函数展开成幂级数(51).ppt

湘潭大学数学与计算科学学院,1,一、函数项级数的概念,二、函数展开成幂级数,三、小结,3.7 函数展开成幂级数,湘潭大学数学与计算科学学院,2,1. 泰勒级数的概念,为f (x) 的泰勒级数 .,则称,当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .,一、函数项级数的概念,湘潭大学数学与计算科学学院,3,展开式必为,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ?,2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?,待解决的问题 :,（1）,湘潭大学数学与计算科学学院,4,内具有各阶导数，则在该邻域内f(x)能展开成泰勒,级数的充分必要条件是,f(x) 的泰勒公式中的余项,湘潭大学数学与计算科学学院,5,证,令,湘潭大学数学与计算科学学院,6,称为函数 f(x) 的麦克劳林级数.,称为函数 f(x) 的麦克劳林展开式 .,湘潭大学数学与计算科学学院,7,定理3.7.3（函数展开成泰勒级数的充分条件）,证 由于,湘潭大学数学与计算科学学院,8,故,湘潭大学数学与计算科学学院,9,即,由定理3.7.2可知，结论成立,说明,若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展,开式是唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.,湘潭大学数学与计算科学学院,10,展开方法,直接展开法, 利用泰勒公式；,间接展开法, 利用已知其级数展开,式的函数展开.,1. 直接展开法,第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;,二、函数展开成幂级数,湘潭大学数学与计算科学学院,11,第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;,第三步 判别在收敛区间(R, R) 内,是,否为0.,解 所给函数的各阶导数为,因此,湘潭大学数学与计算科学学院,12,于是得级数,对于任意大于零的常数 M，在,由定理3.7.3，有,湘潭大学数学与计算科学学院,13,解 所给函数的各阶导数为,即,湘潭大学数学与计算科学学院,14,得级数,又,故,湘潭大学数学与计算科学学院,15,类似可推出:,解 所给函数的各阶导数为,因此,湘潭大学数学与计算科学学院,16,得级数,由于,湘潭大学数学与计算科学学院,17,则,湘潭大学数学与计算科学学院,18,方程两边同时乘以 x, 得,由于,(2),(3),湘潭大学数学与计算科学学院,19,将 (2)、(3) 两式相加，得,因此,两边积分，得,湘潭大学数学与计算科学学院,20,即,故,即,上式也称为二项展开式 .,湘潭大学数学与计算科学学院,21,说明：,(1) 在 x1 处的收敛性与 有关 .,(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 次多项式, 上 式就是代数学中的二项式定理.,湘潭大学数学与计算科学学院,22,湘潭大学数学与计算科学学院,23,2. 间接展开法,利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,将所给函数展开成 幂级数.,解,由于,因此,湘潭大学数学与计算科学学院,24,解 因为,而,将上式从0到x逐项积分，得,湘潭大学数学与计算科学学院,25,类似地，容易得到,湘潭大学数学与计算科学学院,26,解 因为,而,湘潭大学数学与计算科学学院,27,因此,湘潭大学数学与计算科学学院,28,解 由于,湘潭大学数学与计算科学学院,29,从而,湘潭大学数学与计算科学学院,30,解,例8 将 展开成x的幂级数.,湘潭大学数学与计算科学学院,31,1. 函数的幂级数展开法,(1) 直接展开法, 利用泰勒公式 ;,(2) 间接展开法, 利用幂级数的性质及已知展开,式的函数 .,2. 常用函数的幂级数展开式,三、小结,湘潭大学数学与计算科学学院,32,湘潭大学数学与计算科学学院,3