机械优化设计教案资料.doc

吉 林 大 学教 师 教 案 (20 07 2008 学年第 二 学期)课程名称:机械优化设计年 级:2005级01-09班教 研 室:机械设计及自动化任课教师:李风吉林大学教务处制教 案课程名称:授课教师李风授课对象机械类授课时间05-06(二)授课题目机械优化设计概述课 型考查使用教具多媒体教学目的使学生掌握机械优化设计的基本概念及优化的基本思想教学重点和难点重点:寻优策略 难点:数学模型的建立参考教材1 .孙靖民主编 .机械优化设计 . 机械工业出版社出版2. 刘惟信主编. 机械最优化设计 清华大学出版社 教学内容时间分配及备注机械优化设计Mechanical Optimization Design. 1 .孙靖民主编 .机械优化设计 . 机械工业出版社出版2. 刘惟信主编. 机械最优化设计 清华大学出版社 绪论优化设计是60年代初发展起来的一门新学科,它是将最优化原理和计算技术应用于设计领域,为工程设计提供一种重要的科学设计方法利用这种新的设计方法,人们就可以从众多的设计方案中寻找出最佳设计方案,从而大大提高设计效率和质量因此优化设计是现代设计理论和方法的一个重要领域,它已广泛应用于各个工业部门本课程将着重介绍数学规划理论的基本概念技术术语与基本方法,并通过实例介绍用数学规划理论解决机械优化设计问题的过程本课程共分八章进行讨论第一章介绍优化设计的基本概念,其目的在于了解优化设计的步骤及常用术语第二章介绍某些数学基础知识,以便为以后各章的学习打好基础第三四五六章分别介绍一维搜索无约束优化线性规划和约束优化的原理及算法,这是本课程的重点第七章介绍多目标及离散变量优化方法简介第八章介绍几个机械优化设计问题的实例,用以说明如何应用优比方法解决机械优化设计问题的过程第一章 优化设计概述为了对机械优化设计有一个具体的认识,现在以人字架的优化设计为例予以说明虽然此设计采用简单的解析法和作图法,但从中可以了解优化的具体过程,以及优化问题的一些基本概念2学时 等值线等高线l 等值线l 等高线:l 它是由许多具有相同目标函数值的设计点所构成的平面曲线课后小结1:人字架的优化数学模型2:数学模型的基本构成第二节 机械优化问题示例第三节 优化设计问题的数学模型五优化问题的几何解释l 无约束优化问题就是在没有限制的条件下,对设计变量求目标函数的极小点在设计空间内,目标函数是以等值面的形式反映出来的,则无约束优化问题的极小点即为等值面的中心l 约束优化问题是在可行域内对设计变量求目标函数的极小点,此极小点在可行域内或在可行域边界上2学时课后小结1.机械优化设计数学模型的一般形式2:优化设计的数学基础,梯度的概念授课教师李风授课对象机械类授课时间05-06(二)授课题目机械优化设计的优化数学模型课 型考查使用教具多媒体教学目的使学生掌握机械优化设计数学模型基本构成及梯度知识教学重点和难点重点:数学模型的基本组成 难点:梯度及其性质第四节 优化设计问题的基本解法l 求解优化问题:解析解法l 数值的近似解法l 解析解法:把所研究的对象用数学方程(数学模型)描述出来,然后再用数学解析方法(如微分变分方法等)求出优化解l 数值解法:只能通过大量试验数据用插值或拟合方法构造一个近似函数式,再来求其优化解,这种方法是属于近似的迭代性质的数值解法不仅可用于求复杂函数的优化解,也可以用于处理没有数学解析表达式的优化设计问题因此,它是实际问题中常用的方法l 可以按照对函数导数计算的要求,把数值方法分为需要计算函数的二阶导数一阶导数和零阶导数(即只要计算函数值而不须计算其导数)的方法l由于数值迭代是逐步逼近最优点而获得近似解的,所以要考虑优化问题解的收敛性及迭代过程的终止条收敛性是指某种迭代程序产生的序列收敛于第二章 优化设计的数学基础l 第一节 多元函数的方向导数与梯度二二元函数的梯度 考虑到二元函数具有鲜明的几何解释,并且可以象征性地把这种解释推广到多元函数中去,所以梯度概念的引入也先从二元函数人手等值线等高线l 等值线l 等高线:l 它是由许多具有相同目标函数值的设计点所构成的平面曲线2学时课后小结1:数学规划法的基本思想2:可行域与不可行域3:梯度及其性质授课教师李风授课对象机械类授课时间05-06(二)授课题目机械优化设计的迭代步骤课 型考查使用教具多媒体教学目的使学生掌握机械优化设计的迭代步骤及终止原则教学重点和难点重点:优化设计迭代步骤 难点:收敛准则第二节 多元函数的泰勒展开第三节 无约束优化问题的极值条件 无约束优化问题是使目标函数取得极小值,所谓极值条件就是指目标函数取得极小值时极值点所应该满足的条件二元函数在某点处取得极值的充分条件:在该点处的海赛矩阵为正定2学时课后小结1:泰勒展开2:海森矩阵授课教师李风授课对象机械类授课时间05-06(二)授课题目极值存在的充要条件课 型考查使用教具多媒体教学目的使学生掌握海森矩阵的求法及其性质教学重点和难点重点:海森矩阵 难点:极值存在的充要条件第四节 凸集凸函数与凸规划一凸集二凸函数三凸性条件四凸规划第五节 等式约束优化问题的极值条件二拉格朗日乘子法l 拉格朗日乘子法是求解等式约束优化问题的另一种经典方法,它是通过增加变量将等式约束优化问题变成无约束优化问题所以又称作升维法课 后 小结1:凸集 2:拉氏乘子法3:消元法授课教师李风授课对象机械类授课时间05-06(二)授课题目凸集的概念课 型考查使用教具多媒体教学目的使学生掌握凸集在优化中的作用,了解拉氏乘子与消元法教学重点和难点重点:凸规划 难点:拉氏乘子法原理第六节 不等式约束优化问题的极值条件工程上大多数优化问题都可以表示为具有不等式约束条件的优化问题不等式约束的多元函数极值的必要条件是著名的库恩塔克(KuhnTucker)条件,它是非线性优化问题的重要理论库恩塔克条件一多元函数不等式约束优化问题二同时具有等式和不等式约束的优化问题利用KT条件求极值点往往是很繁琐的,需要确定需要确定哪些约束在极值点处起作用库思塔克条件也可以叙述为在极值点处目标函数的负梯度一定能够表示成所有起作用的各约束函数在该点梯度(法向量)的非负线性组合,即 (222)机械系统结构系统的优化设计的一般过程第三章 一维搜索方法v 第一节 概 述第二节 搜索区间的确定与区间消去法原理一确定搜索区间的方法进退法二区间消去法原理课 后 小结1:一维寻优区间的确定2:区间消去法的基本原理3:换元的实现授课教师李风授课对象机械类授课时间05-06(二)授课题目一维寻优的基本原理课 型考查使用教具多媒体教学目的使学生掌握一维寻优的基本原理及实现方法教学重点和难点重点:区间消去法的基本原理 难点:区间的确定第三节 一维搜索的试探方法在实际计算小,最常用的一维搜索试探方法是黄金分割法,又称作0.618法 确定搜索区间求最优解2学时课 后 小结1:黄金分割法的基本原理2:黄金分割法的迭代步骤授课教师李风授课对象机械类授课时间05-06(二)授课题目一维寻优方法课 型考查使用教具多媒体教学目的使学生掌握黄金分割法的原理及使用技巧教学重点和难点重点:黄金分割法的基本原理 难点:黄金分割法的实现教学内容时间分配第四节 一维搜索的插值方法 假定我们的问题是在某一确定区间内寻求函数的极小点位置,虽然没有函数表达式,但能够给出若干试验点处的函数值我们可以根据这些点处的函数值,利用插值方法建立函数的某种近似表达式,进而求出函数的极小点,并用它作为原来函数极小点的近似值这种方法称作插值方法,又称作函数迫近法一牛顿法(切线法)牛顿法最大的优点是收敛速度快但是在每一点处都要计算函数的二阶导数,因而增加了每次迭代的工作量特别是用数值微分代替二阶导数时,舍入误差会影响牛顿法的收敛速度,当/()很小时这个问题更严重另外,牛顿法要求初始点选得比较好,也就是说离极小点不太远,否则有可能使极小化序列发散或收敛到非极小点 二二次插值法(抛物线法)2学时课 后 小结1:牛顿切线法的迭代关系2:二次插值涵数的构造 授课教师李风授课对象机械类授课时间05-06(二)授课题目一维寻优的试探法课 型考查使用教具多媒体教学目的使学生掌握牛顿切线法和抛物线插值的原理及使用方法教学重点和难点重点:插值法的原理 难点:二次插值方法第四章 无约束优化方法第一节 概 述无约束优化方法可以分为两类: 一类是利用目标函数的一阶或二阶导数的无约束优化方法 如最速下降法共扼梯度法牛顿法及变尺度法等 另一类是只利用目标函数值的无约束优化方法 如坐标轮换法,单形替换法及鲍威尔(PDwell)法等本章将分别讨论上述两类无约束优化方法第二节 最速下降法最速下降法是以负梯度方向作为搜索方向,所以最速下降法又称为梯度法在最速下降法中,相邻两个选代点上的函数梯度相互垂直而搜索方向就是负梯度方向,因此相邻两个搜索方向互相垂直这就是说在最速下降法中,迭代点向函数极小点靠近的过程,走的是曲折的路线这一次的搜索方向与前一次的搜索方向互相垂直,形成“之”字形的锯齿现象,见图422学时课后小结1:最速下降法2:梯度的性质授课教师李风授课对象机械类授课时间05-06(二)授课题目无约束优化方法课 型考查使用教具多媒体教学目的使学生掌握最速下降法的原理及使用方法教学重点和难点重点:最速下降法的特点 难点:最速下降方向的性质第三节 牛顿型方法牛顿方法和最速下降法一样,也是求解圾值问题古老的算法之一维情况下的牛顿迭代公式 从牛顿法迭代公式的推演中可以看到,迭代点的位置是按照极值条件确定的,其中并未含有沿下降方向搜寻的概念因此对于非二次函数,如果采用上述牛顿法迭代公式,有时会使函数值上升,即出现的现象为此,需对上述牛顿法进行改进,引入数学规划法的搜寻概念,提出所谓“阻尼牛顿法” 这样,原来的牛顿法就相当于阻尼牛顿法的步长因子k 取成固定值1的情况 由于阻尼牛顿法每次迭代都在牛顿方向上进行一维搜索,这就避免了迭代后函数值上升的现象,从而保持了牛顿法二次收敛的特性,而对初始点的选取并没有苛刻的要求 这类方法的主要缺点是每次迭代都要计算函数的二阶导数矩阵,并对该矩阵求逆这样工作量很大持别是矩阵求逆,当维数高时工作量更大 牛顿型方法所需的存储量也是很大的最速下降法的收敛速度比牛顿法慢 针对这些缺点,人们研究了很多改进的算法,如针对最速下降法(梯度法)提出只用梯度信息,但比最速下降法收敛速度快的共轭梯度法;针对牛顿法提出变尺度法等2学时课后小结1:牛顿型方法2:阻尼牛顿法的使用授课教师李风授课对象机械类授课时间05-06(二)授课题目牛顿型方法课 型考查使用教具多媒体教学目的使学生掌握牛顿型方法在无约束问题中的使用方法教学重点和难点重点:阻尼牛顿迭代方向 难点:阻尼因子的作用第六节 变尺度法l 一尺度矩阵的概念l 变量的尺度变换是放大或缩小各个坐标通过尺度变换可以把函数的偏心程度降低到最低限度尺度变换技巧能显著地改进几乎所有极小化方法的收敛性质 牛顿法就可看成是经过尺度变换后的梯度法经过尺度变换,使函数偏心率减小到零,函数的等值面变为球面(或超球面),使设计空间中任意点处函数的梯度都通过极小点,用最速下降法只需一次迭代就可达到极小点这就是对变换前的二次函数,在使用牛顿方法时,由于其牛顿方向直接指向极小点,因此只需一次迭代就能找到极小点二变尺度矩阵的建立三变尺度法的一般步骤四DFP算法2学时课后小结1;变尺度方法2:DFP算法授课教师李风授课对象机械类授课时间05-06(二)授课题目变尺度方法课 型考查使用教具多媒体教学目的使学生了解变尺度方法的基本原理及使用方法教学重点和难点重点:变尺度方法的原理 难点:尺度的作用第七节 坐标轮换法 坐标轮换法是每次搜索只允许一个变量变化,其余变量保持不变,即沿坐标方向轮流进行搜索的寻忧方法它把多变量的优化问题轮流地转化成单变量(其余变量视为常量)的优化问题,因此又称这种方法为变量轮换法 在搜索过程中可以不需要目标函数的导数,只需目标函数值信息这比前面所讨论的利用目标函数导数信息建立搜索方向的方法要简单得多第八节 饱威尔方法l 鲍威尔法是直接利用函数值来构造共轭方向的一种共扼方向法这种方法是在研究具有正定矩阵G的二次函数ll 的极小化问题时形成的其基本思想是在不用导数的前提下.在迭代中逐次构造G的共轭方向一共轭方向的生成二基本算法l 现在针对二维情况来描述鲍威尔的基本算法,如图417所示鲍威尔方法是鲍威尔于1964年提出的,以后又经过他本人的改进该法是一种有效的共轭方向法,它可以在有限步内找到二次函数的极小点对于非二次函数只要具有连续二阶导数,用这种方法也是有效的2学时课后小结1:坐标轮换法的使用2:鲍威尔方法的基本原理授课教师李风授课对象机械类授课时间05-06(二)授课题目坐标轮换法及鲍威尔法课 型考查使用教具多媒体教学目的使学生掌握坐标轮换法的使用方法了解鲍威尔方法的基本原理教学重点和难点重点:坐标轮换法 难点:共轭方向的建立第九节 单形替换法l 一基本原理l 函数的导数是函数性态的反映,它对选择搜索方向提供了有用的信息如最速下降法共轭梯度法变尺度法和牛顿法等,都是利用函数一阶或二阶导数信息来建立按索方向在不计算导数的情况下,先算出若干点处的函数值,从它们之间的大小关系中也可以看出函数变化的大概趋势,为寻求函数的下降方向提供依据这里所说的若干点,一殷取在单纯形的顶点上所谓单纯形是指在n维空间中具有n+1个顶点的多面体利用单纯形的顶点,计算具函数值并加以比较,从中确定有利的搜索方向和步长,找到一个较好的点取代单纯形中较差的点,组成新的单纯形来代替原来的单纯形使新单纯形不断地向目标函数的极小点靠近,直到搜索到极小点为止这就是单形替换法的基本思想在线性规划中,我们将提到单纯形法,那是因为线性规划问题是在凸多面体顶点集上进行迭代求解这里是无约束极小化中的单形替换法,利用不断替换单纯形来寻找无约束极小点虽然二者都用到单纯形,但决不可以把这两种方法混淆起来为此我们将通常在无约束极小化中所说的单纯形法,称作单形替换法,以避免和线性规划中的单纯形法相混淆2学时课后小结1:单形替换法的基本原理及使用方法授课教师李风授课对象机械类授课时间05-06(二)授课题目单形替换法课 型考查使用教具多媒体教学目的使学生掌握单形替换法的基本原理及使用方法教学重点和难点重点;单形替换法的基本原理 难点:单形替换法的特点第六章 约束优化方法6-1 概述约束优化问题,其数学模型为 (6-1)求解方法分为直接解法间接解法(A)直接解法通常适用于仅含不等式约束问题,基本迭代格式为 (6-2)式中 k步长; dk可行搜索方向 可行搜索方向是指,目标函数值将下降,且不会越出可行域(B)间接解法基本思路是将约束优化问题中的约束函数进行特殊的加权处理后,和目标函数结合起来,构成一个新的目标函数,再对新的目标函数进行无约束优化计算 (6-3) 其中1,2称为加权因子例6-1 求约束优化问题的最优解解 可取2=0.8,得的无约束最优解为:,选取合适的加权因子较为困难6-2 随机方向法其基本思路是在可行域内选择一个初始点x0,利用随机数的概率特性,产生若干个随机方向,并从中选择一个能使目标函数值下降最快的随机方向作为可行搜索方向,记做d从初始点x0出发,沿d,方向以一定的步长进行搜索,得到新点x,新点x应满足约束条件:,且,至此完成一次迭代重复最终取得约束最优解一随机数的产生二初始点的选择1)输入设计变量的下限值和上限值,即 (i=1,2,n)2)在区间(0,1)内产生n个伪随机数qi(i=1,2,n)3)计算随机点x的各分量 (i=1,2,3n)4)判别随机点x是否可行,若随机点x为可行点,则取初始点x为可行点,则取初始点x0x;若随机点x为非可行点,则转步骤2重新计算三可行搜索方向的产生从k(kn)个随机方向中,选取一个较好的方向其步骤为:在(-1,1)区间内产生伪随机数rji(i=1,2,n;j=1,2,k),计算 (j=1,2,k) (6-7)试验步长0,按下式计算k个随机点 (j=1,2,k) (6-8) k个随机点分布在超球面上检验k个随机点是否为可行点,选出目标函数值最小的点xL若f(xL)f(x0),则取xL和x0的连线方向作为可行搜索方向;若,0缩小,转步骤1重新计算,直至f(xL)r1r20;或障碍项障碍项的作用是阻止迭代点越出可行域当迭代点靠近某一约束边界时,其值趋近0,而障碍项的值陡然增加,并趋近无穷大,0时,才能求得最优解例6-5用内点法求问题的约束最优解 无约束极值点为 当r0时,当逐步减小r值,直至趋近于0时,x*(r)逼近原问题的约束最优解 1.初始点x0的选取离约束边界条件较远的可行点2.惩罚因子初值r0的选取一般来说,r0太大,将增加迭代次数;r0太小,会使惩罚函数的性态变坏1)取r0=12)按经验公式 (6-52)计算r0值,使惩罚函数中的障碍项和原目标函数的值大致相等3.惩罚因子的缩减系数c的选取 (k=1,2,) (6-53)c值在0.10.7之间4.收敛条件内点法的计算步骤为:1)选取可行的初始点x0,r0,c,12,令迭代次数k=02)构造,求点3)判别迭代是否收敛,若满足收敛条件,迭代终止否则令,转步骤2二外点惩罚函数法新目标函数定义在可行域之外,可求解含不等式和等式约束的优化问题 (j=1,2,m) (k=1,2,l)转化后 (6-56)其中r0r1r2r1r2,满足外点法初始点x0,r0参考内点法选取例6-7 试求点集A(x1,x2,x3)和点集B(x4,x5,x6),之间的最短距离限制条件为取,r0=1,c=0.2,总共迭代13次,求得最优解4学时课后小结1:随机方向法要点2:可行方向法中的可行方向3:惩罚函数法的适用场合授课教师李风授课对象机械类授课时间05-06(二)授课题目约束优化方法课 型考查使用教具多媒体教学目的使学生掌握约束优化方法的原理及使用方法教学重点和难点重点:约束优化方法原理及使