2019版高考数学复习三角函数解三角形第22讲正弦定理和余弦定理学案.docx

第22讲正弦定理和余弦定理考纲要求考情分析命题趋势掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2016全国卷，172016四川卷，172016北京卷，15正、余弦定理是解三角形的主要工具.高考中主要考查用其求三角形中的边和角及进行边、角之间的转化.分值：512分1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容！#2R(R为ABC外接圆半径)a2！b2c22bccos A#，b2！a2c22accos B#，c2！a2b22abcos C#变形形式a！2Rsin A#，b！2Rsin B#，c！2Rsin C#，sin A！#，sin B！#，sin C！#，abc！sin Asin Bsin Ccos A！#，cos B！#，cos C！#2在ABC中，已知a，b和A，解三角形时解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Aabsin Absin Aabab解的个数！无解#！一解#！两解#！一解#！一解#！无解#3三角形常用的面积公式(1)Saha(ha表示a边上的高).(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A.(3)Sr(abc)(r为内切圆半径).1思维辨析(在括号内打“”或“”).(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立.()(2)三角形中各边和它所对角的弧度数之比相等.()(3)已知两边及其夹角求第三边，用余弦定理.()(4)在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()(5)在ABC中，若sin Asin B，则AB.()解析(1)正确.由正弦定理和余弦定理的证明过程可知，它们对任意三角形都成立.(2)错误.由正弦定理可知该结论错误.(3)正确.由余弦定理可知该结论正确.(4)错误.当已知三个角时不能求三边.(5)正确.由正弦定理知sin A，sin B，由sin Asin B得ab，即AB.2在ABC中，若A60，B45，BC3，则AC(B)A4B2CD解析由正弦定理得：，即，所以AC2.3在ABC中，a，b1，c2，则A(C)A30B45C60D75解析cos A，又0A180，A60.4在ABC中，若a18，b24，A45，则此三角形有(B)A无解B两解C一解D解的个数不确定解析，sin Bsin Asin 45，sin B，又ab，B有两个.5在ABC中，B120，AC7，AB5，则ABC的面积为！#.解析设BCx，由余弦定理得4925x210xcos 120，整理得x25x240，即x3.因此SABCABBCsin B35.一利用正、余弦定理解三角形(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用.(2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用.【例1】 如图，在平面四边形ABCD中，AD1，CD2，AC.(1)求cos CAD的值；(2)若cos BAD，sin CBA，求BC的长.解析(1)在ADC中，由余弦定理，得cosCAD.(2)设BAC，则BADCAD.因为cos CAD，cos BAD，所以sin CAD，sin BAD.于是sinBACsin (BADCAD)sin BADcos CADcos BADsin CAD.在ABC中，由正弦定理得，BC3.二利用正、余弦定理判定三角形的形状利用正、余弦定理判定三角形形状的技巧(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论.注意：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.【例2】 在ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C(1)求A的大小；(2)若sin Bsin C1，试判断ABC的形状.解析(1)由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc，由余弦定理得a2b2c22bccos A，故cos A，又0A，所以A.(2)由(1)得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.又sin Bsin C1，联立两式得sin Bsin C.因为0B，0C，故BC，所以ABC是等腰三角形.三与三角形面积有关的问题三角形面积问题的常见类型及解题策略(1)求三角形的面积.对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式.(2)已知三角形的面积解三角形.与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化.【例3】 ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长.解析(1)由已知正弦定理，得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C,2cos Csin (AB)sin C故2cos Csin Csin C可得cos C，所以C.(2)由已知，得absin C.又C，所以ab6.由已知及余弦定理，得a2b22abcos C7.故a2b213，从而(ab)225.所以ABC的周长为5.1(2018山西太原模拟)在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A，a2，SABC，则b的值为(A)ABC2D2解析在锐角ABC中，sin A，SABC，cos A，bcsin Abc，bc3 ，由余弦定理得a2b2c22bccos A，(bc)2a22bc(1cos A)4612，bc2 .由得bc，故选A2(2018辽宁五校第一次联考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若直线bxycos Acos B0与axycos Bcos A0平行，则ABC一定是(C)A锐角三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰或直角三角形解析由两直线平行可得bcos Bacos A0，由正弦定理可知sin Bcos Bsin Acos A0，即sin 2Asin 2B，又A，B(0，)，且AB(0，)，所以2A2B或2A2B，即AB或AB.若AB，则ab，cos Acos B，此时两直线重合，不符合题意，舍去，故AB，则ABC是直角三角形，故选C3(2018东北育才模拟)已知ABC是斜三角形，内角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c.若csin Aacos C(1)求角C；(2)若c，且sin Csin(BA)5sin 2A，求ABC的面积.解析(1)根据，可得csin Aasin C，又csin Aacos C，asin Cacos C，sin Ccos C，tan C，C(0，)，C.(2)sin Csin(BA)5sin 2A，sin Csin(AB)，sin(AB)sin(BA)5sin 2A，2sin Bcos A25sin Acos A.ABC为斜三角形，cos A0，sin B5sin A.由正弦定理可知b5a，c2a2b22abcos C，21a2b22aba2b2ab，由解得a1，b5，SABCabsin C15.4(2016北京卷)在ABC中，a2c2b2ac.(1)求B的大小；(2)求cos Acos C的最大值.解析(1)由余弦定理及题设得cos B.又因为0b，所以B.(2)由(1)知AC，cos Acos Ccos Acoscos Acos Asin Acos Asin Acos.因为0A0，B为锐角，sin B.sin Asin B，AB，cos A.cos Ccos (AB)cos(AB).课时达标第22讲解密考纲本考点考查利用正弦定理、余弦定理求解三角形，判断三角形的形状，求三角形的面积等.三种考查内容均有呈现，一般排在选择题、填空题的中间位置或解答题靠前的位置，题目难度中等偏易.一、选择题1在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a1，b，A，则B(B)AB或C或D解析根据正弦定理，得，sin B，B或.2在ABC中，若AB2，AC2BC28，则ABC面积的最大值为(C)AB2CD3解析AC2BC22ACBC，ACBC4.cos C，cos C，0C60.SACBCsin C，由不等式的性质可知当ACBC2时，面积S有最大值，Smax22，故选C3在ABC中，A45，C105，BC，则边长AC为(B)A1B1C2D1解析根据题意有B1801054530，根据正弦定理，得AC1，故选B4在ABC中，AC，BC2，B60，则BC边上的高等于(B)ABCD解析设ACb，BCa，ABc，由余弦定理b2a2c22accos B，得74c22c，解得c3.设BC边上的高为h，则hcsin B.5钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC(B)A5BC2D1解析SABBCsin B1sin B，sin B，B或.当B时，根据余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos B1225，AC，此时ABC为钝角三角形，符合题意；当B时，根据余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos B1221，AC1，此时AB2AC2BC2，ABC为直角三角形，不符合题意，故AC.6在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，C，则ABC的面积是(C)A3BCD3解析c2(ab)26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abcosa2b2ab.由，得ab60，即ab6.SABCabsin C6.二、填空题7ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列.若sin B，cos B，则ac的值为！3#.解析a，b，c成等比数列，b2ac.sin B，cos B，ac13，b2a2c22accos B，a2c237，(ac)263，ac3.8在ABC中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积等于！2#.解析如图所示，在ABC中，由正弦定理，得，解得sin B1，所以B90.所以SABCAB222.9在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若bca，2sin B3sin C，则cos A的值为！#.解析由2sin B3sin C及正弦定理得2b3c，即bc.又bca，ca，即a2c.由余弦定理，得cos A.三、解答题10在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2cos A1)sin B2cos A1(1)求A的大小；(2)若5b2a22c2，求的值.解析(1)(2cos A1)sin B2cos A1，(2cos A1)(sin B1)0.0B0，cos A.0A，A.(2)在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccos Ab2c2bc.5b2a22c2，5b2b2c2bc2c2，4b2bc3c20，4230.解得1(舍)或，.11ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ab，c，cos2Acos2Bsin Acos Asin Bcos B(1)求角C的大小；(2)若sin A，求ABC的面积.解析(1)由倍角公式，原等式可化为sin 2Asin 2B，即sinsin.ab，AB.又A，B(0，)，2B2A，解得AB，C(AB).(2)由正弦定理可求得a.ac，AC，cos A.sin Bsin(AC)sin(AC)，SA