数值计算方法期末复习答案终结版.doc

一、 名词解释1误差：设为准确值的一个近似值，称为近似值的绝对误差，简称误差。2有效数字：有效数字是近似值的一种表示方法，它既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度。如果近似值的误差限是，则称准确到小数点后n位，并从第一个不是零的数字到这一位的所有数字均称为有效数字。3. 算法：是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。计算一个数学问题，需要预先设计好由已知数据计算问题结果的运算顺序，这就是算法。4. 向量范数：设对任意向量，按一定的规则有一实数与之对应，记为，若满足 （1），且当且仅当； （2）对任意实数，都有； （3）对任意，都有 则称为向量的范数。5. 插值法：给出函数的一些样点值，选定一个便于计算的函数形式，如多项式、分段线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数作为的近似的方法。6相对误差：设为准确值的一个近似值，称绝对误差与准确值之比为近似值的相对误差，记为，即7. 矩阵范数：对任意n阶方阵A，按一定的规则有一实数与之对应，记为。若满足 （1），且当且仅当； （2）对任意实数，都有； （3）对任意两个n阶方阵A,B,都有； （4） 称为矩阵A的范数。8 算子范数：设A为n阶方阵，是中的向量范数，则是一种矩阵范数，称其为由向量范数诱导出的矩阵范数，也称算子范数。9. 矩阵范数与向量范数的相容性：对任意n维向量，都有 这一性质称为矩阵范数与向量范数的相容性。10. 范数，范数和范数：（1）范数 （2）范数 （3）范数 二、简答题1高斯消元法的思想是：先逐次消去变量，将方程组化成同解的上三角形方程组，此过程称为消元过程。然后按方程相反顺序求解上三角形方程组，得到原方程组的解，此过程称为回代过程。2. 迭代法的基本思想是：构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计算新的近似解得规则，由不同的计算规则得到不同的迭代法。3. 雅可比（Jacobi）迭代法的计算过程（算法）：（1）输入，维数n，最大容许迭代次数N。（2）置（3）对 （4）若，输出x停机；否则转5。（5），置，转3，否则，输出失败信息，停机。4. 插值多项式的误差估计：（P102）由当时，上式自然成立，因此，上式对上的任意点都成立，这就叫插值多项式的误差估计。5. 反幂法的基本思想：设A为阶非奇异矩阵，为A的特征值和相应的特征向量，则 的特征值是A的特征值的倒数，而相应的特征向量不变，即 因此，若对矩阵用幂法，即可计算出的按模最大的特征值，其倒数恰为A的按模最小的特征值。6. 雅可比（Jacobi）迭代法是：选取初始向量代入迭代公式 产生向量序列，由上述计算过程所给出的迭代法。7. 数值计算中应注意的问题是：（1）避免两个相近的数相减（2）避免大数“吃”小数的现象（3）避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值（4）要简化计算，减少运算次数，提高效率（5）选用数值稳定性好的算法8. 高斯消去法的计算量：由消去法步骤知，在进行第k次消元时，需作除法次，乘法次，故消元过程中乘除运算总量为乘法次数 除法次数在回代过程中，计算需要次乘除法，整个回代过程需要乘除运算的总量为，所以，高斯消去法的乘除总运算量为9. 迭代法的收敛条件：对任意初始向量和右端项，由迭代格式 产生的向量序列收敛的充要条件是。10. 迭代法的误差估计：设有迭代格式，若，收敛于，则有误差估计式。二、 计算题1.假定运算中数据都精确到两位小数，试求的绝对误差限和相对误差限，计算结果有几位有效数字？ 解：由式和得因为式中数据都精确到两位小数，即其误差限均为，故有所以，的绝对误差限为0.0293，相对误差限为0.0054，计算结果有两位有效数字。2.求矩阵的三角分解。解：由式，所以3用幂法（）求矩阵的按模最大的特征值和相应的特征向量。取. （P77）解：, ， 4. 已知函数，的值是10,11,12,13,14对应的的值分别是2.3026，2.3979, 2.4849, 2.5649, 2.6391。用Lagrange线性插值求ln11.5的近似值。解：取两个节点，插值基函数为 由式得将x=11.5代入，即得按式 得因为，在11和12之间，故于是5. 用Jacobi迭代法（）求解线性方程组 .解：由Jacobi迭代法得计算公式得取，代入上式得 6. 设有方程组，其中，讨论用Jacobi迭代法求解的收敛性。解：因为A为对称矩阵，且其各阶主子式皆大于零，故A为对称正定矩阵，A不是弱对角占优阵，故不能判别Jacobi迭代的收敛性。易算出Jacobi迭代法的迭代矩阵为其特征方程有根，因而。由向量序列收敛的充要条件是，故Jacobi迭代法不收敛。7用反幂法（）求矩阵接近2.93的特征值，并求相应的特征向量，取.解：对作三角分解得 8. 已知函数，的值是10,11,12,13,14对应的的值分别是2.3026，2.3979, 2.4849, 2.5649, 2.6391。用Lagrange抛物线插值求ln11.5的近似值。解：取，插值多项式为所以因为，于是因此用抛物线插值法计算的误差为查表可得三、 证明题1. 若的近似值有位有效数字，则为其相对误差限。反之，若的相对误差限满足，则至少具有位有效数字。证明：由式得从而有所以是的相对误差限。若，由式得由式，至少有n位有效数字。2. 设为个互异节点，为这组点上的Lagrange插值基函数，试证明。证明：上式的左端为插值基函数的线性组合，其组合系数均为1。显然，函数在这n+1个节点处取值均为1，即 ，由式知，它的n次Lagrange插值多项式为对任意x，插值余项为所以 3 设为任意阶方阵，为任意由向量范数诱导出的矩阵范数，则证明：对A的任一特征值及相应的特征向量，都有因为为非零向量，于是有 由的任意性即得 4. 设为阶方阵，则的充分必要条件为。证明：必要性。若由相关定义得 而 于是由极限存在准则，有 所以。充分性。若，取，由,存在一种矩阵范数，使得而，于是 所以 五、应用题1.平面桁架是由刚性元件通过结点互相联结而组成的力学结构，它通常出现在桥梁结构和其他需要力学支撑的结构中。如图是一个简单的静力桁架结构，其中刚性元件（）通过结点相连。求各个结点的合力方程，并求出当外部负荷时，求各个节点内力。解：设五个刚性元件的内力为，它们都处理为压力，如果解是负的，表明