信号检测与估计理论习题讲解.doc

1-9 已知随机变量X的分布函数为求：系数k； X落在区间内的概率； 随机变量X的概率密度。解：第问 利用右连续的性质 k1第问 第问 1-10已知随机变量X的概率密度为（拉普拉斯分布），求：系数k X落在区间内的概率 随机变量X的分布函数解：第问 第问 随机变量X落在区间的概率就是曲线下的曲边梯形的面积。第问1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？汽车站出事故的次数不小于2的概率答案 1-12 已知随机变量的概率密度为求：系数k？的分布函数？第问方法一：联合分布函数性质：若任意四个实数，满足，则方法二：利用1-13 已知随机变量的概率密度为求条件概率密度和？判断X和Y是否独立？给出理由。先求边缘概率密度、注意上下限的选取 1-14 已知离散型随机变量X的分布律为3670.20.10.7求：X的分布函数 随机变量的分布律1-15 已知随机变量X服从标准高斯分布。求：随机变量的概率密度？随机变量的概率密度？分析:答案: 1-16 已知随机变量和相互独立，概率密度分别为，求随机变量的概率密度？解：设 求反函数，求雅克比J11-17 已知随机变量的联合分布律为求：边缘分布律和？条件分布律和？分析：泊松分布 P19 （148）解： 即X、Y相互独立1-18 已知随机变量相互独立，概率密度分别为。又随机变量证明：随机变量的联合概率密度为因为|J|1,故已知随机变量相互独立，概率密度分别为 1-19 已知随机变量X服从拉普拉斯分布，其概率密度为求其数学期望与方差？解: 1-20 已知随机变量X可能取值为，且每个值出现的概率均为。求：随机变量X的数学期望和方差？随机变量的概率密度？Y的数学期望和方差？ 答案: Y3122748P1/51/51/52/5离散型随机变量的概率密度表达式P12，1-25式 其中 为冲激函数1-22 已知两个随机变量的数学期望为，方差为，相关系数。现定义新随机变量为求的期望，方差以及它们的相关系数？ 0.131-23 已知随机变量满足，皆为常数。证明： ； ； 当且时，随机变量正交。 1-25 已知随机变量相互独立，分别服从参数为和的泊松分布。求随机变量X的数学期望和方差？证明服从参数为的泊松分布。解： 泊松分布 特征函数的定义 由(1-17题用过) 可得根据特征函数的性质，X Y相互独立，表明Z服从参数为的泊松分布1-26 已知随机变量的联合特征函数为求：随机变量X的特征函数 随机变量Y的期望和方差解：1-28 已知两个独立的随机变量的特征函数分别是和，求随机变量特征函数？解： 特征函数的性质：相互独立随机变量和的特征函数等于它们特征函数之积X、Y独立，因此有 和独立独立的等价条件（充分必要条件） 1-29 已知二维高斯变量中，高斯变量的期望分别为，方差分别为，相关系数为。令 写出二维高斯变量的概率密度和特征函数的矩阵形式，并展开； 证明相互独立，皆服从标准高斯分布。解： ，系数矩阵，线性变换，故也服从高斯分布 ，故不相关，高斯变量不相关和独立等价，独立1-30 已知二维高斯变量的两个分量相互独立，期望皆为0，方差皆为。令其中为常数。证明：服从二维高斯分布； 求的均值和协方差矩阵； 证明：相互独立的条件为。复习： n维高斯变量的性质1. 高斯变量的互不相关与独立是等价的2. 高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布。3. 高斯变量的边缘分布仍服从高斯分布解： 相互独立、二维高斯矢量因此互不相关 只要证为对角证即1-31 已知三维高斯随机矢量均值为常矢量，方差阵为证明：相互独立。复习： n维高斯变量的性质1. 高斯变量的互不相关与独立是等价的2. 高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布。3. 高斯变量的边缘分布仍服从高斯分布思路：设随机矢量 由性质可得为三维高斯变量，求得方差阵为对角阵1-32 已知三维高斯随机变量各分量相互独立，皆服从标准高斯分布。求和的联合特征函数？思路：是线性变换故也服从高斯分布，求得就可以写出联合特征函数，线性变换，故也服从高斯分布N维高斯变量的联合特征函数2、已知随机变量(X,Y)的联合概率密度为 (1)条件概率密度(2)X和Y是否独立？给出理由。解题思路： 解：(1) (2) X和Y不相互独立4、已知 (X1,X2,X3) 是