浙江省杭州市塘栖中学2014届高三数学一轮复习课件（理）第11章112两直线的位置关系与对称问题

11.2 两直线的位置关系与对称问题,1.如果直线l1:ax+2y+1=0与直线l2:x+y-2=0互相垂直，那么a的值等于( ) A.1 B. C. D.-2,D,解析： 解法1：由l1l2 A1A2+B1B2=0， 求得a=-2. 解法2：若两直线垂直且斜率存在， 则k1k2=-1, 即 得a=-2.,2.(2010安徽卷)过点(1,0)且与直线x-2y- 2=0 平行的直线方程是( ) Ax-2y-1=0 Bx-2y+1=0 C2x+y-2=0 Dx+2y-1=0,A,3.(2010浙江台州模拟)不等边ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，则直线xsin2A+ysinA=a与直线xsin2B+ysinC=c的位置关系是( ) A平行 B垂直 C重合 D相交但不垂直,C,4.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是 .,x+2y-3=0,1.平面内的两条直线的位置关系 若直线l1:y=k1x+b1或A1x+B1y+C1=0; 直线l2:y=k2x+b2或A2x+B2y+C2=0. (1)l1l2 且b1b2 或 且A2C1-A1C20 (或B1C2-B2C10).,k1=k2,A1B2-A2B1=0,(2) l1l2 或 . (3) l1与l2相交A1B2-A2B10. (4) l1与l2重合k1=k2且b1=b2或 A1B2-A2B1=0 且A1C2-A2C1=0(或B1C2-B2C1=0).,k1k2= -1,A1A2+B1B2=0,2.点与直线的位置关系 设点P(x0,y0)，直线l:Ax+By+C=0,则 (1)点在直线上：Ax0+By0+C=0. (2)点在直线外：Ax0+By0+C0. (3)点到直线的距离d= . 特别地，l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0, 则l1与l2间的距离d= .,3.中心对称与轴对称 (1)中心对称：求P(x0,y0)关于点M(a,b)对称的点P的基本方法是转化为M是线段PP的中点求，即P(2a-x0,2b-y0). 特例：当a=0,b=0时，P(x0,y0)关于原点的对称点为P (-x0,-y0).,(2)轴对称：求已知点P(x0,y0)关于已知直线l:y=kx+b的对称点P(x,y)的基本方法是转化为求方程组的解,即由 PPl 线段PP的中点P0l,特例：当k=0,1或b=0时，分别有以下规律： P(x,y)关于x轴、y轴对称的点分别为P1(x,-y),P2(-x,y). P(x,y)关于直线y=x,y=-x对称的点分别为 .,P3(y, x)、P4(-y,-x),P(x,y)关于直线y=x+b,y=-x+b对称的点分别为P5(y-b,x+b),P6(-y+b,-x+b). P(x,y)关于直线x=a,y=b对称的点分别为P7(2a-x,y),P8(x,2b-y). 注意：当k1，0时，不具有上述规律.,4.对称变换 (1)曲线C:F(x,y)=0经过上述规律进行变换f,得曲线C,则C为C关于f对称的曲线. (2)若C的方程与C的方程相同， 则证明曲线C自身具有对称性.,特例：曲线C：F(x,y)=0关于x轴、y轴、原点对称的曲线C的方程分别为F(x,-y) =0, F(-x,y)=0,F(-x,-y)=0;关于直线y=x,y=-x, y=x+b,y=-x+b对称的曲线C的方程分别是F(y,x)=0,F(-y,-x)=0,F(y-b,x+b)=0,F(-y+b,-x+b) =0;关于直线x=a,y=b,点M(a,b)对称的曲线C的方程分别为F(2a-x,y)=0,F(x,2b-y)=0,F(2a-x,2b-y)=0.,考点1: 两条直线的位置关系 例题1：已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1) x+y+b=0,求满足下列条件的a、b的值. （1）l1l2，且l1过点(-3,-1); 解析：由已知可得l2的斜率必存在， 所以k2=1-a. 若k2=0，则1-a=0,a=1.,因为l1l2,直线l1的斜率k1必不存在， 即b=0. 又因为l1过点(-3,-1)， 所以-3a+b+4=0, 即b=3a-4=-10（不合题意）， 所以此种情况不存在，即k20.,若k20，即k1、k2都存在. 因为 所以k1k2=-1,即 又因为l1过点(-3,-1)， 所以-3a+b+4=0. 由联立，解得a=2,b=2.,(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等. 解析： 因为l2的斜率存在，l1l2, 所以直线l1的斜率存在， 所以k1=k2,即 又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1l2,所以l1、l2在y轴上的截距互为相反数， 即 则联立解得 或 所以a、b的值分别为2和-2或 和2.,点评：在运用直线的斜截式y=kx+b时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况.运用直线的一般式Ax+By+C=0时，要特别注意A、B为零时的特殊情况.另外求解与两直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两直线平行或垂直的充要条件；若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究.,拓展训练：已知两直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my-1=0，试确定m、n的值，使： (1)l1l2; 解析：由mm-82=0, 得m=4. 由8(-1)-nm0， 得 或 ， 即m=4,n-2时，或m=-4,n2时，l1l2.,(2)l1l2且l1在y轴上的截距为-1. 解析：当且仅当m2+8m=0, 即m=0时，l1l2. 又 所以n=8, 即m=0,n=8时， l1l2且l1在y轴上的截距为-1,考点2： 有关距离的问题 例题2 ：已知点P(2，-1) (1)求过点P且与原点距离为2的直线l的方程； (2)求过点P且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？,分析：设出直线方程，利用点到直线的距离公式求出系数即可,点评：1.点到直线的距离公式和两平行直线间的距离公式是常用的公式，应熟练掌握 2点到几种特殊直线的距离： (1)点P(x0，y0)到x轴的距离d=|y0|； (2)点P(x0，y0)到y轴的距离d=|x0|； (3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y=a的距离d=|y0-a|； (4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x=b的距离d=|x0-b|.,拓展训练：在直线x+3y=0上求一点P，使它到原点的距离与到直线x+3y-2=0的距离相等,考点3：两直线的交点问题 例题3：求经过两直线l1：x-2y+4=0和l2：x+y-2=0的交点P，且与直线l3：3x-4y+5=0垂直的直线l的方程,分析：求l的方程： 思路一：求交点，定斜率，用点斜式求解 思路二：利用直线系方程求解,拓展训练：本例中，若把条件中的“垂直”改为“平行”，求直线l的方程,考点4 对称问题 求直线l1：2x+y-4=0关于直线l：x-y+2=0对称的直线l2的方程,点评：由平面几何知识知，若直线l1、l2关于直线l对称，则有如下性质：若直线l1与直线l相交，则交点在直线l2上；若B在直线l1上，则其关于直线l的对称点C在直线l2上本题方法一就是利用上述两条性质，找出确定直线l2的两个点(直线l1与直线l的交点A和直线l1上的特殊点B关于直线l的对称点)，由两点式得到直线l2的方程；方法二则是用运动的观点，直接求轨迹方程把握两点：线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直,拓展训练：求直线l：2x-3y+1=0关于点 A(-1，-2)对称的直线l的方程,点评：点线对称是直线的方程中很经典的一个问题它还包括点关于点的对称和线关于线的对称等，而轴对称性质和中点坐标公式是解决这类问题的主要途径,已知n条直线，l1：x-y+C1=0，C1=，l2：x-y+C2=0，l3：x-y+C3=0，ln：x-y+Cn=0(其中C1C2C3Cn)，这n条平行直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2、3、4、n. (1)求Cn； (2)求x-y+Cn=0与x轴、y轴围成的图形的面积； (3)求x-y+Cn-1=0与x-y+Cn=0及x轴、y轴围成图形的面积,1两直线平行与垂直的判定 判断两直线平行或垂直时，不要忘记两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形另外，两直线斜率相等，包括平行或重合两种情况，应注意区分 2两平行线间的距离 在运用公 式 d= 求两平行直线间的距离时，一定要把x，y项相应系数化成相等的系数,3直线系问题 直线系是具有某一共同性质的直线的全体，巧妙地使用直线系，可以减少运算量，简化运算过程 (1)设l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0. 若l1与l2相交，则方程A1x+B1y+C1+l(A2x+B2y+C2)=0表示过l1与l2交点的直线系(不包括l2)；,若l1l2，则上述形式的方程表示与l2平行的直线系 (2)过定点(x0，y0)的旋转直线系方程为y-y0=k(x-x0)(kR)(不包括直线x=x0)，