矩阵的运算及与矩阵的秩ppt课件

第二章 矩阵的运算与矩阵的秩,本章要点流程:,首先介绍矩阵的基本运算,进一步了解分块矩阵,重点学习可逆矩阵,最后对齐次线性方程组解的作了讨论,认识矩阵的秩,2.1 矩阵的基本运算,一、矩阵的线性运算 定义2.1 设 都是 矩阵， 为给定的数 （1）称矩阵 为矩阵A与B相加的 和，记作A+B； （2）称矩阵 为数 与矩阵A相乘 的积，记作 ,称为数量矩阵,称矩阵 为矩阵A的负矩阵，记为-A利用 负矩阵及矩阵的加法，定义矩阵的减法为,同型矩阵 矩阵的线性运算满足以下规律（设为A ,B,C同型矩阵）：,1) A+B=B+A 2) (A+B)+C=A+(B+C), (ks)A=k(sA)=s(kA) 3) k(A+B)=kA+kB ,(k+s)A=kA+sA,矩阵C的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行的元素与矩阵B的第j列的对应元素乘积之和。,定义2.2 设 为 矩阵， 为 矩阵，那么称 矩阵 为矩阵A与B的乘积，记作 ， 其中 由这个定义可知： 1）如果矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则A与B可以相乘。,2）矩阵C的行数等于矩阵A的行数，矩阵C的列数等于矩阵B的列数。 3）乘积C的第i行第j列的元素Cij等于矩阵A的第i行的元素与矩阵B的第j列的对应元素乘积之和。,1) 结合律 (AB)C=A(BC) 2) 数乘结合律 k(AB)=(kA)B=A(kB) 3) 左分配律 A(B+C)=AB+AC； 右分配律 (B+C)A=BA+CA，其中k 是数。,矩阵乘法满足的算律：,由于矩阵乘法不满足交换律，对于两个同阶方阵A，B而言， 一般说来,方阵的幂,方阵的幂：设A是n阶方阵，k是自然数，k个A连乘称为A的k次幂，记作 ，即,其中k,m为正整数,相关结论：,矩阵的多项式 ： 为n阶方阵A的m次多项式,例:设 ， 分别计算(AB)2与A2B2,例: 用数学归纳法证明 (n为任意自然数）,线性方程组的矩阵表示,系数矩阵：,2矩阵与初等矩阵的乘积,例如：计算下列矩阵与初等阵的乘积,即： E(i,j)A：相当于交换A的第i行与第j行； E(i(k)A：相当于用非零数k 乘矩阵A的第i行； E(i,j(k)A：相当于A的第j行乘k加到第i行上；,同理： 即： AE(i,j)：相当于交换A的第i列与第j列； AE(i(k)：相当于用非零数k 乘矩阵A的第i列； AE(i,j(k)：相当于A的第i列乘k加到第j列上,推论：若mxn矩阵A与B等价，则存在若干个mxm初等矩阵Pi(i=1,2-,s)和若干个nxn初等矩阵Qj(j=1,2-,t)使得,三、矩阵的转置 定义：,2、相关性质 ：,根据矩阵相等的定义，容易得到下列结论：,为对称阵的充要条件是 为反对称阵的充要条件是 反对称阵的主对角线上的元素,2.2 分块矩阵,一、分块矩阵的概念 矩阵的分块就是将矩阵A用若干纵线和横线分成几个小矩阵，每一小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵，称为分块矩阵。 =,二、分块矩阵的运算,1分块矩阵相加、减 设A、B是两个用相同方法分块的同型矩阵,2.数与分块矩阵相乘 设 是一个实数，,3分块矩阵相乘,其中 ，且,相乘的条件： (1) A分出的列子块数B分出的行子块数 (2) A中每一个子块的列数B 中相应的子 块的行数,分块对角阵乘法： 其中Ai、Bi是同阶子方阵，则,4分块矩阵的转置 设,例 设,2.3 可逆矩阵,一、可逆矩阵的概念,注： (1)若矩阵A可逆，则其逆矩阵唯一。 (2)A与B的地位是平等，即当B是A的逆矩阵时，则A也是B的逆矩阵，或称互逆。 (3)并非每个方阵都可逆。,另外： 若方程组AX=B的系数矩阵A可逆，方程组两边左乘A-1，得X= A-1 B由逆矩阵的唯一性可知， X= A-1 B为方程组的唯一解 任何初等矩阵都是可逆的，并且其逆矩阵仍是初等矩阵,定理2.2 设A,B都是n阶方阵，B是可逆矩阵，则A可逆的充要条件是AB可逆 推论1 若A和B是等价的方阵，则它们的可逆性相同,二、可逆矩阵与初等矩阵的关系,引理 任意一个矩阵 ，都与形 如 的矩阵等价即存在若干个m阶初等矩 阵Pi（i=1,2-,s）和n阶初等矩阵Qj（j=1,2-,t），使得,定理2.3 n阶方阵A可逆的充要条件是A与单位阵等价，即：存在若干个初等矩阵P1,P2,-Pl，使得 推论 mn矩阵A与B等价的充要条件是存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使得PAQ=B,强调：变换中只能用行变换，不能用列变换。,2.4 矩阵的秩,一、矩阵的标准形 定理2.4 对任意矩阵 都有唯一确定的矩 阵 Er= 与矩阵A等价，以后称 Er 为A的标准形。,二、矩阵的秩 定义2.6 非零矩阵A的标准形中元素“1”的个数称为矩阵A的，记为R（A），或秩（A） 另外约定，零矩阵的秩为0 行满秩矩阵； 列满秩矩阵； 满秩矩阵,定理2.5 设A，B为同型矩阵，则下列命题等价： (1) (2)A,B有相同的标准形 (3)AB 推论1 n阶方阵A可逆的充要条件是A 为满秩矩阵 推论2 设P,Q都是满秩矩阵，则,例 求证：对任意的矩阵A，都有,2.5 齐次线性方程组解的讨论,1若 ，,这时上述方程组有无穷多个解 2若 ，这时的形式为 或 这时上述方程组只有零解,定理2.6 对于齐次线性方程组(2.5)，有以下结论： （1）若R(A）=rn，则方程组有 n-r 个自由未知量，从而有无穷多个解，因此有非零解； （2）若R(A）=r=n ，则方程组只有零解 推论 若齐次线性方程组的方程个数小于未知量的个数，则该方程组必有无穷多个解，从而有非零解,例：求如下齐次线性方程组的解.,取自由未知量 x3，x5,2.6 应用举例,一、密码问题 某种明码电报的编码是用四个阿拉伯数字表示一个汉字 比如，原文是“十七时进攻”的明码是,这组数字构成的矩阵为 借助于一个加密矩阵,原文 Y YA(=T) 电文 电文 T TA-1(=Y) 原文,二、计算机平面图形的变形,比如字母可认为是由十个点确定的图形这些点的坐标构成一个,的数据矩阵,比如取,，则, 根据这些数据对应的点就可绘出变形后的字母的图形,第二章 小结,一、教学要求 1、理解各类矩阵的定义，如可逆矩阵、