导数的概念单元计划宁龙.doc

导数的概念及应用模块1：考虑单元的主题或可能的项目。单元计划单元作者姓名宁龙学校所在地区包头市青山区学校名称内可大附中学校所属省、市内蒙古包头市 单元概览单元计划标题 导数的概念及应用模块7：总结单元。单元概述微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。在本模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础。通过该模块的学习，学生将体会导数的思想及其丰富内涵，感受导数在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。学科范围数学，物理适用年级 高三年级水平大致所需时间2个45分钟 模块2：为单元选择课程标准，确立目标和开发课程框架问题。单元基础 单元指向的内容标准和达标指标（1）导数概念及其几何意义 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵（参见选修11案例中的例2、例3）。 通过函数图象直观地理解导数的几何意义。（2）导数的运算 能根据导数定义求函数的导数。 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如）的导数。 会使用导数公式表。（3）导数在研究函数中的应用 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系（参见选修11案例中的例4）；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。 结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。（4）生活中的优化问题举例。 例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用（参见选修11案例中的例5）。（5）定积分与微积分基本定理 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念。 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义（参见例1）。（6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本标准中“数学文化”的要求（参见第104页）。学生目标/学习成果知识目标：1使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；2使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；3掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；4通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验；5通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程情感目标：1.培养学生的辩证唯物主义的观点，如量变与质变、分类与整合、运动与静止等等，都是进行唯物主义教育的素材.2.根据函数的可导性与连续性的关系，培养学生的逻辑推理能力和思辩能力.3.由切线的斜率与瞬时速度的关系，加深学生对特殊与一般、运动与静止的理解，培养学生的直觉思维中的类比能力.4.培养学生的总结、归纳、抽象与概括的能力，培养学生的分析问题和解决问题的能力，培养学生实际动手操作的能力.课程框架问题基本问题微积分对自然科学发展的影响单元问题1 微积分现代形式的确立与文化意义2 微积分产生对其他人文学科有哪些重要作用内容问题1 导数的定义2 导数的运算法则评价计划评价时间线模块5：撰写评价总结，为学生范例创建终结性评价。模块2：草拟评价时间线，创建一个演示文稿来评估学生需求。项目开始前学生学习项目并完成任务项目结束后复习回顾并预习完成课堂练习完成课后作业并自评 输入评价，帮助确定学生的背景、技能、态度和错误的概念。 输入评价，帮助确定学生的背景、技能、态度和错误的概念。 输入评价，评估学生的需求，监控进展状况，检查理解，鼓励元认知，自主与合作。 输入评价，以评估学生的需求，监控进展状况，检查理解，鼓励元认知，自主与合作。 输入评价，评价学生的理解和技能，鼓励元认知，评估学生未来的教学需求。 输入评价，评价学生的理解和技能，鼓励元认知，评估学生未来的教学需求。评价总结1 教学中，教师向学生布置学习任务，或学生自己提出问题，承担学习任务。2 作业作为教学的常规，是教学评价中不可缺少的一种手段，以往的作业布置虽然存在很多弊端，单调、重复、机械等现象，但不可否认作业对学生成长、发展过程的作用，对培养学生的创新精神和实践能力具有重要价值。单元细节前需技能学生已经掌握了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。模块4：创建学生范例，草拟教学过程。教学过程一、导入新课：上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。二、讲授新课师我们知道，t是时间增量，s是位移增量，对于一般的函数y=f(x),x称为自变量在x0处的增量，y称为函数的增量.切线的斜率与瞬时速度都是以极限来定义的，而且在形式上也是类似的.板书切线的斜率,瞬时速度.s=s(t)y=f(x)t时间增量x自变量x在x0处的增量s位移增量y函数在x0处的增量(函数的增量)平均速度函数y=f(x)在x0到x0+x之间的平均变化率瞬时速度，即为f(x)在x0处的切线斜率我们把函数y=f(x)在x=x0处的函数的平均变化率的极限，即叫做f(x)在x0处的导数.现请同学们概括并叙述导数的定义.生4函数y=f(x)，如果当x0时，有极限，就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数(或变化率)，记作或.师如何用数学符号来表示呢？生5.师大家认为这个定义中应注意到什么问题？请同学们先讨论一下，然后再总结.(教室内的气氛开始活跃了，同学们争先恐后地发言，发表自己的见解.只有在宽松和谐的氛围中学习，才能实现有意义的建构)生6如果x0时，要先有极限，才有f(x)在点x0处可导，进而才能得到f(x)在点x0处的导数.师回答得很好！同学们能否从导数的定义，概括出求函数y=f(x)在点x0处的导数的方法和步骤？生7求函数y=f(x)在点x0处的导数的方法是：(1)求函数y=f(x)的增量y=f(x0+x)-f(x0);(2)求平均变化率;(3)取极限，得函数f(x0)=.师同学们，刚才同学7总结得是否全面呢？生(众生)总结得很全面.师我们根据导数的定义和求导数的步骤，来研究上节课中求自由落体在t=3时的瞬时速度，其中.求它在t=3时的瞬时速度实质就是求在时刻t=3处的导数.请同学们来说说看.生8第一步：先写出位移函数的增量s=g(3+t)2-g32=g(t)2+6t.第二步：求出t由3到3+t内的位移的平均变化率.第三步：对取极限，即=3g=39.8=29.4(m/s).故自由落体在t=3时的瞬时速度就是v=29.4m/s.师从这个题目中我们可以得出什么样的结论呢？生瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数，即v=s|t=t0.师我们可以根据开区间上连续函数的定义，类似地定义函数在开区间上可导.生如果函数f(x)在开区间(a,b)内任一点x0处可导，即f(x0)=y|x=x0在x0处是存在的，由于x0是开区间(a,b)上的任意一点，当x0取遍(a,b)内的所有值时，这个极限都是存在的，就称函数f(x)在开区间(a,b)内可导.师你的理解和解释是很好的.一般地，如果函数f(x)在开区间(a,b)内可导，那么对于(a,b)内每一个确定的点x0，对应着一个确定的导数f(x0)，根据函数的定义，在(a,b)内构成一个新的函数，把这一新函数叫做f(x)在开区间(a,b)内的导函数，前提是f(x)在(a,b)内可导.它的数学符号如何表示呢？生9f(x)=y=，从这个定义中我们学到了由特殊到一般的科学思维方法，体现了动与静的辩证关系.师当x0(a,b)时，函数y=f(x)在x0处的导数f(x0)等于函数f(x)在开区间(a,b)内的导函数f(x)在点x0处的函数值.f(x0)可以直接根据f(x)在点x0处的导数得到，也可以先求f(x)在开区间(a,b)内的导数f(x)，然后再将x=x0代入f(x)中得到.(稍停顿一会，让学生体会、反思)师你们能举一个例子吗？生10刚才研究的自由落体运动在t=3时的瞬时速度就可以用导函数的方法来解.,任意时刻t的瞬时速度为当t=3时，v(3)=s(3)=s|t=3=g3=9.83=29.4(m/s).v(t)=gt叫做的导函数.师举的例子很恰当.我们从f(x)在x0处可导的定义可以知道，f(x)在x0处有定义，那么我们来看一下f(x)在x0处是否有极限？是否连续呢？生11如果函数y=f(x)在x0处可导，那么f(x)在x0处一定有极限，且连续.众生这是需要证明的.如果能证明出来才能说明你的猜想是正确的.生11用定义法证明：已知f(x0)=，我们要证的目标是，即.令x=x0+x,当x0时，xx0.=f(x0)0+f(x0)=f(x0).f(x)在x0处一定有极限，且连续.师妙,妙极了！他不仅给出了猜想，而且证明了自己的猜想.这种先猜后证是众多科学家、发明家常用的方法.生11在证明过程中灵活运用代数式的变形，由f(x0+x)经过添项去项配凑出导数定义的基本结构形式.师刚才的命题逆命题是否成立呢？生12如果函数f(x)在x=x0处连续，那么函数y=f(x)在x0处可导.例如函数y=x2,y=x3等等.师你的举例能代表证明吗？生13他的结论是错误的.例如，函数y=f(x)=|x|在x0处连续，但在x=0处不可导.因为在x0处有，.y=|x|在x=0处连续.但当x0时，;当x0时，.，即函数y=f(x)=|x|在x=0处不可导，也就是其导数不存在.这就说明：f(x)在x0处连续，但未必可导.师回答得完全正确，我们要学会辩证地看问题.你们能得到什么样的结论呢？生14如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续，反之未必成立.也就是说：函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.2.课本例题例1求函数y=x2在点x=1处的导数师求函数在某一点处的导数的方法和步骤是什么呢？生15求函数增量y;求函数的变化率;求极限.生16解：y=(1+x)2-12=2x+(x)2,.=2+0=2.y|x=1=2.(学生在黑板上板演，教师在下面巡视指导，与学生共同研究，发现问题及时解决)师刚才我在下面发现有的同学求时漏掉了(x)2,但他的结果仍然是2.若把题目变为求y=x2的导数y，又如何求呢？生17y=(x+x)2-x2=2xx+(x)2,例2已知，求y.师求一个函数在区间上的导数的方法是什么？生18与求函数在一点处的导数的方法和步骤是一样的，也是三个步骤，只是把x0换成x即可.(然后该生走向黑板，边写边讲)解：,.师回答得很好，求解也是完全正确的.从这道题可以看出求函数的导数也主要是求极限的值，所以极限是求函数的导数的基础，求极限的一些基本方法和思想要熟记于心.同时本题运用了分子有理化的变化技巧.若将本题变为求函数的导数y,又如何求解呢？生19(自然而大方地走向讲台)求解的导数的思想方法和步骤与前面生18的完全相同，具体的是：解：.师生19板演得非常正确，下面的同学在运算中存在不少的问题，例如对不知道如何处理，而生19给出分子有理化的方法，这一点我们在学习函数的极限时也讲过.所以我们应该积累一点代数的变形技巧才行.3.精选例题例1已知y=x3-2x+1，求y,y|x=2.(投影放出)生20解：y=(x+x)3-2(x+x)+1-(x3-2x+1)=x3+3x2x+3x(x)2+(x)3-2x-2x+1-x3+2x-1=(x)3+3x(x)2+(3x2-2)x.=(x)2+3xx+3x2-2.(x)2+3xx+3x2-2=3x2-2.又y=(2+x)3-2(2+x)+1-(23-22+1)=(x)3+6(x)2+10x,=(x)2+6x+10.y|x=2=(x)2+6x+10=10.所以y=3x2-2，y|x=2=10.生21求y|x=2时，可以直接运用y=3x2-2，将x=2代入即可.y|x=2=322-2=12-2=10.师很好!生20着重强调了定义在解题中的作用，而生21则灵活运用题目之间的内在联系，两个同学的做法都值得我们学习.如果题目中求y和y|x=x0时，运用定义求y，然后利用y的表达式求y|x=x0就很简单了；如果只要求y|x=x0，运用定义解就很简便了.例2已知f(x)=ax3+3x2+2,若f(-1)=4，求a的值.(投影放出)师这道题函数f(x)中含有字母a,已知f(-1)=4,那么先要把f(-1)用a表示出来，这样才能求出a的值.生22y=a(-1+x)3+3(-1+x)2+2-a(-1)3+3(-1)2+2=a(x)3+(3-3a)(x)2+(3a-6)x.=a(x)2+(3-3a)x+3a-6.a(x)2+(3-3a)x+3a-6=3a-6.f(-1)= =3a-6.又f(-1)=4,3a-6=4.故所求a的值为.例3已知使函数式a的导数为0的x值使y值也为0，求常数a的值.(投影放出)师本题是已知y=0，从中求出x，此x对应的函数值是0，从而求出实常数a.问题是先求出导数y,利用定义求解.生23解：y=(x+x)3+a(x+x)2-(x3+ax2-)=x3+3x2x+3x(x)2+(x)3+ax2+2axx+(x)2-x3-ax2+=(x)3+(3x+1)(x)2+(3x2+2ax)x.=(x)2+(3x+1)(x)+(3x2+2ax).(x)2+(3x+1)x+(3x2+2ax)=0+(3x+1)0+3x2+2ax=3x2+2ax.y=0，3x2+2ax=0.x=0或.由题设,知当x=0时，y=0，即，a=0;当，y=0，即,.a3-9a=0.a=0,a=3.所求的实数a的值为0,3.师生23求解非常正确，解题思路也十分严密，请同学们注意，刚才我看到同学们解的大部分是不全面的，有的同学仅仅求出a=3.原因是在y=0时，仅解出，遗漏了x=0，而在将代入y的式子，解a3-9a=0时，又漏掉了a=0.也有的同学漏掉，仅求出x=0，再代入函数式，求出a=0.而生23的解题思维的严谨性值得广大同学学习.例4(打出投影片)已知函数f(x)=x2(x-1)，当x=x0时，有f(x0)=f(x0)，求x0的值.师生共析该题也要先求f(x0)，再根据f(x0)=f(x0)，列出关于x0的一个方程，求出方程的解就是x0的值.生24解：y=(x0+x)2(x0+x-1)-x02(x0-1)=(x)3+(3x0-1)(x)2+(3x02-2x0)x.=(x)2+(3x0-1)x+3x02-2x0.(x)2+(3x0-1)x+3x02-2x0=3x02-2x0.f(x0)=3x02-2x0.又f(x0)=f(x0)，3x02-2x0=x02(x0-1),即x0(x02-4x0+2)=0.x0=0,x02-4x0+