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文档简介
专题6直线与圆的位置关系题型一直线与圆的位置关系例 12017余杭区一模在平面直角坐标系xOy中,经过点(sin45,cos30)的直线,与以原点为圆心,2为半径的圆的位置关系是(A)A相交 B相切C相离 D以上三者都有可能【解析】 如答图,设直线经过的点为A,例1答图点A的坐标为(sin45,cos30),OA,圆的半径为2,OA2,点A在圆内,直线和圆一定相交变式跟进12017市北区二模O的半径r5 cm,直线l到圆心O的距离d4,则l与O的位置关系是(C)A相离 B相切 C相交 D重合【解析】 O的半径为5 cm,圆心O到直线l的距离为4 cm,54,即dr,直线l与O的位置关系是相交22017阳谷一模已知等腰三角形的腰长为6 cm,底边长4 cm,以等腰三角形的顶角的顶点为圆心5 cm为半径画圆,那么该圆与底边的位置关系是(A)A相离 B相切C相交 D不能确定【解析】 如答图,在等腰三角形ABC中,作ADBC于D,则BDCDBC2,AD45,即dr,该圆与底边的位置关系是相离第2题答图题型二切线的性质例 22016天津在O中,AB为直径,C为O上一点(1)如图1,过点C作O的切线,与AB的延长线相交于点P,若CAB27,求P的大小;(2)如图,D为弧AC上一点,且OD经过AC的中点E,连结DC并延长,与AB的延长线相交于点P,若CAB10,求P的大小图1解: (1)如答图,连结OC,O与PC相切于点C,例2答图OCPC,即OCP90,CAB27,COB2CAB54,在RtCOP中,PCOP90,P90COP36;(2)E为AC的中点,ODAC,即AEO90,在RtAOE中,由EAO10,得AOE90EAO80,ACDAOD40,ACD是ACP的一个外角,PACDA401030.【点悟】已知切线,常常连结切点和圆心作半径变式跟进3已知BC是O的直径,AD是O的切线,切点为A,AD交CB的延长线于点D,连结AB,AO.(1)如图2,求证:OACDAB;(2)如图,ADAC,若E是O上一点,求E的大小图2解:(1)证明:AD是O的切线,切点为A,DAAO,DAO90,DABBAO90,BC是O的直径,BAC90,BAOOAC90,OACDAB;(2)OAOC,OACC,ADAC,DC,OACD,OACDAB,DABD,ABCDDAB,ABC2D,DC,ABC2C,BAC90,ABCC90,2CC90,C30,EC30.题型三切线的判定例 3如图3,AB是O的直径,BCAB于点B,连结OC交O于点E,弦ADOC,弦DFAB于点G.(1)求证:点E是弧BD的中点;(2)求证:CD是O的切线 图3 例3答图证明:(1)如答图,连结OD,ADOC,1A,2ODA,OAOD,AODA,12,即点E是的中点;(2)在OCD和OCB中,OCDOCB,ODCOBC90,ODCD,CD是O的切线【点悟】证某直线为圆的切线时,如果已知直线与圆有公共点,即可作出过该点的半径,证明直线垂直于该半径,即“作半径,证垂直”;如果不能确定某直线与已知圆有公共点,则过圆心作直线的垂线段,证明它到圆心的距离等于半径,即“作垂直,证半径”在证明垂直时,常用到直径所对的圆周角是直角变式跟进4如图4,AB是O的直径,C,D为半圆O上的两点,CDAB,过点C作CEAD,交AD的延长线于点E,A60.(1)求证:CE是O的切线;(2)猜想四边形AOCD是什么特殊的四边形,并证明你的猜想 图4 第4题答图解:(1)证明:连结OD,如答图所示A60,OAOD,OAD是等边三角形,ADOAOD60,CDAB,ODC60,OCOD,COD是等边三角形,COD60ADO,OCAE,CEAE,CEOC,CE是O的切线;(2)四边形AOCD是菱形证明:由(1)得OAD和COD是等边三角形,OAADCDOC,四边形AOCD是菱形题型四切线长定理及三角形的内切圆例 42017邹平模拟RtABC中,C90,AB5,内切圆半径为1,则三角形的周长为(B)A15 B12 C13 D14【解析】如答图,连结OA,OB,OC,OD,OE,OF,O是ABC的内切圆,切点分别是D,E,F,ODAC,OEAB,OFBC,ADAE,BEBF,ODCOFCACB90,ODOF,四边形ODCF是正方形,CDODOFCF1,ADAE,BFBE,且AEBEAB5,ADBF5,ABC的周长是ACBCABADCDCFBFAB511512.例4答图【点悟】(1)求证三角形内切圆的问题时,常用到面积法:SABC(abc)r,其中r为ABC的内切圆半径,a,b,c为ABC的三条边的长度;(2)已知直角三角形的三边长a,b,c(其中c为斜边),则内切圆半径r;(3)解三角形与圆相切的问题时,常利用切线长定理及勾股定理等列方程(组)来求半径长变式跟进5在ABC中,ABC60,ACB50,如图5所示,I是ABC的内心,延长AI交ABC的外接圆于点D,则ICD的度数是(C)A50 B55 C60 D65图5【解析】 ABC中,BAC180ACBABC180506070,又I是ABC的内心,BCDBADBAC35,BCIACB25,BCDBCI352560,即ICD60.6如图6,PA,PB是O的切线,A,B为切点,AC是O的直径,P60.(1)求BAC的度数;(2)当OA2时,求AB的长 图6 第6题答图解:(1)PA,PB是O的切线,APBP,P60,PAB60,PA是O的切线,PAC90,BAC906030;(2)如答图,连结OP,则在RtAOP中,OA2,APO30,OP4,由勾股定理得AP2,APBP,APB60,APB是等边三角形,ABAP2.过关训练1同学们玩过滚铁环吗?铁环的半径是30 cm,手柄长40 cm.当手柄的一端勾在环上,另一端到铁环的圆心的距离为50 cm时,铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为(C)A相离 B相交C相切 D不能确定【解析】 根据题意画出图形,如答图所示第1题答图由已知得BC30 cm,AC40 cm,AB50 cm,BC2AC23024029001 6002 500,AB25022 500,BC2AC2AB2,ACB90,即ACBC,AC为圆B的切线,即此时铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为相切22017临沂模拟如图1,MBC中,B90,C60,MB2,点A在MB上,以AB为直径作O与MC相切于点D,则CD的长为(C)图1A. B.C2 D3【解析】 在RtBCM中,tan60,得到BC2,AB为O的直径,且ABBC,BC为O的切线,又CD也为O的切线,CDBC2.32017西湖区校级二模如图2,用一把带有刻度的角尺:(1)可以画出两条平行的直线a与b,如图;(2)可以画出AOB的平分线OP,如图所示;(3)可以检验工件的凹面是否为半圆,如图所示;(4)可以量出一个圆的半径,如图所示这四种说法中正确的个数有(D)图2A1 B2 C3 D4【解析】 (1)根据平行线的判定:同位角相等,两直线平行,可知正确;(2)可以画出AOB的平分线OP,可知正确;(3)根据90的圆周角所对的弦是直径,可知正确;(4)此作法正确所以正确的有4个42017金乡三模已知ACBC于C,BCa,CAb,ABc,下列选项中O半径为的是(A) AB C D【解析】B设AB切O于F,圆的半径是y,连结OF,则BCAOFA,得出,代入求出y;C.设AC,BC分别切O于E,D,连结OE,OD,得到OECODCC90,证出四边形OECD是正方形,设O的半径是r,证ODBAEO,得出,代入即可求出r;D.设O的半径是x,圆切AC于E,切BC于D,切AB于F,同样得到正方形OECD,根据axcbx,求出x.52017溧水区一模如图3,在RtABC中,C90,B60,内切圆O与边AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,则DEF的度数为_75_图3【解析】 如答图,连结DO,FO,第5题答图在RtABC中,C90,B60,A30,内切圆O与边AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,ODAOFA90,DOF150,DEF的度数为75.6如图4,在RtABC中,ACB90,以AC为直径的O与AB边交于点D,过点D作O的切线,交BC于E.(1)求证:点E是边BC的中点;(2)当B_45_时,四边形ODEC是正方形 图4 第6题答图解:(1)证明:如答图,连结DO,ACB90,AC为直径,EC为O的切线又ED也为O的切线,ECED,又EDO90,BDEADO90,BDEA90,又BA90,BDEB,EBED,EBEC,即点E是边BC的中点;(2)当B45时,四边形ODEC是正方形,ACB90,A45,OAOD,ADO45,AOD90,DOC90,ODE90,四边形ODEC是矩形,ODOC,矩形ODEC是正方形7如图5,O的直径AB6,ABC30,BC6,D是线段BC的中点(1)试判断点D与O的位置关系,并说明理由;(2)过点D作DEAC,垂足为点E,求证:直线DE是O的切线 图5 第7题答图解:(1)点D与O的位置关系是D在O上,理由:设BC交O于F,如答图,连结AF,AB为O的直径,AFB90,AB6,ABC30,AFAB3,由勾股定理得BF3,BC6,D为BC的中点,BD3,即D,F互相重合,D在O上;(2)证明:连结OD,D为BC的中点,AOBO,ODAC,DEAC,ODDE,OD为半径,直线DE是O的切线8如图6,已知PA,PB分别切O于A,B,E为劣弧AB上一点,过E点的切线交PA于C,交PB于D.(1)若PA6,求PCD的周长;(2)若P50,求DOC的大小 图6 第8题答图解:(1)如答图,连结OE,PA,PB与O相切,PAPB6,同理可得ACCE,BDDE,PCD的周长PCPDCDPCPDCEDEPAPB12;(2)PA,PB与O相切,OAPOBP90,P50,AOB360909050130,在RtAOC和RtEOC中,RtAOCRtEOC(HL),AOCCOE,同理:DOEBOD,DOCAOB65.92017曲靖模拟如图7,C为以AB为直径的O上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为点D.(1)求证:AC平分BAD;(2)若CD3,AC3,求O的半径长 图7 第9题答图解:(1)证明:如答图,连结OC,OAOC,ACOCAO,CD切O于C,COCD.又ADCD,ADCO,DACACO,DACCAO,AC平分BAD;(2)过点O作OEAC于E,CD3,AC3,在RtADC中,AD6,OEAC,AEAC,CAODAC,AEOADC90,AEOADC,即,解得AO,O的半径为.102017广安模拟如图8,在ABC中,ABAC,以
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