《边缘分布与独立性》PPT课件.ppt

第 二 节 边 缘 分 布 与 独 立 性,FX(x) =P(Xx)=P(X x, Y+) =F (x, +),称为二维随机变量(X, Y)关于X的边缘分布函数；,一、边缘分布,1、定义3.2.1,设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y),FY(y) =P(Yy)=P(X + , Y y) =F (+,y),称为二维随机变量(X, Y)关于Y的边缘分布函数.,1) 离散型,若(X,Y)的联合分布律为,称为(X,Y)关于X的边缘分布律。并记为,2、 分离散型与连续型两种情况考虑,如下表：,例1 袋中有2只白球和3只黑球，现进行有放回地取球， 定义下列随机变量：,试给出(X,Y)的联合分布与边缘分布。,若采用不放回取球，情况又怎样？,不放回时的联合分布列：,联合分布唯一确定边缘分布，反之不成立。,2) 连续型,求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。,=5c/24=1,c =24/5,解：(1),例2 设(X,Y)的概率密度是,例2 设(X,Y)的概率密度是,解: (2),求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 .,注意积分限,注意取值范围,例2 设(X,Y)的概率密度是,解: (2),求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 .,注意积分限,注意取值范围,即,例3：设二维r.v.（X，Y）的二维联合概率密度函数为： 求（X，Y）关于X及Y的边缘分布密度.,二维正态分布的两个边缘密度仍是 正态分布 .,在求连续型 r.v 的边缘密度时，往往要求联合密度在某区域上的积分. 当联合密度函数是分片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限 .,由联合分布可以确定边缘分布;,但由边缘分布一般不能确定联合分布.,那么要问，在什么情况下，由边缘分布可以唯一确定联合分布呢？,请注意联合分布和边缘分布的关系:,二、独立性,两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 .,两随机变量独立的定义是：,它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .,可推广到多维的情况.,例1中的X与Y是否独立？,若 (X,Y)是连续型r.v ，则上述独立性的定义等价于：,解：,x0,即：,对一切x, y, 均有： 故X,Y 独立,y 0,若(X,Y)的概率密度为,情况又怎样？,解：,0x1,0y1,故X和Y不独立 .,在连续点（1/4，1/2）处，,二维标准正态分布(X,Y)中X和Y相互独立的 充分必要条件是,二维一般正态分布也有此结论。 见书中P93例3.2.5,命题,练习 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求(X,Y)的概率函数和边缘分布 .,解：（ X, Y）可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3),P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8,P(X=1, Y=1)=3(1/2)3=3/8,P(X=2, Y=1)=3/8,P(X=3, Y=0)=1/8,联合分布与边缘分布如下表所示：,一般，对离散型 r.v ( X,Y )，,则(X,Y)关于X的边缘概率函数为,(X,Y)关于Y 的边缘概率函数为,X和Y 的联合概率函数为,对连续型 r.v ( X,Y )，,X和Y的联合概率密度为,则( X,Y )关于X的边缘概率函数为,( X,Y )