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不再让粗心做理由 计算教学中引发的思考 泰宁小学 刘秀英 问题的提出：小学数学教学内容是以数的认识与计算为主线，穿插其他内容进行编排的，计算教学如此重要和熟悉，但我们还是有许多的困惑：学生在某一节课中，掌握的不错，可把多种类型的计算综合在一起进行考查时，学生计算的正确率会明显下降；学生很排斥验算，即使进行了验算，对于正确率的提高并没有明显效果；学生常常是为了题目要求而进行简便计算，而在许多实际问题情境中不能灵活地进行计算特别是课改以来，许多老师都担忧是不是新教材的使用带来了学生计算能力的下降。其实我们在教学中混淆了两个概念：计算方法与计算技能。计算方法对学生而言就是计算的步骤，按照一定的步骤能够完成某种计算，那么就是掌握了相应的计算方法。那么什么是计算技能呢？先让我们来了解什么叫技能，它的特征有哪些。所谓技能是指个体运用已有的知识经验，通过练习而形成的智力动作方式和肢体动作方式的复杂系统。要想称得上是技能必须具备以下几个特点：准确性、达到一定的速度和自动化、多余步骤的省略、有灵活性。以上是心理学中对技能的阐述，据此我对计算技能是这样理解的：个体运用已有的知识经验，通过练习和运用而形成的计算方式的复杂系统，并且具备高正确率、高速度、计算策略的灵活等特征，在运用计算解决问题时达到自动化。而教师所烦恼的“一学就会、一做就错”便是典型的掌握了计算方法，但并没有形成计算技能，因此学生计算中的错误不能简单归因于“粗心”。我们的调查我们先来看一组数据：表1 06-07年度第二学期我校数学期末测试计算部分各项得分率情况统计表一二三四五六口算99.498.199.399.097.298.4竖式计算98.597.997.798.191.2混合运算(含简便运算)94.592.594.7由口算竖式计算混合运算简便计算，这四个方面既考查了学生计算方法的掌握情况，也反映了学生的计算技能水平，按这四个方面的顺序，越往前越倾向于知识水平的反馈，而越往后则越倾向于技能水平的反馈，从表中可以看出：1、学生技能形成滞后于知识的获得2、随着年龄增长，技能滞后的程度越明显。3、技能水平与知识水平差距越大，学生在计算方面的整体水平也较差，也就是说，学生在计算方面的差距主要是技能的差异，而不是计算知识获得的情况。为了进一步进行相关的研究，我又在四年级（随机抽样38人）做了一次调查，通过一份练习卷了解学生的情况。在这份试卷中设置了5个项目：口算、竖式计算、混合运算、简便运算和解决问题，并且这5个项目的设计是相互关联的，从第2个项目开始，每项都有前一项题的基本计算成分。以一组题为例：口算：44 46+1 665 666 竖式计算：1464 1292-896 39666混合运算：（1292-6414）66解决问题：一个工程队要挖1292米长的隧道，前两周每天挖64米，剩下的每天挖66米，还要几天可以完成任务？通过调查得到以下数据：表2口算竖式计算混合运算解决问题（考查一般计算）合计比率各项得分率97.496.786.886.885.76066.778.610.521.128.931.6表3简便计算解决问题（考查简便计算）各项得分率96.181.692.95.335.5在本项中解答错误而在前一项中解答正确的人数占本项中解答错误总人数的百分率在本项中解答正确而在前一项中解答错误的人数占被试总人数的百分率在某项中解答错误而在其前项中解答正确人数占计算（包括竖式计算、混合运算、解决问题中的非简便计算）错误人数的百分率在某项中解答正确而在其前项中解答错误人数占被试总人数的百分率掌握了简便计算的方法但在解决问题情境中不能自觉进行简算的人数占被试总人数的百分率从以上数据可以看出：1、被试学生面临计算情境，如果发生了错误，有近80%是由于基本计算知识或计算技能与高一级计算技能之间发生了脱节，这一点在竖式计算中表现得特别明显；而20%的学生是由于基本计算知识或低一级计算技能没有掌握好。2、有超过30%的学生出现了计算能力的不稳定性，他们在高一级计算技能方面能表现较好，却不能在相应低一级计算技能或基本计算知识方面做出正确反应。3、被试学生面临可以进行简便计算的情境，如果没有用简便方法计算，其中有超过90%的学生并不是因为没有掌握简算的知识与方法，他们在“用简便方法计算下面各题”的题型中能够合理进行简算，这样的学生占到被试总数的1/3。思考与启示：一、从知识到技能，我们需要跨越的台阶是什么根据技能的含义，结合计算教学本身的特点和学生在实验中暴露出的问题，我们不妨试着从以下几个点考虑：（一）知识本身未能提供技能发展的可能性我们常见的现象有以下几个1、依赖形式模仿，未能形成算理的保障模仿学习在小学生中仍占有较高比重，而计算方法或过程常常也是以规范的形式展现出来的，比如在口算304时，学生往往会这样描述他的计算方法：34=12，再把“30”后面的零添上就可以了，并且在本单元中，学生都可以用这种方法获得正确答案，即使是3004、30004，屡试不爽。学生进行了形式上的模仿，就以为掌握了计算方法，而当他们面临30+40、6020时，问题就来了。竖式计算中也有这样的问题；多位数乘法中，面对每次乘得的积的对位问题，有的学生只是记住了“阶梯状”的对位形式，可是一旦遇到了乘数中间或末尾有0的情况，错误率就会大大增加。因为学生的认知停留在形式模仿上而不是算理的理解。2、忽视了计算方式的差异有经验的老师在教学乘法计算时，都知道学生学习难点不是计算法则或格式，而是进位问题，如877，学生在算到七八五十六再加前面进上来的4时最容易出错，于是教师会加强“乘加”的训练，让学生经常进行如“87+4”的口算练习，效果有，但甚微，什么原因？因为学生在竖式中，进行的这步是不可视口算，他们看不到进上来的“4”，而在平时的口算练习中，进行的却是可视口算，后者难度小，因此不能帮助学生突破学习的难点。3、学生的基本知识并没有过关20以内加减法和表内乘法口诀是所有计算的基础，学生倒是都会，可熟练程度太低。一道普通的计算题中，就会含有多次的进退位口算、反复试商等步骤，只要一步出差错，解答就会失败。（二）计算是工具还是目的工具性是数学的一大特性，计算则是其中的典型。计算是解决数学问题中的重要方式。可是许多学生却把计算当作了数学学习的目的。以下的情况老师们也许多有感触：1、验算严重缺乏自觉性验算是数学解决问题中特有的反省手段，可是在练习的过程中，经常会有学生问：要不要验算？为了验算而验算，在学生看来，验算不是作为计算正确的保障，而是为了完成题目的要求。在一次调查中，获得了以下数据：表4 我校三六年级验算的自觉性情况调查平时练习随堂测试期末测试自觉验算率34.265.889.5（表中“自觉验算”是指题目没有“要验算”的指定要求情况下，能够自觉地进行验算；“自觉验算率”是指能够自觉验算的学生占被试人数的百分比）很显然，学生越重视练习，验算的“自觉性”就越高。但这儿不是真正的“自觉性”，因为学生进行验算的目的是为了获得分数，而不是正确解决问题本身。更令人担忧的是，学生经常在验算时发生严重问题：如一道除法计算用乘法来进行验算，明明验算时乘法的积与原式中的被除数不一致，学生也照样放心地写下答案；还有的学生也知道根据乘法交换律验算乘法时，两次的积应该一致，当发现两次结果不一致时，不是反思自己的计算过程，而是将其中一个竖式结果直接改成另一个竖式的结果。这些现象的出现恰恰违反了数学学科的严谨性，从某种角度说，没有验算自觉性的个体，就不具备基本的数学品质。2、简便不能“为己所用”在表2中，我们已经看到，学生在特定要求下，能够根据运算定律进行简便运算，（在谈话中，学生也表示能够进行简便运算确实是很愉快的体验）可是到了解决实际问题，计算要求宽松的状态下，学生往往对可以简算的因素视而不见。在调查中发现，是否能够自觉进行简便计算、计算的效率与计算情绪这三方面存在一定的相关性：不能够灵活简算的学生，计算正确率相对低，速度慢，而这些学生大多对计算有厌倦感，不喜欢做计算题。（三）缺乏对解答结果的合理性作出解释的意识和能力新课程标准中指出：课程内容的学习要发展学生的数感，而数感的表现之一就是要能够对解答结果的合理性作出解释。当计算置身于问题情境中以后，那么解答结果同时具有计算意义和情境意义。因此除了通过对计算要素的控制来保证计算结果的正确性，也可以通过对计算的合理性判断来估计结果是否正确。有的学生做出“爷爷的年龄是25岁时”立刻能察觉到其不合理性，并进行解答过程的反省，而有些学生却对这样的结果很“麻木”。显然，前者解决问题的正确性会更高。二、在学生形成计算技能的过程中，教师可以做些什么技能形成的要素之一就是进行练习，但这儿的练习不是简单的布置计算题让学生去做，在学生练习过程中，教师的适当干预是有必要的：（一）竖式计算教学是重点竖式计算是以口算为基础的，同时它又是混合运算和问题情境计算的基础，而由表2中的项目数据可以看出，从口算到竖式计算中出现的脱节现象最严重：竖式计算出错的被试中，有85.7%的学生是具备良好口算基础的，但只是会算，没有达到自动化程度，也就是尚未形成成熟的口算技能。针对这种现象，教师应当把竖式计算作为计算教学的重难点。学生面临的口算基本为一步计算，而在竖式中却要经历多步口算，例如一个两位数乘两位数的笔算就要经历9步以上的口算，因此这一步跨越对学生来说是有难度的。（二）及时弥补基本知识的缺乏学生在具体计算操作中的错误最终会落在某一个或几个基本环节上，我们应该帮助学生找到错误的“点”及时弥补。不能总是把计算错误归结于“粗心”。1、即使到了中高年级，我们也不能忽视20以内加减法和表内乘法口诀熟练程度的缺乏给学生计算带来的麻烦，如果有必要，还是要让学生再度熟记、熟用相关口诀。2、提供有效的方式进行计算训练，比如前文提到的可视口算与不可视口算的问题，我们应该针对学生计算中难点设计这样的口算：提供一组表内乘法算式，并要求学生在算出题目答案后，还要给每题结果加上8（任意一个一位数）。这样的练习才能真正有助于解决学生计算中的难点，提高计算的正确率。3、要重视算理教学，比如当学生认为口算304时，可以先算34=12，再把“30”后面的零添上就得到了120时，教师不能把教学停留在学生的认知水平上，要及时引导学生分析算理：那么我们在算34时，实际算的是3个十乘4得到的是12个十，也就是120。这样，把学生认知水平上的计算方法与知识结构水平上的算理相结合，能够更好促进学生计算技能的发展。（三）培养良好的验算和简算习惯 验算和简算习惯的培养都应从意识和能力方面努力。1、关于验算许多学生在座谈中表示：不喜欢验算，是因为验算没什么作用，经常验算了，也查不出错误，太麻烦了因此，我们首先要提高学生的验算技巧，让学生觉得验算是有作用的，使学生产生进行验算的内在需求。我们先来看几个问题案例：前文提及的验算结果与原式中的相应数据不一致，学生也照样把原来的计算结果作为解答答案，或是把最后的验算结果作为原式答案等，这些都表明学生对验算方法本身掌握得不够好，在教学验算时，应该首先让学生理解验算的依据是什么，如用除法验算乘法根据的是乘法各部分间的关系，而用交换乘数位置进行验算根据的是乘法交换律。然后要知道验算的具体步骤：根据有关定律列出验算的式子，并进行计算将验算结果与原式中相应数据进行对照如果一致，则把原式中的结果进行记录（如果不一致，首先与原题对照数据是否抄对了，再由原式到验算式进行查找，看问题出在哪里，或者有条件的情况下可以用第二种方法进行验算）。有的学生验算失败是因为在验算和原式计算时在同一个知识点上犯了同样的错误，这对学生来说是个苦恼，因为他们认为即使自己很认真了，也查不出问题，比如学生算3618时，由于68的口诀记成了42，可是到了验算时，用交换乘数的方法算1836，那么86还是会得42，即使用除法验算，算到428这一细节时，学生照样得6，还是查不出问题。很显然，这就是前面提到的，基本知识出了问题，靠验算是解决不了的。及时帮助学生找到出错的原因很重要，否则时间久了，学生会对验算失去信心。还有的学生，一旦发现验算结果与原式相应数据不一致，马上就把原式擦掉，重新再做，殊不知有时原式计算是正确的，问题是出在验算上，这样不仅浪费了时间，而且会使一些学生越算越糊涂，如果遇上重要的测试，还会使学生产生混乱情绪。针对这种现象，我们应该指导学生，发现问题后，要逐一排查问题所在，等找到错误根源了，再着手修改。估算除了具有本身的现实意义，也可以作为验算的补充形式。比如用末位检查法，可以初步排查混合运算中的计算正确性；用四舍五入法可以估计结果的范围，也可在一定程度上排查问题；结合生活常识，从结果的合理性上进行判断。当然估算的方法只是初步的排查，只能初步判断“这题算错了”，但不能确定“这题做对了”，估算可以提高验算的效率，但要保证计算的正确性，还需要进行扎实的验算过程。2、关于简算与验算不同的是，后者行为是学生可控制的，也就是说，如果学生认为自己应该验算，就能够进行验算，而简算不同了，有许多学生表示其实他们很希望能进行简便运算，就是当时“没看出来”。因此我们要帮助学生找找简算的感觉：强化对特殊数字关系的感觉，如1258、254、76+24等，要经常强化，有必要的还要记住。加强运算意义的理解以提高学生对简算的把握性，这样对诸如+18-18、639、还有乘法分配律运用的各种变式，这样学生就比较容易产生简算的“感觉”。学生看不出简算要素最重要的原因可能还是与其心理特征有关，小学阶段的儿童感知事物、观察问题时，更容易看到的是部分而不是整体，因此，他们面临一道多步骤计算时，会倾向于逐步计算出每一步的结果，而不是先从整体进行观察。因此我们可以不断通过干预，引导学生遇到混合运算