2018年高中数学第1章计数原理1.2排列教学案苏教版.docx_第1页
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1.2 排列第1课时排列与排列数公式1甲、乙两名同学参加一项活动,其中一名参加上午的活动,另外一名参加下午的活动问题1:甲在上午和乙在上午是相同的安排法吗?提示:不是问题2:有几种不同的排法?提示:两种甲上午,乙下午;甲下午,乙上午2若从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另1名同学参加下午的活动问题3:让你去安排这项活动,需要几步?提示:分两步问题4:它们是什么?提示:第一步确定上午的同学,第二步确定下午的同学问题5:有几种排法?提示:上午有3种,下午有2种,因分步完成共326种问题6:这些排法相同吗?提示:不相同,它们是有顺序的3从a、b、c中任取两个元素,按照一定的顺序排成一列问题7:共有多少种不同的排列方法?提示:326种问题8:试写出它们的排列提示:ab,ac,ba,bc,ca,cb.排列的定义一般地,从n个不同的元素中取出m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.已知数字1,2,3,4,5,6.问题1:从1,2,3,4,5,6中选出两个数字,能构成多少个没有重复数字的两位数?提示:有6530(个)问题2:从1,2,3,4,5,6中选出三个数字,能构成多少个没有重复数字的三位数?提示:有654120(个)问题3:从1,2,3,4,5,6中选出四个数字,能构成多少个没有重复数字的四位数?提示:有6543360(个)问题4:若从n个不同元素中取出m(mn)个元素排成一列,有多少种不同的排法?提示:有n(n1)(n2)(nm1)(个)排列数全排列定义从n不同元素中取出m个(mn)元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个不同元素的一个全排列表示法AA公式乘积形式An(n1) (n2)(nm1)An(n1)(n2)321阶乘形式AAn!性质A1;0!1备注n,mN*,且mn1判断一个具体问题是不是排列问题主要看从n个元素中取出m个元素后,在安排m个元素时,是有序还是无序,有序是排列,无序就不是排列也就是说排列与元素的顺序有关,与元素顺序无关的不是排列2排列与排列数是两个不同的概念,排列是一个具体的排法,不是数;排列数是所有排列的个数,它是一个数例1下列哪些问题是排列问题:(1)从10名学生中抽2名学生开会;(2)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘;(3)以圆上的10个点为端点作弦;(4)10个车站,站与站间的车票思路点拨利用排列的定义去判断,关键是看取出的元素是否与顺序有关精解详析(1)2名学生开会没有顺序,不是排列问题(2)两个数相乘,与这两个数的顺序无关,不是排列问题(3)弦的端点没有先后顺序,不是排列问题(4)车票使用时,有起点和终点之分,故车票的使用是有顺序的,是排列问题一点通判断一个具体问题是否有顺序的方法:变换元素的位置,看结果有无变化,若有变化,则与元素的顺序有关,是排列问题;否则,为非排列问题1更改例题的各条件如下,请重新判断是不是排列问题:(1)抽2名学生当正、副班长;(2)取两个数相除;(3)以圆上10个点为端点作有向线段;(4)10个车站间站与站的票价解:(1)2名学生当正、副班长是有顺序的,故是排列问题(2)两个数有除数和被除数之分,有顺序,是排列问题(3)有向线段有起点和终点之分,有顺序,是排列问题(4)两车站间来回的票价一样,故与顺序无关,不是排列问题2判断下列问题是否为排列问题(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同);(2)选2个小组分别去植树和种菜;(3)选2个小组去种菜;(4)选10人组成一个学习小组;(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员;(6)某班40名学生在假期相互通信解:(1)中票价只有三种,虽然机票是不同的,但票价是一样的,不存在顺序问题,所以不是排列问题(2)植树和种菜是不同的,存在顺序问题,属于排列问题(3)、(4)不存在顺序问题,不属于排列问题(5)中每个人的职务不同,例如,甲当班长与当学习委员是不同的,存在顺序问题,属于排列问题(6)A给B写信与B给A写信是不同的,所以存在着顺序问题,属于排列问题所以在上述各题中(2)、(5)、(6)属于排列问题. 例2A,B,C,D四名同学站成一排照相,写出A不站在两端的所有可能站法思路点拨解决本题可通过树形图法,画出依题意的形状,便可写出不同的站法精解详析如图所示的树形图:故所有可能的站法是BACD,BADC,BCAD,BDAC,CABD,CADB,CBAD,CDAB,DABC,DACB,DBAC,DCAB,共12种一点通“树形图”是解决简单排列问题的有效方法,特别是元素较少时在具体操作中,先将元素按一定顺序排出,然后以安排哪个元素在首位为分类标准,进行分类,在每类中再在前面元素不变的情况下定第二位元素,依次一直进行到完成一个排列3A,B,C三个同学站成一排照相留念,写出所有排列解:由题意作树形图如图所示:故所有的排列为:ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA.4A,B,C,D四名同学重新换位(每个同学都不能坐其原来的位子),试列出所有可能的换位方法解:假设A,B,C,D四名同学原来的位子分别为1,2,3,4号,列出树形图如图:位置编号换位后,原来1,2,3,4号座位上坐的同学的所有可能排法有:BADC,BCDA,BDAC,CADB,CDAB,CDBA,DABC,DCAB,DCBA.例3计算:(1);(2).思路点拨利用公式A化简变形精解详析(1)1.(2)原式(nm)!(nm)!1.一点通应用排列数公式应注意以下几个方面:(1)准确展开:应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确(2)合理约分:若运算式是分式形式,则要先约分后计算(3)合理组合:运算时要结合数据特点,应用乘法的交换律、结合律,进行数据的组合,可以提高运算的速度和准确性,如:n!n(n1)!;nn!(n1)!n!;等5如果A151413121110,那么n_,m_解析:151413121110A,n15,m6.答案:1566._解析:原式3.答案:37解下列方程:(1)3A2A6A;(2)5A6A.解:(1)由3A2A6A,得3x(x1)(x2)2(x1)x6x(x1)x3,3(x1)(x2)2(x1)6(x1),即3x217x100.解得x5或x(舍去),x5.(2)由5A6A,得化简得x211x240,解得x13,x28,x4,且x15,原方程式的解为x3.1排列数公式的特点(1)第一个因数是n;(2)每个因数都比它前面的因数少1;(3)最后一个因数是nm1;(4)一共有m个连续的自然数相乘2应用排列数公式应注意的问题(1)排列数的第一个公式An(n1)(nm1)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式(2)排列数的第二个公式A适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等,在具体运用时,则应注意先提取公因式,再计算,同时还要注意隐含条件“mn且nN*,mN*”的运用课下能力提升(三)一、填空题1下列问题中:10本不同的书分给10名同学,每人一本;10位同学互通一次电话;10位同学互通一封信;10个没有任何三点共线的点构成的线段其中属于排列问题的是_(将正确序号填上)解析:和中两个元素交换顺序,结果发生变化,所以和是排列问题答案:2从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为_(填序号)甲乙,乙甲,甲丙,丙甲;甲乙丙,乙丙甲;甲乙,甲丙,乙甲,乙丙,丙甲,丙乙;甲乙,甲丙,乙丙解析:这是一个排列问题,与顺序有关,任意两人对应的是两种站法,故正确答案:3已知A132,则n_解析:An(n1)132,即n2n1320,又因为nN*,所以n12.答案:124从5个人中选出3人站成一排,则不同的排法有_种解析:从5个人中选出3人站成一排,共有A54360种不同的排法答案:605记S1!2!3!99!,则S的个位数字是_解析:1!1,2!2,3!6,4!24,5!120,而6!65!,7!765!,99!999865!,所以从5!开始到99!,个位数字均为0,所以S的个位数字为3.答案:3二、解答题6计算:(1)2A4A;(2).解:(1)原式27654465432654(2746)120(1424)1 200.(2)原式4141244.7解方程A140A.解:由题意得x3.根据排列数公式,原方程化为(2x1)2x(2x1)(2x2)140x(x1)(x2),x3,两边同除以4x(x1),得(2x1)(2x1)35(x2),即4x235x690.解得x3或x5(因为x为整数,故应舍去)所以x3.8用1,2,3,4四个数字排成三位数,并把这些三位数从小到大排成一个数列an(1)写出这个数列的前11项;(2)求这个数列共有多少项解:(1)111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133.(2)这个数列的项数就是用1,2,3,4排成三位数的个数,每一位都有4种排法,则根据分步计数原理共有44464项第2课时排列的应用例1(1)有5个不同的科研小课题,从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究,每组一个课题,共有多少种不同的安排方法?(2)有5个不同的科研小课题,高二(6)班的3个学习兴趣小组报名参加,每组限报一个课题,共有多少种不同的报名方法?思路点拨(1)选出3个课题进行排列;(2)每个学习小组都选一个课题精解详析(1)从5个不同的课题中选出3个,由兴趣小组进行研究,对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列因此不同的安排方法有A54360种(2)由题意知,3个兴趣小组可能报同一科研课题,因此元素可以重复,不是排列问题由于每个兴趣小组都有5种不同的选择,且3个小组都选择完才算完成这件事由分步计数原理得,共有555125种报名方法. 一点通没有限制条件的排列问题,即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制,这一类题相对简单,分清元素和位置即可1某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目最多1项,则该外商不同的投资方案有_种解析:不同的投资方案有A43224种答案:242有5名男生和2名女生,从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表,则不同的选法共有_种(用数字作答)解析:由题意知,从7人中选出5人担任5个学科的科代表,共有A2 520种不同的选法答案:2 5203某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任挂1面、2面或3面,并且不同的顺序表示不同的信号,则一共可以表示多少种不同的信号?解:第1类,挂1面旗表示信号,有A种不同方法;第2类,挂2面旗表示信号,有A种不同方法;第3类,挂3面旗表示信号,有A种不同方法根据分类计数原理,可以表示的信号共有AAA33232115种.例27位同学站成一排(1)其中甲站在最左端的位置,共有多少种不同的排法?(2)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种?(3)其中甲不能站在排头、乙不能站在排尾的排法共有多少种?思路点拨这是一个有限制条件的排列问题,每一问均应优先考虑限制条件,遵循特殊元素或位置优先安排的原则精解详析(1)先考虑甲站在最左端有1种方法,再在余下的6个位置排另外6位同学,共A种排法(2)法一:先考虑在除两端外的5个位置选2个安排甲、乙有A种,再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有A种,共有AA种排法法二:考虑特殊位置优先法,即两端的排法有A种,中间5个位置有A种,共有AA种排法(3)法一:分两类:乙站在排头和乙不站在排头,乙站在排头的排法共有A种,乙不站在排头的排法总数为:先在除甲、乙外的5人中选1人安排在排头的方法有5种,中间5个位置选1个安排乙的方法有5种,再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有A种,故共有A55A种排法法二:考虑间接法,总排法为A,不符合条件的甲在排头或乙站排尾的排法均为A种,但这两种情况均包含了甲在排头和乙站排尾的情况,故共有A2AA种排法一点通解决这种有限制条件的排队问题,关键是搞清元素是什么,位置是什么,根据给出的限制条件,按特殊元素(位置)恰当合理地分类或分步来解决4张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两个小孩一定要排在一起,则这6人的入园顺序排法种数为_(用数字作答)解析:第一步:将两位爸爸排在两端有2种排法;第二步:将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有A种排法;第三步:将两个小孩排序有2种排法故总的排法有22A24(种)答案:2456个人按下列要求站一排,分别有多少种不同的站法?(1)甲不站右端,也不站左端;(2)甲、乙站在两端;(3)甲不站左端,乙不站右端解:(1)第一步,先从甲以外的5个人中任选两人站在左、右两端,有A种不同的站法;第二步,再让剩下的4个人站在中间的4个位置,有A种不同的站法,由分步计数原理有AA480种不同的站法(2)让甲、乙先站两端,有A种站法,再考虑中间4个位置,由剩下的4个人去站,有A种不同的站法,由分步计数原理有AA48种不同的站法(3)以元素甲的位置进行考虑,可分两类:甲站右端有A种不同的站法;甲在中间4个位置之一,而乙不在右端,可先排甲后排乙,再排其余4个,有44A种不同的站法,故共有A44A504种不同的站法.例3用0,1,2,3,4这五个数字,组成五位数,(1)可组成多少个五位数?(2)可组成多少个无重复数字的五位数?(3)可组成多少个无重复数字的五位奇数?思路点拨该题目中的特殊元素为0,它不能放在首位(1)数字可以重复;(2)只需限制首位(即万位)不为0;(3)限制末位是奇数,首位不是0.精解详析(1)各个数位上的数字允许重复,由分步计数原理得,共可组成五位数455552 500个(2)法一:(优先考虑特殊位置)先排万位,从1,2,3,4中任取一个有A种方法,其余四个位置排四个数字共有A种方法,所以组成的无重复数字的五位数共有AA96个法二:(优先考虑特殊元素)先排0,除首位之外的其他四个数位均可,有A种方法,其余四个数字全排列,有A种方法故组成的无重复数字的五位数共有AA96个(3)(优先考虑特殊位置)先排个位,1和3均可,有A种方法然后从剩下的3个非0数中选一个排在万位,有A种方法,最后将剩下的3个数排在其他三个数位上,有A种方法故组成的无重复数字的五位奇数共有AAA36个一点通组数问题中常用的知识:(1)能被2整除的数的特征:末位数是偶数;不能被2整除的数的特征:末位数是奇数(2)能被3整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数;能被9整除的数的特征:各位数字之和是9的倍数(3)能被4整除的数的特征:末两位是4的倍数(4)能被5整除的数的特征:末位数是0或5;能被25整除的数的特征:末两位数是25的正整数倍(5)能被6整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数的偶数6用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,(1)可组成多少个不同的四位数?(2)可组成多少个四位偶数?解:(1)先排首位,有A种排法,再排个位、十位和百位,有A种排法,故共有AA300个不同的四位数(2)当个位数字是0时,有A种;当个位数字不是0时,有AAA种所以,共有AAAA156个,即可组成156个四位偶数7在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有多少个?解:依题意,所选的三位数字有两种情况:(1)3个数字都是奇数,从1,3,5三个数中选三个数排列,有A种方法;(2)3个数字中有一个是奇数,分两步进行,选一个奇数,有3种选法,这个奇数与两个偶数全排列,故有3A种方法由分类计数原理,共有A3A24个满足条件的三位数1解决排列问题时通常从以下三个途径考虑(1)以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;(2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置,如组数问题中的首位,如果所给数字中有0,应先考虑首位不为0;(3)先不考虑附加条件,计算出排列数,然后去掉不符合要求的排列2解决组数问题应注意的几点(1)首位数字不为0;(2)若所选数字中含有0,则可先排0,即“元素分析法”;(3)若排列的数是特殊数字,如偶数,则先排个位数字,即“位置分析法”;(4)此类问题往往需要分类,可依据特殊元素,特殊位置分类课下能力提升(四)一、填空题1由1,2,3,4,5,6,7,8八个数字,组成无重复数字的两位数的个数为_(用数字作答)解析:A8756个答案:5625个人站成一排,其中甲、乙两人不相邻的排法有_种(用数字作答)解析:先排甲、乙之外的3人,有A种排法,然后将甲、乙两人插入形成的4个空中,有A种排法,故共有AA72(种)排法答案:723A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果A,B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法有_种解析:根据题目的条件可知,A,B必须相邻且B在A的右边,所以先将A,B两人捆起来看成一个人参加排列,即是4个人在4个位置上作排列,故不同的排法有A432124(种)答案:244由数字1,2,3与符号“”和“”五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列的个数是_解析:符号“”和“”只能在两个数之间,这是间隔排列,排法共有AA12种答案:125将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数,第二行2个数,第三行3个数的形式随机排列,设Ni(i1,2,3)表示第i行中最大的数,则满足N1N2N3的所有排列的个数是_(用数字作答)解析:由题意知数字6一定在第三行,第三行的排法种数为AA60;剩余的三个数字中最大的一定排在第二行,第二行的排法种数为AA4,由分步计数原理知满足条

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