高等数学中求导法则.ppt

,第二节,二、反函数的求导法则,三、复合函数求导法则,四、初等函数的求导问题,一、四则运算求导法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的求导法则,第二章,思路:,( 构造性定义 ),求导法则,其它基本初等函数求导公式,证明中利用了 两个重要极限,初等函数求导问题,本节内容,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、四则运算求导法则,定理1.,的和、,差、,积、,商 (除分母,为 0的点外) 都在点 x 可导,且,下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和,例题 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此法则可推广到任意有限项的情形.,证:,设, 则,故结论成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,(2),证: 设,则有,故结论成立.,推论:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( C为常数 ),例1.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3),证: 设,则有,故结论成立.,推论:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( C为常数 ),例2. 求证,证:,类似可证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、反函数的求导法则,定理2.,y 的某邻域内单调可导,证:,在 x 处给增量,由反函数的单调性知,且由反函数的连续性知,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求反三角函数及指数函数的导数.,解: 1) 设,则,类似可求得,利用, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2) 设,则,小结:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在点 x 可导,三、复合函数求导法则,定理3.,在点,可导,复合函数,且,在点 x 可导,证:,在点 u 可导,故,（当 时 ),故有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 设,求,解:,思考: 若,存在 , 如何求,的导数?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、初等函数的求导问题,1. 常数和基本初等函数的导数 (P100-101),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 有限次四则运算的求导法则,( C为常数 ),3. 复合函数求导法则,4. 初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,求,解:,例8.,设,解:,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9.,求,解:,关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10. 设,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 1. 设,解：,2 . 设,解:,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,22,观察函数,方法:,先在方程两边取对数,对数求导法-,适用范围:,二、对数求导法,然后利用求导方法求出导数.,23,1) 对幂指函数,可用对数求导法求导 :,说明:,注意:,24,例1.,.,解: 两边取对数 , 化为对隐式求导数,两边对 x 求导,求,25,例3,对 x 求导,两边取对数,求,三、相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,相关变化率问题解法:,找出相关变量的关系式,对 t 求导,得相关变化率之间的一般关系式,问题：利用其中一个变化率求出未知的相关变化率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为 500 m 时, 观察员,视线的仰