创新设计高中数学(苏教版)第三章第2讲用导数研究函数的单调性与极值.ppt

第2讲 用导数研究函数的单调性与极值,考点梳理,函数f(x)在(a，b)内可导，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0f(x)为_函数；f(x)0f(x)为_函数 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， 如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；,1函数的单调性,2函数的极值,增,减,如果在x0附近的左侧_，右侧_ ，那么f(x0)是极小值 (2)求可导函数极值的步骤 求f(x)； 求方程f(x)0的根； 检查f(x)在方程f(x)0的根左右值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得_；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点,f(x)0,f(x)0,极大值,一个考情解读 本讲内容是高考的必考内容，主要以解答题的形式考查利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间，求函数的极值也有可能以解答题的形式考查导数与解析几何、不等式、三角函数等知识相结合的问题综合题一般作为压轴题出现，难度较大,【助学微博】,考点自测,2函数y3x26ln x的单调增区间为_，单调减 区间为_ 答案 (1，) (0,1),3若函数f(x)ax33x2x恰有3个单调区间，则实数a的 取值范围是_ 答案 (3,0)(0，),解析 f(x)3x2a，由f(x)在1，)上是单调递增函数，得f(x)0在区间1，)上恒成立，即3x2a0，x1，)恒成立，故实数a3x2在1，)上的最小值，即a3. 答案 (，3,4已知a0，函数f(x)x3ax在1，)上是单调递增函数，则a的取值范围是_,5(2012启东中学一模)若函数f(x)x3x2ax4在区间(1,1)内恰有一个极值点，则实数a的取值范围是_ 答案 1,5),考向一 利用导数解决函数的单调性问题,令g(x)ax2x1a，x(0，)， 当a0时，g(x)x1，x(0，)， 所以，当x(0,1)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递增； 当a0时，由f(x)0，,x(0,1)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递增,方法总结 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论,(1)求f(x)的单调增区间； (2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围 解 (1)f(x)exax1，f(x)exa. 令f(x)0，得exa， 当a0时，有f(x)0在R上恒成立； 当a0时，有xln a. 综上，当a0时，f(x)的单调增区间为(，)； 当a0时，f(x)的单调增区间为ln a，),【训练1】 已知f(x)exax1.,(2)f(x)exax1，f(x)exa. f(x)在R上单调递增， f(x)exa0恒成立， 即aex，xR恒成立 xR时，ex(0，)，a0. 当a0时，f(x)ex，f(x)0在R上恒成立 故当a0时，f(x)在定义域R内单调递增,考向二 利用导数解决函数的极值问题,由表得函数f(x)的单调减区间为(0,1)及(1，e)，单调增区间为(e，) 所以存在极小值为f(e)e，无极大值,方法总结 (1)求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能 (2)导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定注意分析这个零点是不是函数的极值点,(2)若f(x)为R上的单调函数， 则f(x)在R上不变号，结合与条件a0，知 ax22ax10在R上恒成立， 因此4a24a4a(a1)0(a0)，解得0a1. 所以a的取值范围为(0,1,【例3】 (2011江苏)已知a，b是实数，函数f(x)x3ax，g(x)x2bx，f(x)和g(x)分别是f(x)和g(x)的导函数，若f(x)g(x)0在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致,考向三 利用导数求参数的取值范围问题,(1)设a0.若f(x)和g(x)在区间1，)上单调性一致，求b的取值范围； (2)设a0且ab.若f(x)和g(x)在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|ab|的最大值,解 f(x)3x2a，g(x)2xb. (1)由题意知f(x)g(x)0在1，)上恒成立 因为a0，故3x2a0， 进而2xb0，即b2x在1，)上恒成立， 所以b2.因此b的取值范围是2，),方法总结 若f(x)在区间D上单调增(减)，则对任意的xD，恒有f(x)0(f(x)0)，由此可求出含参数的取值范围，另外，还可由af(x)(af(x)恒成立af(x)min(af(x)max)，由f(x)单调性求出f(x)的最大(小)值，从而可确定参数a的取值范围,由于函数的单调性可以用来求最值、解不等式和求解恒成立问题，所以要灵活应用单调性解题 要善于将有关问题转化成单调性问题求解，比如分离参数，构造函数等,规范解答4 函数的单调性及其应用,当x(0,1)时，g(x)0，故(0,1)是g(x)的单调减区间， 当x(1，)时，g(x)0，故(1，)是g(x)的单调增区间， 因此，x1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)1.(4分),点评 本题主要考查导数的应用，即如何利用导数求函数的单调性和最值,1(2012重庆卷改编)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示则f(x)的极值点分别为_,高考经典题组训练,解析 当x3，则f(x)0；当22时，1x0，所以函数有极小值f(2) 答案 2或2,又由f(x)ex1x知，当x(，0)时，f(x)0，所以f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增,(1)当a1，b2时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程； (2)设x1，x2是f(x)的两个极值点，x3是f(x)的一个零点，且x3x1，x3x2.证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x