数学毕业论文之数学分析中求极限的几种常用方法.doc

阜阳师范学院信息工程学院阜阳师范学院信息工程学院 Fuyang Shifan Xueyuan Xinxi Gongcheng Xueyuan 本本科科毕毕业业论论文文 题 目: 数学分析中求极限的几种常用方法 学 生: 方 常 学 号： 201002010312 学 院： 阜阳师范学院信息工程学院 专 业： 数学与应用数学 入学时间: 2010 年 09 月 13 日 指导教师： 王海坤 职称: 教授 完成日期： 2014 年 4 月 20 日 诚信承诺书 我谨在此承诺:本人所写的毕业论文数学分析中求极限的几 种常用方法均系本人独立完成，凡涉及其他作者的观点和材料均 作了注释。如有不实，本人愿承担相应后果，接受学校的处理。 承诺人（签名）承诺人（签名） 年年 月月 日日 目录目录 摘要、关键字 （1） 1 引言 （1） 2 极限的求法 （1） 2.1 利用两个准则求极限（1） 2.2 利用导数的定义求极限（2） 2.3 利用两个重要极限公式求极限（3） 2.4 利用函数的连续性求极限（3） 2.5 利用等价无穷小量代换求极限（4） 2.6 利用泰勒展开式求极限（4） 2.7 利用洛必达法则求极限（5） 2.8 利用定积分求极限 （6） 3 结束语 （6） 参考文献 （7） 1 数学分析中求极限的几种常用方法数学分析中求极限的几种常用方法 姓名：姓名：方常 学号：学号：201002010312 指导教师：指导教师：王海坤 摘要：极限思想是许多科学领域的重要思想之一，在数学分析中的应用最为广泛。因为极限的重要性，从而 怎样求极限也显得尤其重要。对于一些简单的极限，直接用定义和相关的公式就可以求解，但是对于一些复杂 的极限，直接按极限的定义来求就显得非常局限，不仅难以计算，而且最后也容易算错。为了能够更好地解决 极限的求解问题，本文介绍了几种常用求极限的方法，并且每种方法后面都附以实例来说明方法中蕴涵的数学 思想。 关键词：夹逼准则 单调有界准则 无穷小量的性质 洛必达法则 定积分 泰勒展开式 1.1. 引言 极限是数学分析中极其重要的概念，计算极限的方法有很多种，但是在实际应用 中很难把握，本文试对数学分析中极限的几种重要求法作以总结，本文中介绍了 8 类典型极限问题的解法，介绍每种类型时，先把该种类型所要用到的知识点简单介 绍，接着附以例题和解答，以便及时掌握和熟练应用。本文共有 10 道例题，希望能 有一定的参考价值，同时也以期对极限问题有一个较为清晰的认识。 2.极限的求法 2.12.1 利用两个准则求极限利用两个准则求极限 2.1.12.1.1 函数极限的迫敛性（夹逼法则）函数极限的迫敛性（夹逼法则）. .若一正整数 N,当 nN 时，有 n x n y n z 且 则有. ,limlimazx n x n x ayn x lim 例 1：求极限的值，其中lim n n x 1 3 521 2 4 62 n n x n 解: 1 3 21 3 2 35 43 5 2 2121 22121 2 nn nnn 由此可知： 1 3 5211 0 2 4 6221 n n x nn 2 而 ，所以由迫敛性知： 1 lim0 21 n n 00lim 0 n lim0 n n x 2.1.22.1.2 单调有界准则单调有界准则. .单调有界数列必有极限，而且极限唯一单调有界数列必有极限，而且极限唯一. 例2：设。则 n x的极限是否存在, 若存在求此nnxxx nn , 2 , 16,19 11 极限。 解: 由及知 12 xx。19 1 x5 2 x 设 1kk xx ， 则 211 66 kkkk xxxx 所以对一切自然数, 都有，n 1 nn xx 即数列单调下降, 由已知易见即有下界。 n x.)2 , 1(0nxn 则由上述准则知：的极限存在。 n x 令对两边取极限，Bxn n lim nn xx 6 1 有所以有解得,或。BB606 2 BB3B2B 因为，所以，舍去,故, 2 , 10nxn0B2B3lim n n x 2.22.2 利用导数的定义求极限利用导数的定义求极限 我们知道，函数在点处的导数为，利用这一点我 yf x 0 xx 0 0 0 lim xx xfxf xx 们可以某些极限。 例 3：求的极限xctgx x 22lim 2 解：原式= 2 1 2 1 2 2 lim 2 2 22 lim 1 2 2 lim 1 2 2 2 fx fxf x tgxtg x xtg x x x 3 2.32.3 利用两个重要极限公式求极限利用两个重要极限公式求极限 1 sin lim)( 0 x x A x e x B x x ) 1 1 (lim)( 它们的变形为： 1 sin lim 0 x x A x e x B x x 1 1lim 例 4：求 x a x x 1 lim) 1 ( 0 bx ax x cosln cosln lim)2( 0 )1ln( ln1 ln )1ln( ,11 u au x a a u xua x x 于是则）令解：（ a u a u u a u au x a ux u uuu x x ln )1ln( ln lim )1ln( ln lim )1ln( ln lim 1 lim 00 1 0000 故有： 时，又当 （2）原式 )1(cos1ln )1(cos1ln( lim 0 bx ax x 1cos 1cos 1cos )1(cos1ln 1cos )1(cos1ln( lim 0 ax bx bx bx ax ax x 1cos 1cos lim 0 ax bx x 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 0 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 2 sin ) 2 ( 2 sin lim 2 sin2 2 sin2 lim a b x a x b x b x b x a x a x b x xx 2.42.4 利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限 对于某些连续函数，可利用其连续性求解。 例 5： 求 )1ln(1 5cos lim) 1 ( 2 0 xx xe x x x x x )1ln( lim2 0 解：（1）由题意知：函数在处连续，故有： )1ln(1 5cos lim 2 0 xx xe xf x x 0x 4 60 )1ln(1 5cos lim 2 0 f xx xe x x （2）由，故可令，因此有：xx x x 1 1ln )1ln( xxx 1 1 1ln1limln1lnlim )1ln( lim 1 0 1 00 exx x x x x x xx 2.52.5 利用等价无穷小量代换求极限利用等价无穷小量代换求极限 常见等价无穷小有： 当 时,0x)1ln(arctanarcsintansinxxxxxx1ex ；abxaxxx b 11, 2 1 cos1 2 例 6： 1) 2) nn n n n n 1 1 cos13 lim 2 2 3 2 0 1 cos lim 1sin x x xx ex 3) 0 arctan lim ln 1 sin x x x 1) 解：由于，故原式=13 n 2 2 2 4 2 2 1 11 1 cos 2 limlim1 11 1 11 2 nn n n n n n n 2） 解：当时，故原式=0xxexx x 1 , 2 1 cos1 2 2 2 0 1 1 2 lim sin2 x xx xx 3） 解：当时，故原式=0xxxxxsin1ln,arctan 0 lim1 x x x 2.62.6 利用泰勒展开式求极限利用泰勒展开式求极限 常用泰勒公式有： (1) )( ! 2 1 2 n n x xo n xx xe (2)( )!12( ) 1( ! 5! 3 sin 2 12 1 53 n n n xo n xxx xx 5 (3)( )!2( ) 1( ! 4! 2 1cos 12 242 n n n xo n xxx x (4)() 1( 2 )1ln( 1 2 n n n xo n xx xx (5)( ! ) 1() 1( ! 2 ) 1( 1)1 ( 2nn xox n n xxx (6)(xx1 1 1 2nn xox x (7) )(1xx1 1 1 2nn n xox x 例 7：求极限. 3 0 sincos lim sin x xxx x 解：由于上式极限中，并且又由泰勒展式有 33 sin(0)xxx ， 33 33 sin0(), cos0() 3!2! xx xxxxxxx 于是 ， 33 3333 1 sincos0()0()0() 3!2!3 xx xxxxxxxxx 故原式= 2 3 3 1 ! 2 lim 33 3 3 0 xox xo x x x 2.72.7 利用洛必达法则求极限利用洛必达法则求极限 对于型和型的极限往往要用洛必达法则求，对于其它类型的极限往往也能化 0 0 为这两种类型，在做题目时要留心观察。 例 8：求极限 2 2 0 )sin2ln(2cosln lim x xx x 解：这种情况属于型的，故由洛必达法则有 0 0 2 2 0 )sin1ln(2cosln lim x xx x x x x x x x 2 sin2 2sin 2cos 2sin2 lim 2 0 2 5 sin2 1 2cos 2 2 2sin lim 2 0 xxx x x 6 例 9：求 x x x ln lim 解：这种情况属于型的，故由洛必达法则有：原式= 0 1 lim ln lim x x x xx 2.82.8 利用定积分求极限利用定积分求极限 对于通项中含有 n!的数列极限，我们往往把它转化为定积分来求。 例 10：求极限：. 2 1 2 1 1 1 limJ nnn n 解：我们可作作如下变形： n n i J n i n 1 1 1 lim 1 不难看出，其中的和式是函数在区间上的一个积分和（这里所取得 x xf 1 1 1 , 0 是等分分割，） 。所以ni n i n i n i n x ii , 2 , 1, 1 , 1 . 2 ln|1ln 1 1 0 1 0 x x dx J 当然，也可把看作在上的定积分，同样有J x xf 1 2 , 1 . 2 ln 1 3 2 2 1 L x dx x dx J 3.结束语 综上所述，求极限有很多种方法，所以要求我们在求极限问题时，要根据题目的 特点，选择适当的方法，这样不但能节省许多时间，而且也能提高做题的准确率。 本文所列举的 8 种题型都是非常典型的，虽然还没有总结完全，但是有一定的参考 价值。同时我们需要继续努力，总结极限的求解方法。 7 参考文献参考文献 1华东师范大学数学系编.数学分析M.北京:高等教育出版社，2001：42-64. 2复旦大学数学系编.数学分析M.北京:高等教育出版社，1985：35-48. 3钱吉林.数学分析题解精粹M.湖北:长江出版集团，2003：17-111. 4裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京：高等教育出版社，1993：88-102. 5陈纪修,於崇华.数学分析M.北京：高等教育出版社，1999（2004 重印）：90-114. 6蔡子华.数学复习大全M.上海:现代出版社,2005：30-75. 7冯丽珠，变形法求极限的变法技巧N.武汉职业技术学院学报，2003-3-4(35-36). 8李小光，求极限的若干技巧N.西安航空技术高等专科学校学报，2002-3-12(20-21). 9程其蘘，实变函数与泛函分析基础M.北京：高等教育出版社，1983：102-110 10宋蔡健，胡进.用积分法求解某一类特殊的和式极限N.南京工业职业学院学报.2003-5- 9(85-87). Limit in the mathematical analysis of several commonly used methods Name: Fangchang Student Number: 201002010312 Advisor: Wang Haikun Abstract: Limit thought is one of the important concepts in many fields of science, applied in mathematical analysis is the most widely. Because of limit importance, thus how to solve the limit also appears especially important. For some simple limit, the direct use of definition and relevant equations can be solved, but for some complex limit, defers to the limit the definition to ask appears directly limits, not only it is difficult to calculate, and finally can easily be wrong. In order to solve asks t