浙江省绍兴县杨汛桥镇八年级数学下册专题提升三以特殊平行四边形为背景的计算与证明试题新版浙教版.docx

专题提升三 以特殊平行四边形为背景的计算与证明类型一 特殊平行四边形的阅读理解问题1. 阅读下列材料：我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则称这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形如正方形就是和谐四边形.结合阅读材料，完成下列问题：（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形（ ）A 平行四边形 B 矩形C 菱形 D 以上答案都不对（2）如图，等腰RtABD中，BAD=90. 若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB=BC，请直接写出ABC的度数.2 一张长方形纸片，剪下一个正方形，剩下一个长方形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形 如图1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形（1）判断与操作：如图2，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由；（2）探究与计算：已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值 3. 如图，ABC中，已知BAC45，ADBC于D，BD2，DC3，求AD的长.小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：（1）分别以AB、AC为对称轴，画出ABD、ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，求证：四边形AEGF是正方形；（2）设AD=x，建立关于x的方程模型，求出x的值.类型二 特殊平行四边形的探究性问题4. 如图，ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的外角平分线CF于点F，交ACB内角平分线CE于点E（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想ABC的形状并证明你的结论.5. 翻阅第四章同步，我们曾做过以下题目：在此基础上，思考并解答以下新问题：（1）当BAC60时，四边形ADEF是平行四边形吗？请说明理由；（2）当ABC满足什么条件，四边形ADEF是菱形？请说明理由；（3）当ABC满足什么条件，四边形ADEF是矩形？请说明理由；（4）当ABC满足什么条件，四边形ADEF是正方形？请说明理由.6. 如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连结BE，DG，观察猜想BE与DG之间的大小关系与位置关系，并证明你的猜想.7 如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AFBE（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MPNQMP与NQ是否相等？并说明理由8. 如图，ABCD，点E，F分别在AB，CD上，连结EF，AEF、CFE的平分线交于点G，BEF、DFE的平分线交于点H.（1）求证：四边形EGFH是矩形；（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G作MNEF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQEF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框中补全他的证明思路.由ABCD，MNEF，PQEF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证?荀MNQP是菱形，只要证MN=NQ，由已知条件 ，MNEF，故只要证GM=FQ，即证MGEQFH，易证 、 . 故只要证MGE=QFH，易证MGE=GEF，QFH=EFH， ，即可得证.参考答案专题提升三 以特殊平行四边形为背景的计算与证明1. （1）C （2）等腰RtABD中，BAD=90，AB=AD. AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB=BC，分三种情况讨论：若AD=CD，如图1，则凸四边形ABCD是正方形，ABC=90；若AD=AC，如图2，则AB=AC=BC，ABC是等边三角形，ABC=60；若AC=DC，如图3，则可求得ABC=150.2. （1）矩形ABCD是3阶奇异矩形，裁剪线的示意图如下：（2）裁剪线的示意图如下：3. （1）证明：由题意可得：ABDABE，ACDACF DAB=EAB，DAC=FAC，又BAC=45，EAF=90 又ADBC，E=ADB=90，F=ADC=90 四边形AEGF是矩形，又AE=AD，AF=AD，AE=AF 矩形AEGF是正方形（2）设AD=x，则AE=EG=GF=x BD=2，DC=3，BE=2，CF=3，BG=x-2，CG=x-3，在RtBGC中，BG2+CG2=BC2，（x-2）2+（x-3）2=52 化简得，x2-5x-6=0，解得x1=6，x2=-1（舍去），所以AD=x=64. （1）CE平分ACB，ACE=BCE，MNBC，OEC=ECB，OEC=OCE，OE=OC，同理，OC=OF，OE=OF；（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形 如图AO=CO，EO=FO，四边形AECF为平行四边形，设ABC的外角为ACG，CE平分ACB，ACE=ACB，同理，ACF=ACG，ECF=ACE+ACF=（ACB+ACG）=180=90，四边形AECF是矩形；（3）ABC是直角三角形，四边形AECF是正方形，ACEN，故AOM=90，MNBC，BCA=AOM，BCA=90，ABC是直角三角形5. （1）不是，此时FAD180，四边形ADEF将变成一线段；（2）当ABC满足ABAC且BAC60时，四边形ADEF是菱形，理由略；（3）当ABC满足BAC150时，四边形ADEF是矩形，理由略；（4）当ABC满足ABAC且BAC150时，四边形ADEF是正方形，理由略.6. BE=GD，BEDG，延长GD交BE于点H，先证BCEDCG，得BE=DG，CDG=EBC. CDG+CGD=90，CGD+EBC=90，GHB=90，BEGD.7. （1）在正方形ABCD中，AB=AD，BAE=D=90，DAF+BAF=90，AFBE，ABE+BAF=90，ABE=DAF，在ABE和DAF中，ABEDAF，ABAD，BAED，ABEDAF（ASA），AF=BE；（2）MP与NQ相等理由如下：如图，过点A作AFMP交CD于F，过点B作BENQ交AD于E，ABCD，ADBC，四边形AMPF与四边形BNQE是平行四边形，AF=PM，BE=NQ，在正方形ABCD中，AB=AD，BAE=D=90，DAF+BAF=90，AFBE，ABE+BAF=90，ABE=DAF，在ABE和DAF中，ABEDAF，ABAD，BAED，ABEDAF（ASA），AF=BE，MP=NQ8. （1）证明：EH平分BEF，FEH=BEF，FH平分DFE，EFH=DFE，ABCD，BEF+DFE=180，FEH+EFH=（BEF+DFE）=180=90，FEH+EFH+EHF=180，EHF=180-（FEH+EFH）=180-90=90，同理可得：EGF=90，EG平分AEF，GEF=AEF，EH平分BEF，FEH=BEF，点A、E、B在同一条直线上，AEB=180，FEG+FEH=（AEF+BEF）=180=90，即GEH=90，四边形EGF