大学数学定积分及其应用必做习题.pdf

高等数学学习指导书 第五章 定积分 88 第五章定积分 微分和积分分别由两个几何问题引出，求曲线的切线斜率引出了导数，求平 面图形的面积将引出积分。其实，积分思想先于微分思想的产生， “无限细分， 无限求和”的积分思想在古代就已经萌芽，最早可以追到由阿基米德等人提出的 计算面积和体积的方法。 后来逐步得到了一系列求面积（积分） 、 求切线斜率（导 数）的重要结果。17 世纪，莱布尼兹和牛顿将微分和积分真正沟通起来，找到 了两者内在的直接联系，确立了微分和积分是两种互逆的运算。这是微积分建立 的关键所在。只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学， 并从对函数的微分和积分中，总结出共同的运算规律，使微积分方法普遍化， 发 展成用符号表示的微积分运算法则。 一、内容提要 1 1 1 1、定积分的概念、定积分的概念 由实例可引入定积分的定义： 0 1 ( )lim( ) n b ii a i f x dxfx = = 上述四段横线表达了定积分定义中的“分割、近似、求和、取极限”等四大重要步骤。 可积条件：( )f x在 , a b上连续或在 , a b上有界且仅有有限个间断点则( ) b a f x dx 存在。 2 2 2 2、定积分的性质、定积分的性质 （1）线性性 121212 ( )( )( )( )( , bbb aaa k f xk g x dxkf x dxkg x dxk k+=+ 为常数） （2）区间可加性( )( )( ) bcb aac f x dxf x dxf x dx=+ （3）特别约定( )0 a a f x dx= ，( )( ) ab ba f x dxf x dx= ，1 bb aa dxdxba= （4）不等式性( )f x0( , )xa b( ) b a f x dx 0()ab 4 2 2 0cos0Pdx =则方程（） A0 个B1 个C2 个D无穷多个 5、下列( )F x为偶函数的是（） A 2 0 ( )( ) x F xf tdt=，其中( )f x是连续函数 高等数学学习指导书 第五章 定积分 101 B 0 ( )cos()cos(),0 x F xbtbt dtb=+ C 0 ( )( ( )(), x F xt f tft dt=+ 其中( )f x是连续函数 D 00 ( )( )( ) xu F xf xf t dt du=+ （三）计算题（三）计算题 1、求定积分 2 4 0 tanxxdx 2、求 2 0 1 sin2xdx 3、求 2 1 lnxdx x + 4、 2 2 0 1cos 0 ( )50 cos 0 x x x x f xx t dt x x ，试求( )f x的间断点，并判断其类型。 5、已知 1 (2),(2)0 2 ff=及 2 0 ( )1f x dx= ，求 1 2 0 (2 )x fx dx （四）解答题（四）解答题 已知( )f x连续， 0 ()1cos , x tf xt dtx= 求 2 0 ( )f x dx 的值。 （五）应用题（五）应用题 过曲线 2 (0)yxx=某一点 A 作一切线，使之与曲线及x轴围成的面积为 1 12 ，求 （1）切点 A 的坐标， （2）过切点 A 的切线方程， （3）由上述图形绕x轴旋转成的旋转体体积 x V （六）证明题（六）证明题 设( )f x在0，1上可微，且满足条件 1 2 0 (1)2( )fxf x dx= 。试证：存在(0,1)，使 ( )( )0ff+= 高等数学学习指导书 第五章 定积分 102 自测题(A)答案 （一）填充题：1、；2、-2；3、0；4、1；5、2。 （二）选择题：1、C；2、 C；3、B； 4、C；5、A。 （三）计算题： 1、 31 4ln2 22 e+，2、 4 15 ，3、 3228 ln2 39 ，4、 1122 ln 2422 + + 5、 2 8 （四）解答题：提示：关键在把 2 0 ( )f x dx 看成一个数值。 解： 22 00 88 ( )( ) ( )( ) fxf xxC f x dxf x dx =+ Q(1) 由(0)0,f=代入得C=0对（1）式取积分： 22 22 00 00 816 ( ) ( )( ) f x dxxdx f x dxf x dx = 2 0 8 ( )4,( )2 4 x f x dxf xx= = （五）应用题： 3 ln2 2 S= 11 6 V= （六）证明题：提示： （1） 00 ( )( )2( ) xx F xxf t dttf t dt= 00 ()( )2( ) xx Fxxf t dttf t dt = ，对这两个定积分进行换元tu= 即证得。 （2）只要证( )0F x即可 0 ( )( )( )2( ) x F xf t dtxf xxf x=+ ，再利用积分中值定理即可证得。 自测题(B)答案 （一）填充题： 1、 2 2 x e 2、单调递增3、奇函数4、 （0，0） 5、凹区间(,0)，凸区间（0，+） 。 （二）选择题：1、C2、 B3、C4、B5、C。 （三）计算题： 1、 2 2 ln 4232 +，2、2 22，3、1，4、0( )xf x= 是的第一类的跳跃间 高等数学学习指导书 第五章 定积分 103 断点， 1 (00),(00)1 2 ff=+= 5、提示：本题没有给出( )f x的具体表达式，显见应先换元再分部积分，化为利用题设条 件再计算： 2 122 222 000 11 (2 )( )( ) 88 x u x fx dxu fu dux dfx = = 222 22 2 00 000 111 ( )2( )( )( )( )0 844 x fxxfx dxxdf xxf xxf x dx= = = （四）解答题： 提示： 令,uxt=则 0000 ()() ( ),( )( )1cos xxxx tf xt dtxu f u duxf u duuf u dux= 即 两边对x求导，得 0 ( )( )( )sin x f u duxf xxf xx+= 从而 2 2 0 0 ( )sin1f x dxx = （五）应用题： 解：设切点A的坐标为（ 2 00 ,x x） ，该点处的切线方程为 2 00 2yx xx=，它与x轴的交点 坐标为 2 0 1 (,0) 2 x，椐题意： 0 2223 00000 0 111 (2) 41212 x Sxx xxdxx xx= 0 1x=即切点坐标为（1，1） ，切线方程为21yx= 11 42 1 0 2 (21) 30 x Vx dxxdx = （六）证明题： 证明：令：( )( ),( )0,1F xxf xf x=Q在上连续，由积分中值定理：存在 1 1 0 2 ，使： ( ) 1 2 111 0 11