2018_2019版高中数学 随机变量及其分布章末复习学案新人教A版.docx

第二章 随机变量及其分布章末复习学习目标1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解离散型随机变量及分布列，并掌握两个特殊的分布列二项分布和超几何分布.3.理解离散型随机变量的均值、方差的概念，并能应用其解决一些简单的实际问题.4.了解正态分布曲线特点及曲线所表示的意义1离散型随机变量的分布列(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量(2)若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，则称表Xx1x2xixnPp1p2pipn为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有性质：pi 0，i1,2，n；pi1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和2两点分布如果随机变量X的分布列为X10Ppq其中0p0)在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A).(2)条件概率具有的性质：0P(B|A)1；如果B和C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)5相互独立事件(1)对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A，B是相互独立事件(2)若A与B相互独立，则P(B|A)P(B)，P(AB)P(B|A)P(A)P(A)P(B)(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立(4)若P(AB)P(A)P(B)，则A与B相互独立6二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为XB(n，p)，并称p为成功概率7离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)方差称D(X) (xiE(X)2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差(3)均值与方差的性质E(aXb)aE(X)b.D(aXb)a2D(X)(a，b为常数)(4)两点分布与二项分布的均值、方差若X服从两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p)若XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p)8正态分布(1)正态曲线：函数，(x)，x(，)，其中和为参数(0，R)我们称函数，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(2)正态曲线的性质：曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线x对称；曲线在x处达到峰值；曲线与x轴之间的面积为 1 ；当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着 的变化而沿x轴平移，如图甲所示；当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示(3)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b (ab)，随机变量X满足P(aXb)，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作XN(，2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(X)0.682 6；P(2X2)0.954 4；P(3X3)0.997 4.类型一条件概率的求法例1设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程x2bxc0实根的个数(重根按一个计)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2bxc0有实根的概率考点条件概率的定义及计算公式题点直接利用公式求条件概率解记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，则基本事件总数为6636.其中先后两次出现的点数中有5，共有11种从而P(M).记“方程x2bxc0有实根”为事件N，若使方程x2bxc0有实根，则b24c0，即b2.b，c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，当先后两次出现的点数中有5时，若b5，则c1,2,3,4,5,6；若c5，则b5,6.b5，c5只能算一种情况，从而P(MN).在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2bxc0有实根的概率为P(N|M).反思与感悟条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清要求的条件概率是在什么条件下发生的概率一般地，计算条件概率常有两种方法(1)P(B|A).(2)P(B|A).在古典概型下，n(AB)指事件A与事件B同时发生的基本事件个数；n(A)是指事件A发生的基本事件个数跟踪训练1已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人(1)求此人患色盲的概率；(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率(以上各问结果写成最简分式形式)考点条件概率的性质及应用题点条件概率的性质的简单应用解设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C.(1)此人患色盲的概率P(C)P(AC)P(BC)P(A)P(C|A)P(B)P(C|B).(2)由(1)得P(AC)，又因为P(C)，所以P(A|C).类型二相互独立事件的概率与二项分布例2天气预报，在元旦期间甲、乙两地都降雨的概率为，至少有一个地方降雨的概率为，已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率，且在这段时间甲、乙两地降雨互不影响(1)分别求甲、乙两地降雨的概率；(2)在甲、乙两地3天假期中，仅有一地降雨的天数为X，求X的分布列、均值与方差考点二项分布的计算及应用题点求二项分布的分布列解(1)设甲、乙两地降雨的事件分别为A，B，且P(A)x，P(B)y.由题意得解得所以甲地降雨的概率为，乙地降雨的概率为.(2)在甲、乙两地中，仅有一地降雨的概率为PP(A )P(B)P(A)P()P()P(B).X的可能取值为0,1,2,3.P(X0)C3，P(X1)C12，P(X2)C2，P(X3)C3，所以X的分布列为X0123P所以E(X)0123.方差D(X)2222.反思与感悟(1)求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题“P(AB)P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系公式“P(AB)1P( )”常应用于相互独立事件至少有一个发生的概率(2)二项分布的判定与二项分布有关的问题关键是二项分布的判定，可从以下几个方面判定：每次试验中，事件发生的概率是相同的各次试验中的事件是相互独立的每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生随机变量是这n次独立重复试验中某事件发生的次数跟踪训练2在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是.(1)求油灌被引爆的概率；(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为，求不小于4的概率考点互斥、对立、独立重复试验的概率问题题点互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题解(1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是：射击5次只击中一次或一次也没有击中，故该事件的概率为PC45，所以所求的概率为1P1.(2)当4时，记事件为A，则P(A)C2，当5时，意味着前4次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件B.则P(B)C34，所以所求概率为P(AB)P(A)P(B).类型三离散型随机变量的均值与方差例3为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：顾客所获的奖励额为60元的概率；顾客所获的奖励额的分布列及均值；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由考点均值与方差的应用题点均值与方差的综合应用解(1)设顾客所获的奖励额为X，依题意，得P(X60)，即顾客所获的奖励额为60元的概率为.依题意得X的所有可能取值为20,60，P(X20)，P(X60)，即X的分布列为X2060P所以这位顾客所获奖励额的均值为E(X)206040.(2)根据商场的预算，每位顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找均值为60元的可能方案对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以均值不可能为60元如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)记为方案1，对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2，以下是对这两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X12060100PX1的均值E(X1)206010060.X1的方差D(X1)(2060)2(6060)2(10060)2，对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X2406080PX2的均值E(X2)40608060，X2的方差D(X2)(4060)2(6060)2(8060)2.由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1小，所以应该选择方案2.反思与感悟求离散型随机变量X的均值与方差的步骤(1)理解X的意义，写出X可能的全部取值；(2)求X取每个值的概率或求出函数P(Xk)；(3)写出X的分布列；(4)由分布列和均值的定义求出E(X)；(5)由方差的定义，求D(X)，若XB(n，p)，则可直接利用公式求，E(X)np，D(X)np(1p)跟踪训练3某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，8，其中X5为标准A，X3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准(1)已知甲厂产品的等级系数X1的分布列如下表：X15678P0.4ab0.1且X1的均值E(X1)6，求a，b的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567用该样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的均值；(3)在(1)(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具有可购买性？说明理由注：产品的“性价比”；“性价比”高的产品更具有可购买性考点均值与方差的应用题点均值与方差的综合应用解(1)E(X1)6，50.46a7b80.16，即6a7b3.2，又由X1的分布列得0.4ab0.11，即ab0.5.由解得(2)由已知得，样本的频率分布表如下：X2345678f0.30.20.20.10.10.1用该样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的分布列如下：X2345678P0.30.20.20.10.10.1E(X2)30.340.250.260.170.180.14.8，即乙厂产品的等级系数的均值为4.8.(3)乙厂的产品更具有可购买性，理由如下：甲厂产品的等级系数的均值为6，价格为6元/件，其性价比为1，乙厂产品的等级系数的均值等于4.8，价格为4元/件，其性价比为1.2.乙厂的产品更具有可购买性类型四正态分布的应用例4为了评估某大米包装生产设备的性能，从该设备包装的大米中随机抽取100袋作为样本，称其重量为重量kg9.59.69.79.89.910.010.110.210.310.410.510.610.710.8合计包数11356193418342121100经计算：样本的平均值10.10，标准差0.21.(1)为评判该生产线的性能，从该生产线中任抽取一袋，设其重量为X(kg)，并根据以下不等式进行评判P(X)0.682 6；P( 2X2)0.954 4；P(3X3)0.997 4；若同时满足三个不等式，则生产设备为甲级；满足其中两个，则为乙级；仅满足其中一个，则为丙级；若全不满足，则为丁级请判断该设备的等级；(2)将重量小于或等于2与重量大于2的包装认为是不合格的包装，从设备的生产线上随机抽取5袋大米，求其中不合格包装袋数Y的均值E(Y)考点正态分布的应用题点正态分布的综合应用解(1)由题意得P(X)P(9.890.682 6，P(2X2)P(9.68X10.52)0.940.954 4，P(3X3)P(9.47X10.73)0.990.997 4，所以该生产设备为丙级(2)由表知，不合格的包装共有6袋，则从设备的生产线上随机抽一袋不合格的概率P，由题意知Y服从二项分布，即YB，所以E(Y)50.3.反思与感悟正态曲线的应用及求解策略解答此类题目的关键在于将待求的问题向(，(2，2，(3，3这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想跟踪训练4某市去年高考考生成绩X服从正态分布N(500,502)，现有25 000名考生，试确定考生成绩在550分600分的人数考点正态分布的应用题点正态分布的实际应用解考生成绩XN(500,502)，500，50，P(550X600)P(500250X500250)P(50050X50050)(0.954 40.682 6)0.135 9.故考生成绩在550分600分的人数约为25 0000.135 93 398.1抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过4，则出现的点数是奇数的概率为()A. B. C. D.考点条件概率的定义及计算公式题点利用缩小基本事件空间求条件概率答案D解析设抛掷一枚骰子出现的点数不超过4为事件A，抛掷一枚骰子出现的点数是奇数为事件B，则P(B|A).故选D.2国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为()A. B. C. D.考点相互独立事件的性质及应用题点独立事件与互斥事件的综合应用答案B解析设“国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游”分别为事件A，B，C，则A，B，C相互独立且P(A)，P(B)，P(C)，至少有1人去北京旅游的概率为1P( )1P()P()P()11，故选B.3某班有50名学生，一次考试后的数学成绩N(110,102)，若P(100110)0.34，则估计该班学生的数学成绩在120分以上(含120分)的人数为()A10 B9 C8 D7考点正态分布的应用题点正态分布的实际应用答案C解析数学成绩服从正态分布N(110,102)，且P(100110)0.34，P(120)P(100)(10.342)0.16，该班数学成绩在120分以上的人数为0.16508.4设随机变量的分布列为P(k)mk，k1,2,3，则m的值为 考点离散型随机变量分布列的性质及应用题点根据分布列的性质求参数答案解析因为P(1)P(2)P(3)1，即m1，所以m.5某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X0)，则随机变量X的均值E(X) .考点相互独立事件的性质及应用题点独立事件与分布列答案解析随机变量X的可能取值是0,1,2,3.由题意知P(X0)(1p)2，所以p，于是P(X1)，P(X3)，P(X2)1P(X0)P(X1)P(X3)1，所以均值E(X)0123.1条件概率的两个求解策略(1)定义法：计算P(A)，P(B)，P(AB)，利用P(A|B)求解(2)缩小样本空间法：利用P(B|A)求解其中(2)常用于古典概型的概率计算问题2求解实际问题的均值与方差的解题思路：先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的分布列，同时要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值与方差的线性性质一、选择题1已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)6.3，则a的值为()X4a9P0.50.1bA.5 B6 C7 D8考点离散型随机变量的可能取值题点离散型随机变量的结果答案C解析由题意和分布列的性质得0.50.1b1，且E(X)40.50.1a9b6.3，解得b0.4，a7.2某工程施工在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X(单位：mm)对工期延误天数Y的影响及相应的概率P如下表所示：年降水量XX100100X200200X300X300工期延误天数Y051530概率P0.40.20.10.3在年降水量X至少是100的条件下，工期延误小于30天的概率为()A0.7 B0.5C0.3 D0.2考点条件概率的定义及计算公式题点直接利用公式求条件概率答案B解析设事件A为“年降水量X至少是100”，事件B为“工期延误小于30天”，则P(B|A)0.5，故选B.3从应届高中毕业生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他几项标准合格的概率为，从中任选一名学生，则该生均合格的概率为(假设各项标准互不影响)()A. B.C. D.考点相互独立事件同时发生的概率计算题点求多个相互独立事件同时发生的概率答案D解析该生各项均合格的概率为.4设随机变量X服从正态分布N(3,4)，则P(Xa27)成立的一个必要不充分条件是()Aa1或2 Ba1或2Ca2 Da考点正态分布密度函数的概念题点正态曲线性质的应用答案B解析XN(3,4)，P(Xa27)，(13a)(a27)23，a1或2.故选B.5(2017福建莆田二十四中高二期中)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A0.648 B0.432C0.36 D0.312考点互斥、对立、独立重复试验的概率问题题点互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题答案A解析根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C0.620.4C0.630.648.6命题r：随机变量N(3，2)，若P(2)0.4，则P(4)0.6.命题q：随机变量B(n，p)，且E()200，D()100，则p0.5.则()Ar正确，q错误Br错误，q正确Cr错误，q也错误Dr正确，q也正确考点正态分布的应用题点正态分布的综合应用答案D解析因为随机变量N(3，2)，所以正态曲线关于x3对称，又P(2)0.4，则P(4)P(2)0.4，所以P(4)0.6，所以r是正确的；随机变量B(n，p)，且E()np200，D()np(1p)100，所以200(1p)100，解得p0.5，所以q是正确的故选D.7节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价是每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如表所示的分布列X200300400500P0.200.350.300.15若进这种鲜花500束，则利润的均值为()A706元 B690元C754元 D720元考点离散型随机变量均值的概率与计算题点离散型随机变量均值的计算答案A解析因为E(X)2000.23000.354000.35000.15340，所以利润的均值为340(52.5)(500340)(2.51.6)706元，故选A.8某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，这2人中成绩在90分以上(含90分)的人数为，则的均值为()A. B.C. D.考点常见的几种均值题点与排列、组合有关的随机变量的均值答案B解析由频率分布直方图知，30.006100.01100.0541010x1，解得x0.018，成绩不低于80分的学生人数为(0.0180.006)105012，成绩在90分以上(含90分)的学生人数为0.00610503，的可能取值为0,1,2，P(0)，P(1)，P(2)，E()012.二、填空题9盒中有10支螺丝钉，其中3支是坏的，现在从盒中不放回地依次抽取两支，那么在第一支抽取为好的条件下，第二支是坏的概率为 考点条件概率的定义及计算公式题点直接利用公式求条件概率答案解析记事件A为“第一支抽取为好的”，事件B为“第二支是坏的”，则P(A)，P(AB)，P(B|A).10甲、乙两人进行跳绳比赛，规定：若甲赢一局，比赛结束，甲胜出；若乙赢两局，比赛结束，乙胜出已知每一局甲、乙二人获胜的概率分别为，则甲胜出的概率为 考点互斥、对立、独立重复试验的概率问题题点互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题答案解析方法一甲胜的情况为：举行一局比赛，甲胜出，比赛结束，举行两局比赛，第一局乙胜，第二局甲胜，其概率分别为，且这两个事件是互斥的，所以甲胜出的概率为.方法二因为比赛结果只有甲胜出和乙胜出两个结果，而乙胜出的情况只有一种，举行两局比赛都是乙胜出，其概率为，所以甲胜出的概率为1.11一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获得50元，生产一件乙等品可获得30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6,0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期获利 元考点离散型随机变量的均值的概念与计算题点离散型随机变量均值的计算答案37解析设生产一件该产品可获利钱数为X，则随机变量X的取值可以是20,30,50.依题意，X的分布列为X203050P0.10.30.6故E(X)200.1300.3500.637(元)12一批玉米种子的发芽率是0.8，每穴只要有一粒发芽，就不需补种，否则需要补种则每穴至少种 粒，才能保证每穴不需补种的概率大于98%.(lg 20.301 0)考点互斥、对立、独立重复试验的概率问题题点互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题答案3解析记事件A为“种一粒种子，发芽”，则P(A)0.8，P()10.80.2.因为每穴种n粒相当于做了n次独立重复试验，记事件B为“每穴至少有一粒种子发芽”，则P()C0.80(10.8)n0.2n，所以P(B)1P()10.2n.根据题意，得P(B)98%，即0.2n0.02.两边同时取以10为底的对数，得nlg 0.2lg 0.02，即n(lg 21)2.43.因为nN*，所以n的最小正整数值为3.三、解答题13一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)用X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与均值(注：若三个数a，b，c满足abc，则称b为这三个数的中位数)考点常见的几种均值题点与排列、组合有关的随机变量的均值解(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率P.(2)X的所有可能取值为1,2,3，则P(X1)，P(X2)，P(X3).故X的分布列为X123P从而E(X)123.四、探究与拓展14某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1 000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获得奖金400元(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列；(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖哪个方案更划算？考点均值、方差的综合应用题点均值与方差在实际中的应用解(1)由题