2020高考数学一轮复习2.2函数的单调性与最值讲义理.docx

第二节函数的单调性与最值函数在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上的函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质.对于x1，x2D，都有(x1x2)f(x1)f(x2)0或0.1函数的单调性(1)增函数、减函数增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数yf(x)的单调区间.2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M结论M为函数yf(x)的最大值M为函数yf(x)的最小值x1，x2的特征：(1)任意性；(2)有大小，即x1x2(x1x2)；(3)属于同一个单调区间.对于x1，x2D，都有(x1x2)f(x1)f(x2)0或0.(1)求函数单调区间或讨论函数单调性必须先求函数的定义域(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“”连接(3)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y在(，0)和(0，)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然NM.熟记常用结论1若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：(1)f(x)与af(x)在a0时具有相同的单调性，在a0时具有相反的单调性(2)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)g(x)是增(减)函数(3)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，若两者都恒大于零，则f(x)g(x)也是增(减)函数；若两者都恒小于零，则f(x)g(x)是减(增)函数2复合函数的单调性对于复合函数yfg(x)，若tg(x)在区间(a，b)上是单调函数，且yf(t)在区间(g(a)，g(b)或(g(b)，g(a)上是单调函数，若tg(x)与yf(t)的单调性相同，则yfg(x)为增函数；若tg(x)与yf(t)的单调性相反，则yfg(x)为减函数简称“同增异减”3开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)小题查验基础一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(2)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()(3)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数()(4)所有的单调函数都有最值()答案：(1)(2)(3)(4)二、选填题1下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()Ay|x|By3xCy Dyx24解析：选Ay3x在R上递减，y在(0，)上递减，yx24在(0，)上递减，故选A.2函数f(x)x在区间上的最大值是()A. BC2 D2解析：选A函数yx与y在x上都是减函数，函数f(x)x在上是减函数，故f(x)的最大值为f(2)2.3设定义在1,7上的函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的增区间为_解析：由图可知函数的增区间为1,1和5,7答案：1,1和5,74若函数y(2k1)xb在R上是减函数，则k的取值范围是_解析：因为函数y(2k1)xb在R上是减函数，所以2k10，即k.答案：5若函数f(x)满足“对任意的x1，x2R，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”，则满足f(2x1)f(1)的实数x的取值范围为_解析：由题意知，函数f(x)在定义域内为减函数，f(2x1)f(1)，2x11，即x1，x的取值范围为(1，)答案：(1，)考法全析考法(一)确定不含参函数的单调性(区间)例1(1)函数f(x)|x23x2|的单调递增区间是()A.B.和2，)C(，1和 D.和2，)(2)函数y的单调递增区间为_，单调递减区间为_解析 (1)y|x23x2|如图所示，函数的单调递增区间是和2，)(2)令ux2x6，则y可以看作是由y与ux2x6复合而成的函数令ux2x60，得x3或x2.易知ux2x6在(，3上是减函数，在2，)上是增函数，而y在0，)上是增函数，y的单调递减区间为(，3，单调递增区间为2，)答案(1)B(2)2，)(，3考法(二)确定含参函数的单调性(区间)例2试讨论函数f(x)(a0)在(1,1)上的单调性解法一：(定义法)设1x1x21，f(x)aa，则f(x1)f(x2)aa.由于1x1x21，所以x2x10，x110，x210，故当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上单调递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上单调递增法二：(导数法)f(x).当a0时，f(x)0，函数f(x)在(1,1)上单调递减；当a0时，f(x)0，函数f(x)在(1,1)上单调递增规律探求看个性考法(一)中的函数不含有参数解决此类问题时，首先确定定义域，然后利用单调性的定义或借助图象求解即可考法(二)是在考法(一)的基础上增加了参数，解决此类问题除利用定义外，导数法是一种非常有效的方法注意分类讨论思想的应用找共性无论考法(一)还是考法(二)，判断函数单调性常用以下几种方法：(1)定义法：一般步骤为设元作差变形判断符号得出结论(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)g(x)增减性质进行判断；对于复合函数，先将函数yf(g(x)分解成yf(t)和tg(x)，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断过关训练1函数f(x)的单调递增区间为()A. B.C. D.解析：选D令t，由xx20，得0x1，故函数的定义域为0,1因为g(t)t是减函数，所以f(x)的单调递增区间即t的单调递减区间利用二次函数的性质，得t的单调递减区间为，即原函数的单调递增区间为.故选D.2判断函数f(x)x(a0)在(0，)上的单调性解：设x1，x2是任意两个正数，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2a)当0x1x2时，0x1x2a，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在(0， 上是减函数；当x1x2时，x1x2a，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在，)上是增函数综上可知，函数f(x)x(a0)在(0， 上是减函数，在，)上是增函数考法全析考法(一)比较函数值的大小例1已知函数f(x)的图象关于直线x1对称，当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，设af，bf(2)，cf(e)，则a，b，c的大小关系为()AcabBcbaCacb Dbac解析由f(x)的图象关于直线x1对称，可得ff.由x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，知f(x)在(1，)上单调递减12e，f(2)ff(e)，bac.答案D考法(二)解函数不等式例2(1)已知函数f(x)为R上的减函数，则满足ff(1)的实数x的取值范围是()A(1,1) B(0,1)C(1,0)(0,1) D(，1)(1，)(2)定义在2,2上的函数f(x)满足(x1x2)f(x1)f(x2)0，x1x2，且f(a2a)f(2a2)，则实数a的取值范围为_解析(1)由f(x)为R上的减函数且ff(1)，得即所以1x0或0x1.故选C.(2)因为函数f(x)满足(x1x2)f(x1)f(x2)0，x1x2，所以函数在2,2上单调递增，所以22a2a2a2，解得0a1.答案(1)C(2)0,1)考法(三)利用函数的单调性求参数例3若f(x)是定义在R上的减函数，则a的取值范围为_解析由题意知，解得所以a.答案规律探求看个性考法(一)是比较函数值的大小解决此类问题时，应根据函数的性质(如对称性等)将自变量转化到函数的同一个单调区间上，利用单调性比较大小考法(二)是求解与函数单调性有关的抽象函数不等式求解此类问题，主要是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域以及函数奇偶性质的应用考法(三)是在考法(一)和考法(二)基础上的更深一步的拓展，根据函数单调性把问题转化为单调区间关系的比较找共性对于求解此类有关函数单调性应用的题目，其通用的方法是利用转化思想解题，其思维流程是：过关训练1已知函数f(x)log2x，若x1(1,2)，x2(2，)，则()Af(x1)0，f(x2)0 Bf(x1)0，f(x2)0Cf(x1)0，f(x2)0 Df(x1)0，f(x2)0解析：选B因为函数f(x)log2x在(1，)上为增函数，且f(2)0，所以当x1(1,2)时，f(x1)f(2)0，当x2(2，)时，f(x2)f(2)0，即f(x1)0，f(x2)0.故选B.2设函数f(x)若函数f(x)在区间(a，a1)上单调递增，则实数a的取值范围是()A(，1 B1,4C4，) D(，14，)解析：选D作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知，若f(x)在(a，a1)上单调递增，需满足a4或a12，即a1或a4，故选D.3已知定义在R上的奇函数yf(x)在(0，)上单调递增，且f0，则不等式f(logx)0的解集为_解析：yf(x)是定义在R上的奇函数，且yf(x)在(0，)上单调递增yf(x)在(，0)上也是增函数，又f0，知ff0.故原不等式f(logx)0可化为f(logx)f或ff(logx)f，logx或logx0，解得0x或1x3.所以原不等式的解集为.答案：典例精析(1)已知函数y的最大值为M，最小值为m，则的值为()A.B.C. D.(2)函数f(x)的最大值为_解析(1)由得函数的定义域是x|3x1，y24242，当x1时，y取得最大值M2；当x3或1时，y取得最小值m2，所以.(2)当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x1时，易知函数f(x)x22在x0处取得最大值，为f(0)2.故函数f(x)的最大值为2.答案(1)C(2)2解题技法求函数最值(值域)的常用方法单调性法易确定单调性的函数，利用单调性法研究函数最值(值域)图象法能作出图象的函数，用图象法，观察其图象最高点、最低点，求出最值(值域)基本不等式法分子、分母其中一个为一次，一个为二次的函数结构以及两个变量(如x，y)的函数，一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件，用基本不等式法求最值(值域)过关训练1函数f(x)在区间a，b上的最大值是1，最小值是，则ab_.解析：易知f(x)在a，b上为减函数，所以即所以所以ab6.答案：62函数yx(x0)的最大值为_解析：令t，则t0，所以ytt22，当t，即x时，ymax.答案：3设0x，则函数y4x(32x)的最大值为_解析：y4x(32x)22x(32x)22，当且仅当2x32x，即x时，等号成立，函数y4x(32x)的最大值为.答案： 一、题点全面练1下列函数中，在区间(1,1)上为减函数的是()AyBycos xCyln(x1) Dy2x解析：选D函数y2xx在(1,1)上为减函数2(2017全国卷)函数f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是()A(，2) B(，1)C(1，) D(4，)解析：选D由x22x80，得x4或x2.因此，函数f(x)ln(x22x8)的定义域是(，2)(4，)注意到函数yx22x8在(4，)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是(4，)3若函数f(x)x22xm在3，)上的最小值为1，则实数m的值为()A3 B2C1 D1解析：选B因为f(x)(x1)2m1在3，)上为增函数，且f(x)在3，)上的最小值为1，所以f(3)1，即22m11，m2.故选B.4函数f(x)的单调递增区间是()A(，1) B(1，)C(，1)，(1，) D(，1)，(1，)解析：选C因为f(x)1，所以f(x)的图象是由y的图象沿x轴向右平移1个单位，然后沿y轴向下平移一个单位得到，而y的单调递增区间为(，0)，(0，)；所以f(x)的单调递增区间是(，1)，(1，)故选C.5(2019赣州模拟)设函数f(x)g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的单调递减区间是()A(，0 B0,1)C1，) D1,0解析：选B由题知，g(x)可得函数g(x)的单调递减区间为0,1)6若函数f(x)x2a|x|2，xR在区间3，)和2，1上均为增函数，则实数a的取值范围是()A. B6，4C. D.解析：选B由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，)上的单调性即可由题意知函数f(x)在3，)上为增函数，在1,2上为减函数，故2,3，即a6，47函数y，x(m，n的最小值为0，则m的取值范围是()A(1,2) B(1,2)C1,2) D1,2)解析：选D函数y1，且在x(1，)时单调递减，在x2时，y0；根据题意x(m，n时y的最小值为0，所以1m2.8已知函数f(x)x22axa在区间(，1)上有最小值，则函数g(x)在区间(1，)上一定()A有最小值 B有最大值C是减函数 D是增函数解析：选D由题意知a1，又函数g(x)x2a在，)上为增函数，故选D.9(2019湖南四校联考)若函数f(x)x2a|x2|在(0，)上单调递增，则实数a的取值范围是_解析：f(x)x2a|x2|，f(x)又f(x)在(0，)上单调递增，4a0，实数a的取值范围是4,0答案：4,010已知函数f(x)的值域为，则函数g(x)f(x)的值域为_解析：f(x)，.令t，则f(x)(1t2)，令yg(x)，则y(1t2)t，即y(t1)21.当t时，y有最小值；当t时，y有最大值.g(x)的值域为.答案：二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1函数ylog(x22x3)的单调递增区间是()A(1,1 B(，1)C1,3) D(1，)解析：选C令tx22x3，由x22x30，得1x3.函数tx22x3的对称轴方程为x1，则函数tx22x3在1,3)上为减函数，而函数ylogt为定义域内的减函数，所以函数ylog(x22x3)的单调递增区间是1,3)2(2019西安模拟)已知函数ylog2(ax1)在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是()A(0,1 B1,2C1，) D2，)解析：选C要使ylog2(ax1)在(1,2)上单调递增，则a0且a10，a1.故选C.3已知函数f(x)是R上的单调函数，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.解析：选B由对数函数的定义可得a0，且a1.又函数f(x)在R上单调，则二次函数yax2x的图象开口向上，所以函数f(x)在R上单调递减，故有即所以a.4已知函数f(x)是定义在(0，)上的增函数，若f(a2a)f(a3)，则实数a的取值范围为_解析：由已知可得解得3a1或a3，所以实数a的取值范围为(3，1)(3，)答案：(3，1)(3，)(二)技法专练活用快得分5构造法已知减函数f(x)的定义域是实数集R，m，n都是实数如果不等式f(m)f(n)f(m)f(n)成立，那么下列不等式成立的是()Amn0 Bmn0Cmn0 Dmn0解析：选A设F(x)f(x)f(x)，由于f(x)是R上的减函数，f(x)是R上的增函数，f(x)是R上的减函数，F(x)是R上的减函数，当mn时，有F(m)F(n)，即f(m)f(m)f(n)f(n)成立因此，当f(m)f(n)f(m)f(n)成立时，不等式mn0一定成立，故选A.6三角换元法函数yx的最小值为_解析：原函数可化为：yx.由2(x5)20|x5|，令x5cos ，那么|cos |cos |10，于是ycos 5sin 2sin5.因为，所以sin，所以函数的最小值为5.答案：57数形结合法设函数f(x)的图象过点(1,1)，函数g(x)是二次函数，若函数f(g(x)的值域是0，)，则函数g(x)的值域是_解析：因为函数f(x)的图象过点(1,1)，所以m11，解得m0，所以f(x)画出函数yf(x)的大致图象如图所示，观察图象可知，当纵坐标在0，)上时，横坐标在(，10，)上变化而f(x)的值域为1，)，f(g(x)的值域为0，)，因为g(x)是二次函数，所以g