数学概念的教学设计与研究.doc

数学概念的教学设计与研究姓名：季红娟 单位：江苏省常州市武进区前黄实验学校（213172）联系电话容摘要： 相对数学概念获得的两种主要形式，数学概念教学有两种形式：侧重于概念形成的教学和侧重于概念同化的教学。在现阶段教学中，数学概念教学有着一定的模式：引入，形成，巩固。而在每一阶段，数学概念教学有着相应的策略。 关键词：概念形成 概念同化 概念学习 数学概念数学概念是揭示现实世界空间形式与数量关系本质属性的思维形式。数学概念是数学思维的细胞,是形成数学知识体系的基本要素,是数学基础知识的核心。教好数学概念,是提高中学数学教学质量的关键。数学概念的教学过程就是要使学生认识概念的来源及其意义,理解概念的性质和相互关系,会运用概念解决问题的过程。一 数学概念教学的两种形式数学概念的产生,一般说来有两种情形:一种是直接从对客观事物的空间形式或数量关系的反映而得到的;另一种是在已有数学概念的基础上,经过多层次的抽象概括而形成的。即同类事物的关键特征由学习者从大量的同类事物的不同例证中独立发现,这种获得概念的形式叫概念形成。也可以用定义的方式直接向学习者呈现,学习者利用认知结构中原有的有关概念理解新概念,这种获得概念的方式叫概念同化。相应于这两种形式,数学概念教学亦有两种形式:(1) 由具体事实概括出新概念。这是一种侧重于概念形成的教学。当学生已有的知识结构简单、知识具体而贫乏时，往往需要从大量的具体例子出发，利用学生在实际经验中的一些生动事例，以归纳的方式概括出一类事物的本质属性，初步形成一个新概念。这种形式在低年级，特别是在开始学习一门新的数学课程时运用教多。例如，初中生开始学习平面几何时，线段、三角形等概念都是由具体事物出发，经过初步抽象而得到的。(2) 利用旧知识导入新概念。在中学阶段，随着学生年龄的增大，学生认知结构中逐渐积累了大量的数学概念，这时，再学习新的数学概念时，就不必要个个都从具体事实出发，而可以利用已有认知结构中的有关概念，利用学生已经掌握的旧知识，以概念同化的形式进行教学。例如，建立有理数、实数等概念使用了外延定义法，这种方法是在整数、分数概念基础上定义有理数，而在有理数、无理数概念的基础上定义实数等。二 数学概念教学的模式 数学概念的教学一般要经过以下几个阶段：数学概念的引入、形成、巩固。而相对于数学概念教学的两种形式，数学概念教学的模式也有两种：概念形成模式和概念同化模式。（一） 我们先通过“等差数列”这个概念教学来看概念形成模式：（1） 引入： 给出具体实例小萍掷铅球的成绩：3.9m，4.0m，4.1m，4.2m，4.3m-商店卖鞋常用尺码：32码，33码，34码，35码，36码-某幢宿舍一楼编号：102，104，106，108，110，112- 观察分析这些数据有什么共性?(从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数)（师）这样的数列我们就定义为等差数列。（2） 形成： 概括本质属性数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。 定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d，那么这个数列就叫做等差数列。常数d称为等差数列的公差。（3） 巩固 正、反例强化判断下列数列是否为等差数列？3，7，11，15，19，- （是）1，2，5，8，11，14- （不是）1，1，1，1，1，1，- （不是）1，2，2，3，3，3，4，4，4，4- （不是） 应用求下列等差数列的公差： 3，6，9，12，15- （d=3） 8，4，0，4，8- （d=4） 1，1，1，1，1- （d=0）注：a 每一项与它的前一项的差为定值是等差数列的本质属性b公差是每一项与它的前一项的差，顺序不可颠倒c公差d可正可负可为0（二） 下面再通过“弧度制”这个概念教学来看数学概念同化模式：（1） 引入：（师）在初中几何里，我们学习过角的度量。1的角是怎样定义的？（生）周角的1/360为1的角。（师）这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，今天我们再来学习另一种在数学和其他教学学科中常用的度量角的单位制弧度制。（在学生已有的角度制知识的基础上引入弧度制）（师）弧度制的单位符号是rad，读做弧度。我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1rad。如图甲，弧AB的长等于半径r,弧AB所对的圆心角AOB就是1弧度的角。图乙中，圆心角AOC所对的弧长l=2r，那么AOC的弧度数就是l/r=2r/r=2。（正面揭示弧度的本质属性，准确给出弧度的概念）（2） 形成：（师）请同学们考虑一下，周角的弧度数是多少？平角呢？直角呢？（生）因为周角所对的弧长l=2r，所以周角的弧度数是2r/r=2。同理平角的弧度数是，直角的弧度数是/2。（师）由此可见，任一0到360的角的弧度数x (x=l/x),必然适合不等式0x2。角概念推广后,弧度的概念也随着推广。如果圆心角表示一个负角，且它所对的弧长l=4r时，这个圆心角的弧度数是多少呢？此时，我们应该先求出这个角的绝对值，然后在其前面放上“”号，及所求圆心角的弧度数是l/r=4r/r=4。一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零。任一角的弧度数的绝对值l/r，其中l是以角为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径。这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.(进一步分析，得出弧度制的概念，并通过任意角的弧度表示明确了弧度制)（）巩固用角度制和弧度制度量零角，单位不同，但量数相同（都是）；用角度制和弧度制度量任一角时，单位不同，量数也不同。下面我们来讨论角度与弧度的换算。因为周角的弧度数是2，而在角度制下它是，所以2radradrad角度化弧度时用之rad（） 角度化弧度时用之（获得概念之后，通过角度制与弧度制的换算，及时地巩固）三数学概念教学策略（一） 概念引入的教学策略引入新概念的教学过程，是揭示概念发生过程的过程。就是说，要揭示概念发生的实际背景和基础。概念的产生是认识过程中的质变，教师要设法帮助学生完成由感性材料到理性认识的过渡，为此应该提供丰富的直观背景材料。数学有逐渐抽象的特点，前一级抽象是后一级抽象的直观背景材料。所以直观背景材料，不仅是指实物、模型、教具等，而且还指已经熟悉的概念、案例等。有时还可以利用有趣的、发人深省的问题来引入概念。下面举例说明。（）以感性材料为基础引入新概念。用来引入数学概念的感性材料是十分丰富的。可以是学生在日常生活中所接触到的事物，也可以是教材中的实际问题以及模型、图形、图表等。教学中，教师有目的有计划地展示一些足以反映某一数学概念本质属性的直观背景材料，引导学生去观察、分析、抽象出它们在形或数方面的共同性质，在这个基础上舍弃它们的非本质属性，突出本质属性，引入新概念。例如引入“平行线”概念，可以给出学生所熟悉的实例。如铁路上两条笔直的铁轨，直驶汽车的两道后轮印，黑板的上下边缘等，给学生以平行线的形象，然后引导学生分析这些事物的共同属性：它们都是两条笔直的线，都可以向两边延伸，都在同一个平面内，两条线处处都隔得一样远，所以总不相交。用几何语言把共同属性表达出来就是：“在同一个平面内两条直线不相交”，“在同一个平面内两条直线之间的距离处处相等”，并且指出用“平行线”来表示这样的直线。最后给出平行线的定义：“在同一个平面内两条不相交的直线叫做平行线”。在用感性材料引入新概念时，应选择那些能够充分显示特征性质的事例，学生才易于从中分析出共同的特征性质，形成概念。（） 在学生已有知识的基础上引入新概念。直观背景材料不仅指实物，而且也包括已熟悉的概念。数学学科中的概念，按一定逻辑规律构成概念体系。我们可以采取适当的方法，在学生已熟悉的概念的基础上引入新概念。通过与已定义概念类比引入新概念。数学中有些概念的内涵有相似之处，我们常把这些概念作类比，明确其本质属性的异同，从而揭示新概念的内涵，引入新概念。比如，类比分数概念引入分式概念，类比平行线概念引入平行平面的概念。通过对已定义概念一般化或特殊化引入新概念。从已定义概念的内涵中去掉一些特征性质或者加进某些性质，就可以得到更一般的或更特殊的概念，这也是引入新概念的常用方法，这种方法容易明确内涵，学生也容易接受。例如，“矩形”有“两组对边互相平行”、“一个角为直角”等性质，去掉“一个角为直角”这一特征性质，就得到更一般的概念“平行四边形”。再加上“一对邻边相等”这一特征性质，就得到更特殊的概念“正方形”。这是通过概念的一般化、特殊化引入新概念。通过普通归纳引入新概念。例如，正负数概念的引入，如气温有零上C，零下C；图书馆昨天进了本书，今天借出了本；小李比小王高厘米，而小朱比小王矮厘米。为了有系统地处理这种相反意义的量，将其中一种意义的量表示为带有“”的数；而将另一种相反意义的量表示为带有“”的数。比如，零上C表示为C，零下C表示为C。在以上各例中象，等带有正号“”的数叫做正数。通过揭示事物发生的过程引入新概念。教材中的发生式定义，一般是通过直观演示或画图说明的方法揭示事物发生过程。如圆周，平角的概念都是这样引入的。通过运算引入新概念。教学中有与运算相关的概念，常与另一些与运算相关的概念存在互逆或互反的关系。对于这些概念，一般是通过讲清这两类概念之间的关系来引入新概念。例如，有理数的减法与除法，可以在学过的“加法与减法”，“乘法与除法”的关系的基础上直接引入。（二）数学概念形成的教学策略在数学概念学习中，应注意如下几方面：理解定义定义的理解不仅表现在对表达定义的每一个词语能懂得它的含义，更主要的是表现在能理解获得定义的抽象与概括事物属性的每一个步骤。例如，任意角的三角函数的定义，以正弦为例，它的定义涉及许多“预备”概念，如任意角的概念，点的平面直角坐标的概念，比的概念，相似三角形的概念，函数概念等等。这每一个预备概念都是经过抽象才得到的。对一个新概念定义的理解就必须以对这一系列预备概念的理解为前提。正弦函数定义所涉及的这一系列预备概念中，“两条线段的比”这一概念是关键。在概念教学中，必须抓住形成概念的关键。掌握内涵概念的定义并不反映被定义的概念所包含的全部本质属性，因此，概念的形成还必须以掌握概念所包含的全部本质属性为条件。也就是要掌握感念的内涵。例如，从平行线的定义出发可以推出平行线的判定定理；引入了平行公理后，又可以推出平行线的性质定理。完成分类完成概念的分类，可以给出概念的体系。讲了有理数之后，必然要进行有理数的分类。讲了三角形之后，必然要进行三角形的分类。对于不同概念体系的分类。它们相互之间的联系和作用，也应重视。比如，已知方程kx2+y2=4,其中k为实数。对于不同范围的k值，分别指出方程所代表的图形的类型。（三） 数学概念巩固的教学策略数学概念的巩固过程，就是识记概念与保持概念的过程。由于数学概念具有高度抽象的特点，不易达到牢固的掌握，加以概念较多，数学概念的巩固具有十分重要的意义。巩固数学概念的途径和方法主要有以下三种：在理解意义的前提下，熟记数学符号表示的概念。数学概念的定义定理的掌握要求理解而不能要求死记，这几乎可以作为概念教学的一条原则。但对于以数学符号表示的概念，都应采取适当的手段达到熟记。比如，锐角三角函数的定义sin对边/斜边，cos=邻边/斜边等等，都要熟记，在运算中能起指示或提示的作用。在概念的教学中，要做到“以旧带新，承前启后，温故知新”。由于新概念的学习必然涉及一系列旧概念，所以，在任何教学过程中，都应创造条件，允许学生进行旧知识的“返回”，返回的形式可以是在教师的提问下回忆旧概念，也可以让学生在新知识的预习中复习旧知识。例如，在初中，三角形的边角关系是“大角对大边”，是三角形概念的定性反映；在高中，正弦定理是三角形概念的定量的反映。定性是定量的基础。在正弦定理的教学中，先复述大角对大边，再引入。既学习了新知识，又巩固了旧知识。数学概念主要在运用中巩固的。通过时间检验，可以纠正错误的认识；通过实际运用，可以促使更加深刻的理解。比如，“三角形的高”，定义时往往只用处在标准位置的锐角三角形，如图，给出定义后，教师可以画出不在标准位置的钝角三角形和直角三角形，让学生作出它们的三个高。 数学概念的教学既是数学教学的重要环节，又是数学学习的核心，其根本任务是准确地揭示概念的内涵与外延，使学生思考问题、推理证明有所依据，能有创见地解决问题。在数学教学中要自始至终抓住数学概念的本质属性及其内部关系，就要注意概念的引入，掌握概念的形成，重视概念的巩固。主要参考书目：1 朱水根，王延文等：中学数学教学导论，北京，教育科学出版社，19982 上海教育学院：中学数学教学法通论，北京，教育科学出版社，19823 杨涛亮：中学数学教学法通论，浙江，浙江人民出版社，19834 曹才翰：中学数学教学通论，北京，北京师范大学出版社，19905 任志鸿：优秀教案高一数学（下），河南，南方出版社，20036 丁尔陆：中学数学教材教法总论，上海，高等教育出版社，19907 邵瑞珍等编：教育心理学，上海，上海教育出版社，19838 田万海：数学教育学，浙江，浙江教育出版社，1993 DESIGN AND STUDY OF MATHEMATICS CONCEPTIONS TEACHING AND LEARNINGAbstract：With respect to the two ways of getting mathematics conception,the teaching and learning of mathematics conception has two forms : one prefers to concept f