次函数图象过点P（2，0），顶点坐标为（1，3），则这个函数的解析式为_.解析 设所求函数的解析式为，则顶点坐标为（h，k）顶点坐标为（1，3），即h1，k3所求的二次函数为图象过P（2，0）点，解得a3函数的解析式为，即答案 误区警示不能熟记顶点式的形式，将顶点坐标代入时横坐标常出符号错误类题突破6 二次函数的图象的顶点坐标是（1，6），许且图象经过点（2，3）求这个函数的解析式答案 因为二次函数的图象的顶点坐标是（1，6）所以可以设二次函数的解析式为又因为图象经过点（2，3），将坐标代入上式，得解得 a1所以，这个二次函数的解析式是易错指导易错点1 求二次函数的最值时忽略了自变量的取值范围例1 求二次函数 的最值，错解 由配方，得，函数的图象的顶点坐标是,该函数的最小值是 ,无最大值错因分析 本题只是通过配方确定函数的顶点坐标，从而就确定了最值，而忽略了自变量的取值范围，因此导致出错。正解:，当时，y随x的增大而增大.又x6,y存在最小值，即当x=6时，y的最小值为.无最大值，纠错心得 在讨论函数的最值问题时，一定要注