数学分析课程设计

河南科技大学课 程 设 计 说 明 书课程名称 数学分析课程设计题 目 一元函数微分学及其应用 学 院 数学与统计学院班 级 数应122班学生姓名 赵明阳指导教师 侯海龙日 期 2015年1月9日课程设计任务书（指导教师填写）课程设计名称 学生姓名 专业班级 设计题目 一、课程设计目的 数学分析课程设计运用所学数学分析知识归纳、推广、研究若干有关课题。通过本课程设计，使学生更深入地理解所学数学分析的知识，掌握运用所学数学分析知识用于数学理论，设计算法，培养学生数学的思维和分析能力，为今后数学学习和应用打好基础。二、设计内容、技术条件和要求运用微分学的思想方法解决一定的实际问题。 由此对微分学的思想和方法形成深刻的认识，从而运用运动的、辩证的观点分析问题，解决问题。 掌握数学分析的基本知识和基本理论，能熟练地进行基本运算，并具有一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，以及分析论证能力。三、时间进度安排 第一天, 集中学习、讨论，给出参考资料，进行资料查阅。 第二天, 学生选题，初步拟定实习题目，开始研究、设计。 第三天, 再次讨论实习中所涉及的问题。教师指导。 第四天, 检查各小组的实习情况。教师指导。 第五天, 提交实习成果及文档。 四、主要参考文献 1陈纪修数学分析第二版北京：高等教育出版社，2004 2 陈传璋，欧阳光中数学分析第二版北京：高等教育出版社，2003 3华东师大数学系编.数学分析第三版北京：高等教育出版社，2001 4费定晖.吉米多维奇数学分析习题集题解（16册）第四版济南：山东科学技术出版社，2012指导教师签字： 年 月 日一元函数微分学及其应用摘 要 微积分局部求近似，极限求精确的基本思想贯穿于整个微积分学体系中，而微积分在各个领域中又有广泛的应用，随着市场经济的不断发展，微积分的地位也与日俱增，本文着重研究微分在经济活动中边际分析、弹性分析、最值分析的应用。关键词：微积分，微分，基本思想，经济应用 一、微积分的产生、发展及其作用微积分思想的萌发出现的比较早，中国战国时代的庄子天下篇中的“一尺之锤，日取其半，万事不竭【】”就蕴涵了无穷小的思想。经查阅文献晏能中.微积分数学发展的里程牌【】得知：到了十七世纪，欧洲许多数学家也开始运用微积分的思想来解决极大值与极小值，以及曲线的长度等等。帕斯卡在求曲边形面积时，用到“无穷小矩形”的思想，并把无穷小概念引入数学，为后来莱布尼兹的微积分的产生奠定了基础。随着数学科学的发展，微积分得到了进一步的发展，其中欧拉对于微积分的贡献最大，他的无穷小分析引论、微分学、积分学三部著作对微积分的进一步丰富和发展起了重要的作用。之后，洛必达、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、傅立叶等数学家也对微积分的发展作出了较大的贡献。由于这些人的努力,微分方程、级数论得以产生，微积分也正式成为了数学一个重要分支。微积分的创立改变了整个数学世界。微积分的创立，极大的推动了数学自身的发展，同时又进一步开创了诸多新的数学分支，例如：微分方程、无穷级数、离散数学等等。此外，数学原有的一些分支，例如：函数与几何等等，也进一步发展成为复变函数和解析几何，这些数学分支的建立无一不是运用了微积分的方法。在微积分创设后这三百年中，数学获得了前所未有的发展。二、微积分的基本思想局部求近似、极限求精确微积分是微分学和积分学的总称，它的基本思想是：局部求近似、极限求精确。本文只具体阐述微分学的思想。1微分学的基本思想微分学的基本思想在于考虑函数在小范围内是否可能用线性函数或多项式函数来任意近似表示。直观上看来，对于能够用线性函数任意近似表示的函数，其图形上任意微小的一段都近似于一段直线。在这样的曲线上，任何一点处都存在一条惟一确定的直线该点处的“切线”。它在该点处相当小的范围内，可以与曲线密合得难以区分。这种近似，使对复杂函数的研究在局部上得到简化。下面通过一个例子物理中物体的运动速度【】来形象了解微分学的基本思想：取坐标轴如下图，设路程函数已知, 求物体的运动速度(即变化率)的方法分为两步图 （1）“局部求近似”：尽管物体在时段上作非匀速运动，但在微小时段上可近似看成是匀速运动的。以“匀”代“不匀”，或者说对变化率以“不变”代“变”，使用处理均匀问题的除法得近似值。 （2）“极限求精确”： 越小，近似程度越高，于是令，利用极限法便将此近似值转化为精确值，即。微分学主要是研究微观的问题，研究对象往往是“非均匀”变化量，但解决问题的基本思想方法却大体上是一致的。可归纳为两步：a.微小局部求近似值；b.利用极限求精确。微分学的这一基本思想方法贯穿于整个微积分学体系中，并且将指导我们应用微积分知识去解决各种相关的问题。三、微分学在经济学中的应用随着经济的发展及数学理论的完善,数学与经济学的关系越来越密切,应用越来越广泛.微积分作为数学知识的基础,介绍微积分与经济学的书也越来越多,本文主要通过对一些简单的微分学知识在经济学中的应用,以使人们意识到理论与实际结合的重要性.、边际分析在经济学中，经常会遇到边际这一概念，如边际成本、边际收益、边际利润等等，从文献赵树源.经济应用数学基础（一）微积分【】看，经济学中的边际问题，就是相应的经济函数的变化率问题，即把一个经济函数的导数称为该函数的边际函数，边际函数在某一点的值称为边际值，总成本函数关于产量的导数称为边际成本，其经济含义是：当产量为时，再生产一个单位（即）所增加的总成本；边际收益是指总收益函数关于销售量的导数，其经济含义是：当销售量为时，再销售一个单位（即）所增加的总收益；边际利润是指总利润函数关于销售量的导数，其经济含义是：当销售量为时，再销售一个单位（即）所增加的总利润。 例1 已知某企业某种产品的收益（元）是销售量（吨）的函数为：求销售吨该产品时的边际收益，并说明其经济含义。解：依题意得，销售吨产品的边际收益函数为：因此，销售吨该产品的边际收益为：其经济含义是：当销售量为吨时，再增加一吨（即）所增加的总收益是元。例2 某企业生产某种产品，每月的总成本（千元）是产量（件）的函数，如果每件产品的销售价格为万元，求每月生产件、件、件、件时的边际利润，并说明其经济含义。 解：依题意得，每月生产件产品的总收入函数为：因此，生产件产品的总利润函数为：于是，边际利润函数为 则每月生产件、件、件、件时的边际利润分别是：其经济含义是：当月产量为件时，再增产件，利润将增加元；当月产量为件时，再增产件，利润将增加元；当月产量为件时，再增产件，利润则不会增加；当月产量为件时，再增产件，利润反而会减少元。2、弹性分析由经济学知识知，某个变量对另一个变量变化的反映程度称为弹性或弹性系数。在经济工作中有多种多样的弹性，这决定于所考察和研究的内容，如果是价格的变化与需求反映之间有关系，那么这个反映就称为需求弹性。由于具体商品本身属性的不同以及消费需求的差异，同样的价格变化给不同商品的需求带来的影响是不同的。有的商品反应灵敏，弹性大，涨价降价会造成剧烈的销售变动；有的商品则反应呆滞，弹性小，价格变化对其没什么影响。（）需求弹性：对于需求函数,根据弹性的定义，需求对价格的弹性系数为由于价格上涨时，商品的需求函数为单调减函数， 与异号，所以特殊定义需求对价格的弹性函数为。 例1 设某商品的需求函数为，求需求弹性函数；的需求弹性。 解： ，说明当时，价格上涨，需求减少，需求变动的幅度小于价格变动的幅度； ，说明当时，价格上涨，需求也减少，需求变动的幅度与价格变动的幅度是一样的； ，说明当时，价格上涨，需求减少，需求变动的幅度大于价格变动的幅度。3、最值分析 例1国内市场和国外市场的需求函数分别,，某企业的总成本函数。企业为取得最大利润，在国内外市场销售产品可以实行差别定价或统一定价。求：（1）差别价格；（2）统一价格；（3）比较这两种定价的不同利润。 解：利润函数 （1）, , , （2）求最大利润而统一定价，即,合并两个需求函数 总收入为 (3) 差别价格时的利润为： 统一价格时的利润为： 综上所述，说明差别价格时取得的最大利润比较高。4.总结： 微积分是人类智慧最伟大的成就之一，局部求近似、极限求精确的基本思想是进一步学习高等数学的基础。随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，本文主要探讨运用微分对经济活动中的实际问题进行量化分析，从而为企业经营者的科学决策提供依据。微分学局部求近似、极限求精确的基本思想方法贯穿于整个微积分学体系中，在经济日益发展的今天，微分学的地位也与日俱增，贷款、养老金、医疗保险、企业分配、市场需求等等金融问题越来越多地进入普通人的生活，利用微分学的知识有利于我们去解决各种相关的问题。 注释：边际：是指随着某一事物超过一定界限而随着再增