《联想与猜想》PPT课件.ppt

联想,一、联想,联想是由一件事物想到另一件事物的一种心理活动它以观察为基础，将所研究的对象或问题，联系已有的知识和经验进行想象的思维活动,数学问题的解决，实质上就是寻求命题的条件与结论之间的逻辑关系，整个解题的思维推理过程就是沟通新信息与原有知识的一个联想过程,(一) 联想方式 根据联想所遵循的不同思维规律而产生的各种联想,(二) 联想方向 根据联想所涉及的数学知识的不同而进行的各种联想,(一)一般的联想方式,1相近联想 2相似联想 3类比联想 4关系联想 5正、反双向联想 6纵、横联想 7特殊化、一般化联想 8表里联想 9形数联想 10对立联想,相近联想,所谓相近联想，是指对数学问题的观察获取信息，了解其形式、结构和数量关系后，激起对过去在时间上、空间上或关系、性质方面很接近的事物所进行的联想,例1 设x、y、zR+求证：,思路分析 从结论中的三个根号看，其结构很接近余弦定理的形式，因而联想到三角形再从整个结论进一步联想到三角形的性质“两边和大于第三边”,这样沟通了外界信息与头脑中的固有知识间的联系，问题转化为如何构造合适的三角形,如图3-1，由O点引出三条线段，设OA=x，OB=z，OC=y，且两两夹角为120，连结AB、BC、AC组成的三角形即为所需，从而达到解决问题的目的,2相似联想,相似联想是指从问题的形式、结构和数量关系而回忆起具有相似特点的同类数、式、图或方法的联想方法,思路分析 观察问题的条件与结论的形式和结构，可以辨认出它们与椭圆的标准方程相似，于是借助联想把三角条件恒等式的证明转化为解析证法,显然点P(cos2，sin2)、Q(cos2，sin2)都在,易验证P点也在切线上由切点的唯一性可知点P与Q重合，由此易得所求证等式,注：相似联想除指形状相似的联想之外，更广泛的是指特征相似因此，在教学中引导学生注意各种数学对象的特征是十分重要的,3类比联想,类比联想是根据两个对象或两类事物的一些属性相同或相似，想到另一些属性也可能相同或相似的联想,在问题解决中，类比联想在于寻找未知问题与已有知识的相同或相似之处，达到对未知问题的推测和理解，实现解题的一种思维方式，是一种更广泛的相似联想,例3 如图3-2，AB=BC=CA=AD，AHCD于H，CPBC,思路分析 设AB=BC=CA=AD=a因为ABC为正三角形，联想,证APCBCD,由条件AB=BC=CA=AD看出B、C、D三点到A等距，,再联想到圆的定义，可作以A为圆心，AB为半径的辅助圆,=CAH,问题就得以解决,4关系联想,关系联想是指通过感知事物情境与储存在记忆中相关材料的关系，由一事物想到与之有关系的另一事物的联想,对数学问题而言，这种关系常体现在问题的条件与结论的因果关系、概念间的从属关系、数学知识或方法上的紧密相连之中,例4 判断集合A=xa-bxab，a0，b0， 的关系,思路分析 由不等式确定的x值的集合联想到坐标轴上的区间，从,的关系,两区间之间只有三种关系：包含、相交、相离，由各种关系的实质联想到比较区间端点的数值大小，自然又联想到求差法，,经计算可得答案,5正、反双向联想,正、反双向联想是指从问题的条件部分与结论部分的因果关系出发，正、反两个方向进行联想,x、y、z中至少有一个等于1,思路分析,由条件出发正向联想有xy+z=1，xy+yx+zx=xyz,由结论出发反向联想须证：x-1=0或y-1=0或z-1=0，,进而联想到只须证(x-1)(y-1)(z-1)=0，,即(xyz-xy-yz-zx)(xyz)-1=0,因此条件与结论取得联系，问题解决,6纵、横联想,所谓纵、横联想是指由某问题所属知识体系内想到有关的信息或想到另一知识体系中相关信息的联想,例 已知x0，y0，z0，且xyz=a求证：,思路分析 本题若从代数角度考虑难于入手,进行横向联想，设法构造一个几何模型，使x2+y2z2，xy+yz+zx及xyz都有几何意义，自然,表面积为2(xy+yzzx)，体积为xyz,由于三棱之和为定值a，,则当此长方体为正方体时，对角线及表面积最小，而体积最大，,于是问题迎刃而解,7特殊化、一般化联想,所谓特殊化、一般化联想是指由一个具有一定研究范围的对象想到较小范围或更一般情况的对象的联想,例 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多的个数是( ) (A)1； (B)2； (C)3； (D)4,思路分析：,联想到锥顶面角可以有3个直角的特殊情形，这时至少有3个直角三角形，故不选(A)、(B),接着考虑能否构造一个四棱锥且其侧面有4个直角三角形，则问题可解决,显然如图3-4成立，故选(D),由绝对值符号联想到绝对值的一个本质属性：绝对值能表示两点间距离,8表里联想,表里联想是指由事物的表面形式想到它的本质属性，由本质属性的内在功能想到相关事物的内在关系的联想,例 方程x-2x+1=3的实数解的个数是( ) (A)0； (B)1； (C) 2； (D) 3,思路分析,于是，令y1=x，y2=2x1，,则只须求夹在y1与y2的图象之间平行于y轴且长为3的线段的条数，,画出y1与y2的图象，由观察可知满足y1-y2=3的x的解有且仅有2个故选(C),利用形数联想，设BD=x，CE=y由割线定理易求得AH=3，BI=6,9形数联想,形数联想是指由一个问题想到它的数量关系或空间形式的联想,大量的“数”的问题潜在着“形”的背景，“形”的问题隐含着“数”的关系，,例13 如图3-5，一个圆与一个正三角形的三边交于六点，已知AG=2，GF=13，FC=1，HI=7求DE,思路分析,因此有,问题转化为代数方程求解可解得,10对立联想,对立联想是指从一事物想到与之具有相反关系的另一事物的联想这是逆向思维的一种形式，往往是由于前面介绍的各种联想不能有效地深入思维时出现的变向联想,例1 已知P，P10，P14是素数求P,思路分析,通过检验，显见P2且P不能取任意合数而P=3恰好满足题意,继续检验下去，发现P=5，7，11，13，时均不能使P+10，P14同时为素数,这促使我们对立联想：否定P取其他值于是只须采用反证法便可解答此题,(二)一般的联想方向,1联想概念 2联想公式 3联想性质 4联想定理 5联想典型解法,1联想概念,例11 如图3-6，在ABC中，AE=BF，ACEGFH,求证：EGFH=AC,思路分析,根据条件ACEGFH，联想到梯形，可知EFHG是梯形且EG和FH为其底,又因题目中出现EG+FH，联想到梯形中位线，作中位线DK，有2DK=EGFH,再由条件AE=BF，知AD=DB，进一步联想到三角形中位线，知DK也是ABC的中位线,因而2DK=AC，所以EGFH=AC,2联想公式,思路分析,观察函数的结构，联想到与之有关的两点间距离公式，,又转化为求圆与双曲线的最近距离，,再由形数联想(见图37)，可,3联想性质,例17 如图3-8，已知O和直线MN相离，OAMN，过点A作O的割线ADE，过D点作O的切线DB交MN于B点，过E点作O的切线EC交MN于C点求证：BA=AC,思路分析,结论是证明线段相等，注意到条件中的OABC，联想到等腰三角形的性质，推测出OA应是某等腰三角形的特殊线段，,联系到结论，自然想到连结OB、OC的辅助线,下面只须证OBC=OCB即可,再连结OD、OE，利用圆内接四边形的判定和性质和进行角角之间的转换，证明OBC=ODE，OCB=OEA，即可得到BOC为所需的等腰三角形,4联想定理,例14 已知实数a、b、c满足b=6-a，c2=ab-9试求a、b的值,思路分析,条件中出现两个实数a、b之和与积的形式：ab=6，ab=c29，,联想到韦达定理的逆定理，可认为a、b是二次方程x2-6xc2+9=0的两个实根,由此二次方程有实根，故=36-4(c29)0则c=0,二次方程化为x2-6x9=0，解得两实根均为3因此a=b=3,5联想典型解法,有些命题，从其条件与结论的具体情况出发，可以联想某些常用的解题方法，如反证法、数学归纳法、同一法、分析法、综合法等；从命题的结构与形状来考虑，可联想某些解题技巧，如配方法、形数结合法、消元法、转化法等这种联想往往有助于开拓思路,例15 已知n个任意正方形(n1，nN)试证：可以用剪刀把它们剪开，然后组拼成一个新的正方形,思路分析 仔细分析题目，发现命题与自然数有关，联想到证明与自然数有关的典型方法数学归纳法，则有了解题思路只要解决n=2的特殊情况，问题将可顺利解决,二、猜想,常见的猜想方法 1特殊性猜想 2一般性猜想 3归纳性猜想 4类比性猜想 5合谐性猜想,猜想,猜想是在对研究的对象或问题进行观察、实验、分析、比较、类比、联想、归纳等基础上，依据已有的材料和知识作出符合一定经验与事实的推测性想象的思维方法 猜想是一种合情推理，属于综合程度较高的带有一定直觉性的高级认识过程，是一种创造性的思维活动,1特殊性猜想,所谓特殊性猜想是指：若A是一个包摄和概括水平高于B的问题，为了研究A，转而研究B,思路分析 对于这四个数，如果用求差的方法比较大小，要进行六次比较，才能得到答案,再进行证明，只须作三次比较即可,2一般性猜想,所谓一般性猜想是指：若A是一个包摄和概括水平低于B的问题，为了研究A，转而研究B的思维形式，即将问题转为一般情形,例17 求证：99819951995！,思路分析 若直接进行数值计算将非常麻烦，仔细观察998与,3归纳性猜想,例18 平面上n条直线两两相交，其中任意三条不共点问它们能把平面分成多少部分？,思路分析 设f(n)为n条直线把平面所能分成的部分数考察n取 1，2，3等特殊情形可得,f(1)=2，f(2)=f(1)2，f(3)=f(2)3,因此猜想： f(n)=f(n-1)+n=f(n-2)(n-1),这一猜想很容易由数学归纳法证得,4类比性猜想,类比性猜想是运用类比方法，通过比较两个对象或问题的相似性部分相同或整体相似，得出数学新命题或新方