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第七章 多元函数微分学 第七节 偏导数的几何应用,理学院数学系 主讲教师：付一平,1. 设空间曲线的方程,(1)式中的三个函数均可导.,一、空间曲线的切线与法平面,考察割线趋近于极限位置切线的过程,上式分母同除以,曲线在M处的切线方程,切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.,法平面：过M点且与切线垂直的平面.,解,切线方程,法平面方程,2. 空间曲线方程为,法平面方程为,例2,3.空间曲线方程为,也可直接用求导公式：,切线方程为,法平面方程为,方法2,所求切线方程为,法平面方程为,所求切线方程为,法平面方程为,1. 设曲面方程为,二、曲面的切平面与法线,引理,曲线在M0处的切向量,证 设M0 (x0,y0,z0)为曲面上一定点，在曲面上任取一条通过点M0的曲线,可见,法线方程为,由前面的讨论可知曲面在M处的法向量即,所以切平面方程为,解,令,切平面方程,法线方程,2. 空间曲面方程为,曲面在M处的切平面方程为,曲面在M处的法线方程为,令,其中,解,切平面方程为,法线方程为,解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,因为 是曲面上的切点，,所求切点为,满足方程,切平面方程(1),切平面方程(2),曲面的夹角,两个曲面在交线上某点处的两个法线的夹角称为这两个曲 面在该点的夹角。,如果两个曲面在该点的夹角等于 90 度，则称这两个曲面在 该点正交。若两曲面在交线的每一点都正交，则称这两曲 面为正交曲面。,例 7 证明对任意常数 ，球面 与锥 面 是正交的。,即,证明,球面 的法线方向数为,锥面 的法线方向数为,在两曲面交线上的任一点 处，两法向量的内积,因 在曲面上，上式右端等于 0 ，所以曲面与锥面正交。,解,设切点,依题意知法向量为,
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