2019版高考数学复习函数导数及其应用2.5指数与指数函数学案理.docx

2.5指数与指数函数 知识梳理1根式2分数指数幂3无理数指数幂无理数指数幂a(a0，是无理数)是一个确定的实数有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂4指数函数的概念、图象与性质特别提示：1.与()n的区别(1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制(2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定2a对yax(a0且a1)的影响(1)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a1时，指数函数的图象“上升”；当0a1，还是0a0且a1)的图象关于x轴对称()(3)若am0且a1)，则m1)的值域是(0，)()答案(1)(2)(3)(4) 2教材衍化答案A解析答案B解析3小题热身(1)函数f(x)ax21(a0且a1)的图象必经过点()A(0,1) B(1,1) C(2,0) D(2,2)答案D解析a01，故x20时f(x)2，即x2时f(x)2，故选D.(2)函数yaxa1(a0且a1)的图象可能是()答案D解析函数yax是由函数yax的图象向下平移个单位长度得到的，A项显然错误；当a1时，01，平移距离小于1，所以B项错误；当0a1，平移距离大于1，所以C项错误，故选D.题型1指数幂的化简与求值 解方法技巧指数幂的运算规律1有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算2先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数3底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数4若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答注意平方法和开方法，见冲关针对训练1,2.提醒：运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一冲关针对训练1(2018资阳模拟)若0a0，且abab2，则abab等于()A. B2或2 C2 D2答案C解析abab2，a2ba2b826，(abab)2a2ba2b24.0a0，ab0)，则的值是_答案解析由xaa，得xa2.x24xx(x4)24a2222.原式题型2指数函数的图象及应用若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_用数形结合法答案1,1解析曲线|y|2x1与直线yb的图象如图所示，由图象可得，如果|y|2x1与直线yb没有公共点，则b应满足的条件是b1，1条件探究1若将本典例中“|y|2x1”改为“y|2x1|”，且与直线yb有两个公共点，求b的取值范围解曲线y|2x1|与直线yb的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y|2x1|与直线yb有两个公共点，则b的取值范围是(0,1)条件探究2若将本典例改为：函数y|2x1|在(，k上单调递减，则k的取值范围是什么？解因为函数y|2x1|的单调递减区间为(，0，所以k0，即k的取值范围为(，0条件探究3若将本典例改为：直线y2a与函数y|ax1|(a0且a1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是什么？解y|ax1|的图象是由yax先向下平移1个单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折过来得到的当a1时，两图象只有一个交点，不合题意，如图(1)；当0a1时，要使两个图象有两个交点，则02a1，得到0a，如图(2)综上，a的取值范围是.方法技巧指数函数图象的画法及应用1画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.2指数函数图象的应用(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解见典例冲关针对训练(2017湖南月考)如图，四边形OABC是面积为8的平行四边形，ACCO，AC与BO交于点E，某指数函数yax(a0且a1)的图象经过点E，B，则a()A. B. C2 D3答案A解析设E(t，at)，易知点B的坐标为(2t,2at)B点在函数yax的图象上，2ata2t，at2(at0舍去)平行四边形OABC的面积OCACat2t4t.又平行四边形OABC的面积为8，t2，a.故选A.题型3指数函数的性质及应用角度1比较指数幂的大小(2015天津高考)已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数记af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为()Aabc BacbCcab Dcblog230，函数f(x)2|x|1在(0，)上为增函数，f(log25)f(log23)f(0)，即bac.故选C.角度2求指数型函数中参数的取值(2015山东高考)已知函数f(x)axb(a0，a1)的定义域和值域都是1,0，则ab_.用方程法答案解析当a1时，f(x)在1,0上单调递增，则无解当0a1时，f(x)在1,0上单调递减，则解得ab.角度3指数函数性质的综合应用解 (2)令g(x)ax24x3，f(x)g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使yg(x)的值域为(0，)应使g(x)ax24x3的值域为R，因此只能a0(因为若a0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)故a的值为0.方法技巧综合应用指数函数性质的常考题型及求解策略冲关针对训练1(2018珠海模拟)若xlog521，则函数y4x2x13的最小值为()A4 B3 C1 D0答案A解析xlog521log52xlog52x，令t2x，则有yt22t3(t1)24，当t1，即x0时，取得最小值4.故选A.2若不等式(m2m)2xx1对一切x(，1恒成立，则实数m的取值范围是_答案2m3解析(m2m)2xx1可变形为m2mx2，设tx，则原条件等价于不等式m2mtt2在t2时恒成立，显然tt2在t2时的最小值为6，所以m2m6，解得2m3.1(2017全国卷)设x，y，z为正数，且2x3y5z，则()A2x3y5z B5z2x3yC3y5z2x D3y2x0时，2x1.则f(x)12x图象A满足故选A.答案B解析 基础送分 提速狂刷练一、选择题1给出下列结论：当a1，nN*，n为偶数)；函数f(x)(x2) (3x7)0的定义域是；若5a0.3,0.7b0.8，则ab0.其中正确的是()A B C D答案B解析当a0，a30，故错误，a0，ab0，错误故选B.2设函数yx3与yx2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)答案B解析如图所示，设f(x)x3，g(x)x2，f(0)g(0)，f(1)g(2)，f(3)g(3)，.x0(1,2)故选B.3(2017北京模拟)已知函数f(x)ax，其中a0且a1，如果以P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2)为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)f(x2)等于()A1 Ba C2 Da2答案A解析以P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2)为端点的线段的中点在y轴上，x1x20.又f(x)ax，f(x1)f(x2)ax1ax2ax1x2a01，故选A.4(2018沈阳模拟)若关于x的方程9x(4a)3x40有解，则实数a的取值范围为()A(，8)0，) B(8，4)C8，4 D(，8答案D解析a4，令3xt(t0)，则，因为4，所以4，a44，所以a的范围为(，8故选D.5(2018南昌质检)定义在R上的偶函数f(x2)，当x2时，f(x)ex12(e为自然对数的底数)，若存在kZ，使方程f(x)0的实数根x0(k1，k)，则k的取值集合是()A0 B3 C4,0 D3,0答案D解析偶函数f(x2)的图象关于y轴对称，函数yf(x)的图象关于x2对称当x2时，f(x)ex12，f(x)ex12在(2，)上单调递增，且f(1)0.由零点存在定理可知，函数f(x)ex12在(1,0)上存在零点由函数图象的对称性可知，当xf(cx)D大小关系随x的不同而不同答案A解析f(1x)f(1x)，f(x)图象的对称轴为直线x1，由此得b2.又f(0)3，c3.f(x)在(，1)上递减，在(1，)上递增若x0，则3x2x1，f(3x)f(2x)若x0，则3x2xf(2x)f(3x)f(2x)故选A.7(2018长春模拟)若存在正数x使2x(xa)1成立，则a的取值范围是()A(，) B(2，)C(0，) D(1，)答案D解析不等式2x(xa)1可变形为xax.在同一平面直角坐标系内作出直线yxa与yx的图象由题意，在(0，)上，直线有一部分在曲线的下方观察可知，有a1.故选D.8(2017江西南昌二模)已知函数yf(x)是周期为2的周期函数，且当x1,1时，f(x)2|x|1，则函数F(x)f(x)|lg x|的零点个数是()A9 B10 C11 D18答案B解析依题意，在坐标平面内画出函数yf(x)与y|lg x|的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F(x)f(x)|lg x|的零点个数是10，故选B.9(2018宜宾模拟)已知函数f(x)x4，x(0,4)，当xa时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)a|xb|的图象为()答案A解析x(0,4)，x11，f(x)x4x15251，当且仅当x2时取等号，此时函数有最小值1.a2，b1，此时g(x)2|x1|此函数可以看成函数y的图象向左平移1个单位，结合指数函数的图象及选项可知A正确故选A.10(2018蒙城模拟)设x1，x2R，函数f(x)满足ex，若f(x1)f(x2)1，则f(x1x2)最小值是()A4 B2 C. D.答案C解析二、填空题11(2018浦东检测)关于x的方程x只有正实数解，则a的取值范围是_答案解析方程x只有正实数解，1，即10，整理得0.解得abc0，则，的大小关系为_答案解析由题意可以转化为f(x)上的点与原点连线的斜率，根据函数f(x)x，设A(a，f(a)，B(b，f(b)，C(c，f(c)，观察图象知kOAkOBkOC，0时，g(x)，x2,2的值域是2a1，2a1，所以2a1，2a14,3，所以则0a1；当a0时，g(x)，x2，2的值域是2a1，2a1，所以2a1，2a14,3，所以则1a0，则方程t2at10至少有一个正根解法一：由于at2，a的取值范围为2，)解法二：令h(t)t2at1，由于h(0)10，只需解得a2，a的取值范围为2，