理论力学--第十三章达朗伯原理.ppt

达朗贝尔原理,被广泛使用。,引言,动力学普遍定理：,非自由质点系动力学问题,用静力学研究平衡问题的方法来研究动力学的不平衡问题,动静法,达朗贝尔原理,解决质系动力学问题的一种普遍的方法,达朗贝尔原理：,特点：,应用：,由法国科学家达朗伯（1717-1783） 在其著作动力学专论中提出。,另一种普遍的方法。,方法：简单, 也容易掌握,131 惯性力 质点的达朗贝尔原理 132 质点系的达朗贝尔原理 133 刚体惯性力系的简化 134 绕定轴转动刚体的轴承动约束反力 达朗贝尔原理的应用,第十三章 达朗伯原理,达朗贝尔原理,请谈谈对惯性的理解,惯性：,使静止的物体保持静止，,使运动的物体保持运动。,请列举几个有关惯性的例子,达朗贝尔原理,FI具有力的量纲,13-1 惯性力 质点的达朗伯原理,大小：,方向：,一、惯性力,质点的惯性力。,与质点的质量有关,达朗贝尔原理,惯性力的应用1,达朗贝尔原理,在质点运动的任一瞬时,二、质点的达朗伯原理,内容,约束反力,假想加在质点上的惯性力,作用于质点上的主动力,构成形式上的平衡力系。,达朗贝尔原理,1、质点并非处于平衡状态,强调 ：,2、质点惯性力不是作用在质点上的真实力,达朗伯原理与虚位移原理构成了分析力学的基础。,目的是将动力学问题转化为静力学问题求解。,达朗贝尔原理,例1 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车厢的加速度 。,达朗贝尔原理,只要测出 角，就能知道列车的加速度 。,运动分析、加惯性力,受力分析,摆式加速计的原理,达朗贝尔原理,由质点的达朗贝尔原理：,13-2 质点系的达朗伯原理,质点系中每个质点上作用,的主动力、约束力和它的惯性力,在形式上组成平衡力系。,第一种表述,达朗贝尔原理,空间任意力系平衡的充分必要条件：,力系的主矢和对于任一点的主矩等于零。,达朗贝尔原理,作用在质点系上的所有外力,：惯性力系的主矩。,：惯性力系的主矢；,内力系,与加在每个质点上的惯性力,在形式上组成平衡力系。,质系达朗贝尔原理的另一表述：,达朗贝尔原理,(主矩),(主矢),对质点系:,质点系运动的每一瞬时，每个质点的惯性力与作用于该质点系的外力组成平衡力系。,达朗贝尔原理,1、已知质点系的运动，求系统的约束反力或 外力时，动静法尤为方便。,2、动静法的关键是解决惯性力系的简化问题。,几点说明,达朗贝尔原理,刚体平动、定轴转动和平面运动讨论惯性力系的简化结果。,引言,13-3 刚体惯性力系的简化,由静力学中任意力系简化理论知：,任意力系向一点简化：,主矢的大小和方向与简化中心,主矩一般与简化中心,惯性力系：,对质点系的每一个质点施加惯性力，形成力系。,主矢和主矩；,无关；,有关；,达朗贝尔原理,惯性力系的主矢,该式对任何质点系做任意运动都成立，当然适用于做平移、定轴转动与平面运动的刚体,达朗贝尔原理,任选一点O为简化中心,1、刚体平动,1,i,主矢：,主矩：,注意,达朗贝尔原理,1、惯性力系合成一过质心的合力。,若取质心C为简化中心,结论：刚体平动,2、合力的大小,3、合力的方向,4、合力的作用点,C,a1,1,FI1,ai,i,FIi,C,O,rC,aC,达朗贝尔原理,二、刚体定轴转动,达朗贝尔原理,由,有,记,为对于z 轴的惯性积.,同理,达朗贝尔原理,如果刚体有质量对称面且该面与转动轴垂直,简化中心取此平面与转轴的交点,则,达朗贝尔原理,O,w,a,结论:,1、主矢FIR和主矩MIO,通过转轴；,2、惯性力主矢FIR,大小,方向,作用线,3、惯性力主矩MIO,达朗贝尔原理,讨论：惯性力系的简化结果, 刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。,达朗贝尔原理, 转轴过质点C，0,达朗贝尔原理, 刚体作匀速转动，且转轴过质心，,达朗贝尔原理,3、各质点的惯性力简化为质量对称平面内的平面力系；,1、作平面运动的刚体常常有质量对称平面;,2、平行于此平面运动;,C,w,a,作用于质心处,三、刚体作平面运动 (平行于质量对称面）,4、平面力系向质心进行简化；,达朗贝尔原理,绕通过质心轴的转动：,作用于质心处,刚体平面运动可分解为：,随基点（质点C）的平动：,C,aC,w,a,达朗贝尔原理,定轴转动可以看成平面运动的特例：,注意刚体的定轴转动,1 施加在转轴上,2 施加在质心上,达朗贝尔原理,例1：图示均质杆OA质量为m，长为l，绕O点作定轴转动，角速度为，角加速度为，计算杆上惯性力系向O点和质心C简化的结果。,达朗贝尔原理,1、运动分析,达朗贝尔原理,2、向O点简化,达朗贝尔原理,3、向质心C简化,达朗贝尔原理,与刚体运动形式无关,1、平动,2、定轴转动,3、平面运动,作用点,惯性力系的主矢,达朗贝尔原理,惯性力系的主矩,1、平移,2、定轴转动,3、平面运动,作用点,与运动形式有关。,达朗贝尔原理,实质上即是刚体平面运动微分方程：,对于平面运动刚体：由动静法可列出三个方程：,例1：图示均质圆轮半径为r，质量为，沿水平面作无滑动的滚动，角速度为，角加速度为，计算圆轮上惯性力系向圆心O简化的结果。,达朗贝尔原理,运动分析,向圆心O简化,O,达朗贝尔原理,例2：边长为a的正方形平板重P，质心在C点，在图示的三个点处用三根绳挂于铅锤平面内。 求：FG处绳突然剪断的瞬间，另外二绳的张力。,达朗贝尔原理,1、运动分析,板作平动,2、施加惯性力,FI=maC,达朗贝尔原理,3、受力分析,4、静力学方程,达朗贝尔原理,例2 均质杆长l ,质量m, 与水平面铰接, 杆由与平面成60O角位置静止落下。求开始落下时杆的角加速度及支座反力。,达朗贝尔原理,1、运动分析,达朗贝尔原理,2、施加惯性力系,达朗贝尔原理,（3）受力分析,（4）静力学方程,达朗贝尔原理,求：F 多大,能使杆B 端刚好离开地面?纯滚动的条件?,达朗贝尔原理,解:刚好离开地面时,地面约束力为零.,研究 AB 杆,达朗贝尔原理,解得,研究整体,得,解得,达朗贝尔原理,质心加速度，角加速度，,应用动静法求动力学问题的步骤及要点：,在受力图上画上惯性力系;,选取研究对象：,受力分析：,运动分析：, 虚加惯性力：,原则与静力学相同。,大小、标出方向。,一定要在 正确进行运动分析的基础上进行。,画出全部主动力和约束反力。,利用运动学的各种方法分析,达朗贝尔原理,求解求知量。,列动静方程：,建立补充方程：,应用动静法求动力学问题的步骤及要点：,动静法的关键是惯性力系的简化。,选取适当的矩心和投影轴。,运动学补充方程（运动量之间的关系）。,达朗贝尔原理,例 均质杆AB的质量m40 kg, 长l4 m, A点以铰链连接于小车上。不计摩擦, 当小车以加速度a15 m/s2向左运动时, 求D处和铰A处的约束反力。,达朗贝尔原理,FIma,1、运动分析,杆作平动,2、施加惯性力,3、受力分析,4、静力学方程,达朗贝尔原理,达朗贝尔原理,例 绕线轮重P，半径为R及 r ，对质心O转动惯量为J，在与水平成 角的常力T 作用下纯滚动，不计滚阻，求：(1)轮心的加速度；(2)分析纯滚动的条件。,达朗贝尔原理,1、运动学分析,2、施加惯性力系,FT,达朗贝尔原理,3、受力分析,FT,4、静力学方程,达朗贝尔原理,纯滚动的条件： F Sf FN,达朗贝尔原理,例:已知两完全相同的均质直杆自水平位置无初速地释放。求初始时刻两杆的角加速度和O、A处的约束反力。,1、运动分析,达朗贝尔原理,2、质心加速度分析,达朗贝尔原理,3、施加惯性力,达朗贝尔原理,4、受力分析,达朗贝尔原理,5、 取AB 杆为研究对象,达朗贝尔原理,6 、取系统为研究对象,达朗贝尔原理,例 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体，各重为P1和P2，半径均为R，绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角q ，如在鼓轮上作用一常力偶矩M， 试求：(1)鼓轮的角加速度？ (2)绳子的拉力？ (3)轴承O处的支反力？ (4)圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？,达朗贝尔原理,解：用达朗贝尔原理求解 取轮O为研究对象，虚加惯性力偶,列出动静方程：,取轮A为研究对象，虚加惯性力 和惯性力偶MIA如图示。,达朗贝尔原理,列出动静方程：,运动学关系： ，,将MI，FI，MIA及运动学关系代入到(1)和(4)式并联立求解得：,达朗贝尔原理,代入(2)、(3)、(5)式，得：,达朗贝尔原理,动力学,例、 均质细杆长为l ，质量为m，上端B靠在光滑的墙上，下端 用铰A与质量为 M 半径为R且放在粗糙地面上的圆柱中心相连 。在图示瞬时系统静止且杆 与水平线的夹角 = 45o ， 求该瞬时杆的角加速度。,动力学,1、运动学分析,aA =R A,A= AB = 0,aBA =l ,质心加速度分析,动力学,2、施加惯性力,动力学,mA(F)=0,FX=0,F + MaA+maA -maCAt sin-FNB = 0,3、受力分析,A,B,C,JA A,FY=0,FNA -Mg-mg-maCAt cos = 0,mA(F) = 0,动力学,取轮为研究对象,例7 均质杆的质量为m, 长为2l, 一端放在光滑地面上, 并用两软绳支持, 如图所示。求当BD绳切断的瞬时, B点的加速度AE绳的拉力及地面的反力。,达朗贝尔原理,1、运动学分析,达朗贝尔原理,2、施加惯性力系,FIe maB,FIr matCB ml,达朗贝尔原理,3、受力分析,达朗贝尔原理,4、运动学补充方程,达朗贝尔原理,达朗贝尔原理,例8 牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力 及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f , 试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩M 之最大值。,达朗贝尔原理,1、运动学分析,2、施加惯性力,达朗贝尔原理,3、受力分析,达朗贝尔原理,要保证车轮不滑动，必须 F Sf N =f (mg+S),f 越大越不易滑动。,N= mg +S,计算主动力偶M,达朗贝尔原理,例9：电动绞车安装在梁上，梁的两端搁在支座上，绞车与梁共重P，作用线过梁的中点，如图所示。绞盘与电机转子固结在一起，转动惯量为J。绞车以加速度a提升重物。已知重物质量为m，绞盘半径为R。求由于加速度提升重物而对支座A，B的附加压力。,达朗贝尔原理,。,运动学分析,施加惯性力,受力分析,达朗贝尔原理,。,动反力,达朗贝尔原理,质心在转轴上，,一、静平衡与动平衡的概念,13-4 绕定轴转动刚体的轴承动约束反力,静平衡：,不产生附加动反力。,动平衡：,刚体在仅受重力而不受其它主动力时，,转动为中心惯性主轴,刚体可在任意位置静止。,达朗贝尔原理,惯性力平衡,不产生附加动反力,二、轴承动反力,不考虑连杆的质量;,动力学,由于机构运动而附加的约束反力。,1、转轴过质心,偏心引起的附加动反力,动力学,2、转轴偏心,偏角引起的附加动反力,偏角q很小时,动力学,3、有偏转角,附加动反力产生的原因：,避免出现轴承动反力的条件：,1. 质心偏离转轴,2. 对称面法线（惯性主轴）与转轴之间产生偏角,惯性力系不能形成平衡力系，会产生轴承上的附加动反力。,转轴是通过质心的惯性主轴;,动力学,中心惯性主轴,动力学,例1 质量不计的刚轴以角速度匀速转动，其上固结着两个质量均为m的小球A和B。指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？,(b)、 (d) 静平衡,( a) 动平衡,动力学,动平衡的刚体，一定是静平衡的；,静平衡的刚体，不一定是动平衡的。,注意,动力学,例1 两个相同的定滑轮如图，开始时都处于静止，问哪个角加速度大？,动 静 法 应 用,动力学,动力学,例2 质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。,动力学,1、运动分析,2、施加惯性力,动力学,3、受力分析,例3 ：均质杆AB长l、重W， B端与重G、半径为r的均质圆轮铰接。在圆轮上作用一矩为M的力偶, 借助于细绳提升重为P的重物C。试求固定端A的约束反力。,动力学,动力学,1、运动分析,2、施加惯性力,动力学,3、受力分析,动力学,取整体为研究对象,动力学,例4. 水平面上放一均质三棱柱A，在此三棱柱上又放一均质三棱柱B，两三棱柱的横截面都是直角三角形，且质量分别为M 和 m ，设各接触面都是光滑的。求当三棱柱 B从图示位置沿A 由静止滑下时，三棱柱A的加速度。,1、运动学分析,动力学,2、施加惯性力系,Ma + ma - marcos = 0,3、受力分析,平衡方程,macos - mar + mgsin = 0,动力学,3、取三棱柱B为研究对象,动力学,例5. 质量为M长为l 的均质杆AB铰接在质量为m的滑块A上，在铅垂位置由静止释放 , 沿倾角为 的固定斜面滑下 , 如图所示。若不计摩擦 ,求在刚释放时(1)杆AB的角加速度 ; (2)滑块 A的加速度。,vA= 0,AB= 0,动力学,1、运动分析,2、施加惯性力,滑块平动,杆作平面运动, mA(F) = 0,-(M+m) aA+(M+m)gsin+ MaCA cos = 0,动力学,3、受力分析,例6：质量为m, 长为l的均质直杆AB的一端A焊接于半径为r的圆盘边缘上, 如图。今圆盘以角加速度 绕其中心O转动。求圆盘开始转动时, AB杆上焊接点A处的约束反力。,动力学,动力学,1、分析杆的运动,定轴转动,确定质心加速度,动力学,2、施加惯性力系,3、受力分析,动力学,例7 ：重P、半径为r的均质圆轮沿倾角为的斜面向下滚动。求轮心C 的加速度, 并求圆轮不滑动的最小摩擦系数。,动力学,1、运动分析,动力学,2、施加惯性力,3、受力分析,要求,圆轮不滑动时, 最小摩擦系数,动力学,圆轮不滑动,：FSf FN,例 8：均质杆AB长为l, 重为Q, 上端B靠在半径为R的光滑圆弧上（R=l ）, 下端A以铰链和均质圆轮中心A相连, 圆轮重P, 半径为r, 放在粗糙的地面上, 由静止开始滚动而不滑动。若运动开始瞬时杆与水平线所成夹角 , 求此瞬时A点的加速度。,动力学,1、运动学分析,动力学,开始瞬时,动力学,AB构件的质心加速度,2、施加惯性力,动力学,3、受力分析,再以AB为研究对象,动力学,动力学,例9、质量为m长l的均质杆AB与EF 以软绳AE与BF 相连并在AB的中点用铰链O固定如图示。求当BF被剪断的瞬时B与F两点的加速度。,AB= EF = 0,动力学,1、运动学分析,AB作定轴转动,EF平面运动,2、施加惯性力系,动力学,动力学