基于空间后方交会的三维坐标测量方法研究

南阳师范学院20XX届毕业生 毕业论文（设计） 题 目：基于空间后方交会的三维坐标测量方法研究 完 成 人： 班 级： 学 制： 专 业： 测绘工程 指导教师： 完成日期： 目 录 摘 要.（1） 1 引言.（1） 2 后方交会的基本原理（1） 2.1摄影测量中后方交会的原理.（2） 2.2全站仪中后方交会的原理.（2） 2.3空间后方交会原理.（3） 3 后方交会方法及特点（4） 3.1测角后方交会.（4） 3.2后方交会的直接解法.（7） 3.2.1摄站坐标的直接计算.（7） 3.2.2求解姿态参数.（8） 3.2.3后方交会直接解法的特点（10） 3.3空间后方交会的三维坐标测量方法（10） 3.3.1 辅助测量杆端点在像空间坐标系中坐标的检校（10） 3.3.2 三维坐标测量的特点（12） 4 后方交会的精度分析.（12） 4.1测角后方交会的精度分析（12） 4.2测边后方交会（13） 4.3边角后方交会的精度分析（14） 4.3.1列误差方程式（14） 4.3.2定权观测值（15） 4.3.3组成并解算法方程（15） 4.3.4评定待定点坐标的精度（15） 4.4观测实验及其坐标与精度评定结果的比较（16） 5 后方交会的优化（17） 6 结论.（19） 参 考 文 献（19） Abstract.（20） 第 1 页（共 20 页 基于空间后方交会的三维坐标测量方法研究 摘 要：空间后方交会测量内外业工作量小，精度较高，是目前常用的测量方 法之一。本文从介绍后方交会的原理、方法和特点出发，通过实例对各种方法进 行精度分析，指出后方交会优化的方法。 关键词：后方交会；方法;精度;优化 1 引言 交会测量是加密控制点常用的方法，它可以在数个已知控制点 上设站，分别向待定点观测方向或距离，也可以在待定点上设站向 数个已知控制点观测方向或距离，而后计算待定点的坐标。 常用的交 会测量方法有前方交会、后方交会、侧边交会和自由设站法。 在己知的两个（或两个以上）己知点（A,B）上架站通过测量 角和 角，计算待测点(P)坐标的方法称为前方交会。 仅在待定点上设站，向三个已知控制点观测两个水平夹角 a、b，从而计算待定点的坐标，称为后方交会。后方交会法首先出现 于测绘地形图工作中，测量上称为“三点题”，是用图解法作为加 密图根点之用。后来随着解析法、公式法的出现，在工程建设控制测 量中也经常被采用。 ） 第 2 页（共 20 页 2 后方交会的基本原理 2.1 摄影测量中后方交会的原理 在摄影测量中，如果我们知道每幅影像的 6 个外方位元素，就 能确定被摄物体与航摄影像的关系。 因此，如何获取影像的外方位元 素，一直是摄影测量工作者所探讨的问题。 可采取的方法有：利用雷 达、全球定位系统（GPS）、惯性导航系统（INS）以及星相摄影机来 获取影像的外方位元素；也可以利用影像覆盖范围内一定数量的控 制点的空间坐标与摄影坐标，根据共线条件方程，反求该影像的外 方位元素，这种方法称为单幅影像的空间后方交会。 单像空间后方交会的基本思想是：以单幅影像为基础，从该影 像所覆盖地面范围内若干控制点的已知地面坐标和相应点的像坐标 量测值出发，根据共线条件方程，解求该影像在航空摄影时刻的外 方位元素Xs，Ys，Zs，t，w，k。 ） 第 3 页（共 20 页 2.2 全站仪中后方交会的原理 图 1 后方交会示意图 全站仪操作时 ，将仪器架在 P 点上，将望远镜对准 A 点，输入 A 点的坐标，在 A 点立棱镜 ，测出 P 点至 A 的平距，然后将望远镜 对准 B 点，输入 B 点的坐标 ，在 B 点立棱镜 ，测出 P 点至 B 的平 距 ，这时候全站仪就能计算出 P 点的坐标，全站仪则可按以下方 法得到 P 点的坐标。1 是全站仪自动测出来的，在三角形 PAB 中， AP 和 BP 的距离是全站仪测出来的，AB 是全站仪用输入全站仪里 A 和 B 的坐标算出来，所以在三角形 PAB 中，利用三角形余弦公式和 已知值PB、 AB、 AP，故可得到PAB 的值。3 是直线AB的方位角 ， 其大小是根据 A 点和 B 点的坐标计算出来的，直线 AP 的方位角 6 也可以根据3 和PAB 得到。那么根据下列公式： APAP APAP APAPAP APAPAP YYY XXX Dy DX sin cos (1) 这样就可以计算出 P 点的坐标，同理，利用三角形 BPC 又可以计算 出 P 点的坐标 ，这样计算就算了两次 P 点的坐标 ，若值在限差允 ） 第 4 页（共 20 页 许的范围内，取两次的平均值就得P 点的坐标。 2.3 空间后方交会原理 常规摄影测量方法获取待测点的三维坐标,要求待测点本身纹理 丰富,处于适宜的摄影环境中,能够获取合乎质量要求的像对;并要在 其周围布设一定数量的控制点1。由于待测点往往不满足这些条件, 提出了一种基于空间后方交会原理,利用安装有辅助测量杆的数码相 机,进行物体三维空间坐标测量的方法,是获取缺乏纹理的、隐蔽的、 不可通视的或不便于直接测量的点的三维坐标的有效方法。 安装有辅 助测量杆的数码相机如图2 所示。 若组成杆件的长度和形状视测量对 象状况而定,则数码相机和辅助测量杆可以视作一个刚体,杆件的端 点在像空间坐标系中的坐标为恒定值。 图 2 安装有辅助测量杆的数码相机 在测量目标点之前,首先须通过合适的方法测定辅助测量杆端点 E 在像空间坐标系中的坐标。E 点在像空间坐标系中的坐标如图 3 所 示。 其坐标值采用(x,y,f)表示,f表示通过辅助测量杆的端点且 ） 第 5 页（共 20 页 平行像平面的平面 P到投影中心的距离,(x,y)表示辅助测量杆的 端点在平面P中的坐标。 在实际测量中,将 E点紧密接触待测点,使用 相机获取某控制场的影像,通过数据处理即可获得影像在该控制场中 的外方位元素,由于 E 点在像空间坐标系中的坐标是经过检校而已知 的,则经过坐标变换可以得到 E 点(也即待定点)在控制场坐标系中的 三维坐标。 图 3 E 点在像空坐标系中的坐标 3 后方交会方法及特点 3.1 测角后方交会 测角交会是广泛采用的加密控制的方法。特别是测角后方交会, 外业操作简单，内业计算也非常方便,在工程测量,特别是在露天矿 ） 第 6 页（共 20 页 山测量中，是一种深受测绘工作者欢迎的建立工作控制的形式。 在实 用中,我们不仅要求交会点的坐标,而且要知道其点位误差。 在工程中, 有时还希望交会点的点位方差最小。 在测角后方交会中，最重要的就 是选出最佳点位2。 研究测角后交最佳点位的方法,有以下几种:一是 利用电子模拟计算机,绘制后交点位方差的等值线图；二是利用求数 学极值的方法,得出最佳交会角的公式；三是利用验证的方法,罗列 出许多情况下的测角交会点位方差,寻求方差最小的条件。由于电模 拟计算机一般单位不具备,而且等值线反映不出最佳点位的规律。 测角后交的点位方差公式复杂,求极值的方法,只能用于对称后 交的情况。在第二中方法中由于假设了许多条件,得出的结论并非极 小点。 至于验证法,因不可能全部列出后交的各种情况,更无法得出一 般性的结论。所以首先导出测角后交点位方差与观测角 、 的显函 数关系,并分析与测角后交点位方差有关的因素;最后利用求极值的 方法得出对称后交最佳交会角的公式；利用无约束最优化共轭梯度 法,计算了几个一般情况下的测角后交的最佳交会角和最小点位方差 3。结果表明,用该方法求得的对称后交最佳交会角与求极值法基本 相符，最后得出寻求一般情况下的测角后交最佳点位的几个定性的 结论。测角后方交会点位方差公式：首先推导点位方差与观测角 、 的显函数关系。根据测角后交的间接算法公式可得: ） 第 7 页（共 20 页 图 4 测角后方交会示意图 sinsin 2 1 cos sinsin 2 1 sin 2 1 180 sinsin 2 1 cos sinsin 2 1 sin 2 1 180 12 12 12 12 SSC SSC arctgC SSC SSC arctgC (2) 利用逐步协方差传播可得: 2 2 22 02 ctgctg AP Sm P m 2 sin 2 2 sin 2 1 ctgctg ctg (3) 求出（2）式的余切值代入（3）得： 2 21 22 1 22 2 2 21 2 12 2 2 2 2 1 2 0 2 cossinsin2sinsin /sinsinsinsin CSSSS CSSCSS SSm mP (4) 令 CSSSSNcossinsin 21 2 2 sin 2 1 2 sin 2 2 当 A、 C、 B、 P四点共圆 时，设圆半径为 R，则因R SS 2 sin 2 sin 1 ,于是 2 m0 P N， ,因此测角后 ） 第 8 页（共 20 页 方交会的交会点与三已知点不能共圆。 令 2 1 k S S ,化简(4)式得： 2 2 1 2 0 m 2 m S P 其中 / 2 sinsin 2 sinsinCkCk 2 cossinsin2 2 sin 2 sinC (5) 即为测角后交的图形强度。由(5)可知,在测角方差 m02和 S1一定的 情况下,测角后交点位方差不仅与交会角 、 有关,而且与已知边比 k 及两已知边夹角 C 有关。我们可用(5)式为目标函数,对测角后交的 最佳点位进行研究。 根据上式可得以下选点原则:（1）应选择 C 角尽量小,k 值尽量 大的已知数据进行交会。 （2）测角后交的最佳点,位于三已知点构成 的三角形内稍靠近 AB 边处。（3）当两已知边相等或近似相等时,可 按 42 cos 3 1 arccos 2 1 2 CC 计算其交会角,在C 角的平分线或平分线 附近选点。（4）k 值一定,两 C 角互补,当 C180时,应避免在 C 的对 顶角所夹区域内选点。（5）取得最佳点位的观测角 、 的值一般在 15080范围内变化。 ） 第 9 页（共 20 页 3.2 后方交会的直接解法 经典的空间后方交会直接解法是,先解算出空间距离,求出各摄 影光束的方向角,解算一个 6 阶方程,然后解算出外方位元素的 方法,6 阶方程中有 18 个三角函数,计算工作量较大.对此法进行 改进,避免了三角函数计算,方程由 6 阶降为 3 阶,计算方便,快 速计算4。单张像片后方交会是摄影测量基本问题之一,是由若 干个控制点以及相应的像点(称为点对)坐标,求摄站坐标 (XS,YS,ZS,称为线元素)和摄影方位( , ,也称姿态参数),即外 方位元素的过程,该过程也叫像片定向。解决单张像片后方交会 问题最经典的方法是基于共线条件的,不单单只有共线方程解法, 还有角锥法(用的是共角条件),它们都是采用最小二乘解法,最 大的缺点便是外方位元素初值在某些条件下没有任何初值参考, 而无法进行解算;直接线性变化法需要 6 个地面控制点,实用上 受到限制。改进了的后方交会基本思想是把地面点坐标平移,建 立起过渡坐标系,在解出 Si后,直接解算出摄站坐标,最后求得外 方位元素,由于新方法是分步解算摄站位置和像片姿态,因而计 算方便,利于快速计算,更加灵活方便5。 在经典的解法下，为了 计算的方便,把地面坐标平移到 A 点,平移后面点坐标为(X ， Y，Z),此时 A 点坐标为(0，0，0)摄站坐标也平移了，平移后摄 影站坐标为(XS YS ZS),而姿态参数 ， 不变。 ） 第 10 页（共 20 页 3.2.1 摄站坐标的直接计算 由图5,根据两点间的距离,可得到的方程 0 2 1 222 S S Z S Y S X (6) 0 2 2 2 2 2 2 2 2 S S ZZ S YY S XX (7) 0 2 3 2 3 2 3 2 3 S S ZZ S YY S XX (8) 展开(6)、(7),以及(8)式,整理后方程为 0 2 1 222 S S Z S Y S X (9) OH S ZZ S YY S XX 2222 (10) OH S ZZ S YY S XX 3333 (11) 式中 2 2 2 12 2 12 SSSH , 2 3 2 31 2 13 SSSH ,由（10），（11）解得 n s mZX s qp s s ZY (12) 3223 2332 q, 3223 2332 p 3223 3223 n, 3223 3223 YXYX HXHX YXYX ZXZX YXYX HYHY YXYX ZYZY m 代入（9) 中整理后得 0 2 1 2 q 2 s 22 2 s 1 22 SnZpqmnZpm (13) 其解为 1 22 2 1 22 1 222 pm Sqnpmpqmnpqmn ZS (14) ZS有两个解，取其中 ZS0 的解，代入（12）式后求得 XS和 YS,最后 的摄站坐标应为S(XS+XA,YS+YA,ZS+ZA)。 ） 第 11 页（共 20 页 3.2.2 求解姿态参数 因坐标平移不影响姿态参数的值,以下地面点坐标用平移后的, 由图 5可知,对于 A 点有 s ZZ s YY s XX T R S a z a y a x a S 1 1 1 1 11 (15) 式中 Si=(Xi2+Yi2+f2)1/2同理对于 B、C 可得到与(15)式相似的方程,和 (15)式一起,共有9 个方程,写成矩阵形式 c S c z b S b z a S a z c S c y b S b y a S a y c S c x b S b x a S a x ccc bbb aaa S s XZ S s XY S s XX S s XZ S s XY S s XX S s Z S s Y S s X 321 321 321 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 111 (16) 解出旋转矩阵R 的 9 个元素，可得出姿态参数为 (17) 2 1 3 3 3 sin b b tg b c a tg ） 第 12 页（共 20 页 图 5 共角条件 3.2.3 后方交会直接解法的特点 （1）比较系统的建立了直接解法的新模型.通过坐标平移能直接解 摄影坐标,不用摄影光束的方向角,而直接求解姿态参数,理论上比较 严密。 （2）改进的的后方交会直接解算模型,避免了三角函数的计算,把原 来 6阶方程降为 3 阶方程,解算工作量减小了。 （3）经典后方交会是多于 3 个点的平差计算，需要参数的近似值才 ） 第 13 页（共 20 页 能线性化,通过本文的改进既解决了传统后方交会初值确定困难的问 题,又可以进行精度评定。 （4）本文的直接解算摄影位置的方法可用于大地测量或其他方面, 如 GPS单点定位解算。 3.3 空间后方交会的三维坐标测量方法 由于实际测量中，待测点往往是缺乏纹理的、隐蔽的、不可通视 的或不便于直接测量的点,于是提出了一种基于空间后方交会原理, 利用安装有辅助测量杆的数码相机,进行物体三维空间坐标测量的方 法6。 在前面的空间后方交会的基本原理中已经讲过其原理，为了得 到结果需先进行辅助测量杆端点在像空间坐标系中坐标的检校。 3.3.1 辅助测量杆端点在像空间坐标系中坐标的检校 将辅助测量杆端点紧密接触某一空间点(称为检校点),检校点与 辅助测量杆端点的标志相符合,然后摄取控制场的影像。对于位于像 平面上的像点,根据共线条件方程其关系为: f y x R s ZZ s YY s XX (18) 对于 E点,K=1,且该点没有畸变,则得到: f y x R s ZZ s YY s XX (19) ） 第 14 页（共 20 页 式中,X,Y,Z为检校点在控制场坐标系中的坐标。 （1）基于一点检校。 让辅助测量杆端点接触一个检校点,并将相机旋 转 n 次,分别获取控制场的影像7。使用像点坐标与其对应的控制点 坐标,通过空间后方交会获取其对应的外方位元素后,根据式(19),可 得 n个矩阵等式,将 n-1 个等式减去第一个等式,得到: 1 1 1 1 f y x R i R i S Z S Z i S Y S Y i S X S X (20) 式中 i=2,3.，n。 然后,组成误差方程式,按照最小二乘求解 E 点在像空间坐标系中的 坐标。 理论上只要在检校点进行2次旋转相机,即可完成,此时并不需 要已知该检校点在控制场中的坐标。 （2）基于多点检校。设共使用n个检校点,在每个点上获取 m张影像。 在控制场坐标系中,E 点与其接触的检校点的坐标相等,不失一般性, 设检校点的坐标系与控制场的坐标系不一致,则可以得到: ij S Z ij S Y ij S X f y x ij R S Z S Y S X i Z i Y i X R 0 0 0 0 (21) 将其线性化后组成误差方程式,求解得到E 点的坐标。 经过严格检校后,辅助测量杆端点在像空间坐标系中的坐标即为 己知。在对未知点进行测量时,首先将辅助测量杆端点紧密接触该未 知点,同时使用相机获取某控制场的影像,经过空间后方交会计算得 ） 第 15 页（共 20 页 到影像的外方位元素,然后根据式(19)容易得到未知点的坐标8。从 理论上讲,仅需要使用单张影像就可以得到未知点的三维坐标。也可 以采用类似于光束法平差的原理,同时计算影像的内外方位元素和未 知点的坐标。 3.3.2 三维坐标测量的特点 这种基于空间后方交会原理进行点的三维坐标测量的方法,实现 了使用单张影像即可获取待测点的三维坐标,其原理简单,实用性强。 4 后方交会的精度分析 在工程测量中,后方交会是测量定位、控制网加密和自由设站法 施工放样的重要方法之一。传统的后方交会是以测角为主,随着电子 测距仪在生产中的普遍应用,距离后方交会定位法日益得到应用。目 前,全站仪已逐渐普及,利用全站仪可以方便地同时测角和边,因此在 实际工作中,就存在测边、 测角、 边角同测后方交会坐标计算问题以及 它们的精度评定问题9。下面以常用的 3 个已知点的后方交会为例, 研究合理的后方交会坐标计算及其精度评定方法,并通过实验分别对 测角、测边、边角同测后方交会的精度及坐标进行了比较分析。 ） 第 16 页（共 20 页 4.1 测角后方交会的精度分析 图 6 测角后方交会示意图 如图 6 所示,已知 A,B,C 点的坐标 A(XA,YA),B(XB,YB),C(XC,YC),观 测角度A,B,求待定点 P 的坐标P(XP,YP)。因3个已知点的测角后方交 会问题无多余观测,求P 点坐标的计算公式为: , BP X B X P X (22) BP Y B Y P Y (23) P 点在X,Y 方向的坐标增量公式分别为: ,tan BPBP X BP Y (24) , 2 tan1 tancot1tancot BP BPA X B X BPA Y B Y BP X (25) 其中 C Y A Y C X B X A X B X C X A X C Y B Y A Y B Y BP cotcot cotcot tan 求得 P点在 X,Y 方向的坐标精度评定公式分别为： ） 第 17 页（共 20 页 , 2 2 2 tan 22 2 2 tan 2 tan 1 2 , 2 2 2 22 2 2 21 2 m BP X BP F m BP X BP F BP F P y m m F m FF p x m (26) ， 2 sin 22 sin 2 , 206265, 2 tan1 cottan2 2 , 2 sin 2 tan1 tan 1 N CB YN CB XM N AB YN AB XM BP AB X AB Y BPBP X F BP AB y BPAB X F (27) 其中 C Y A Y C X B X A X B XN C X A X C Y B Y A Y B YM cotcot cotcot 4.2 测边后方交会 图 6 中, S1,S2,S3为已知点构成的三角形的边,L1,L2,L3为观测边, 21、为辅助角,求待定点的坐标P(XP,YP)。理论上,两点后方距离交 会就可以计算待定点 P 点的坐标,若有 3 个已知点,则有一个多余观 测,此时P 点的坐标常按以下方法近似计算: ,coscos 2 21 2 BPBPBP L XX,sinsin 2 21 2 BPBPBP L YY (28) ，12 21 BCBPBABP ） 第 18 页（共 20 页 21 2 1 2 2 2 1 22 2 3 2 2 2 2 2 2cos 2 1cos LS LLS SL LSL ， P 点在X,Y 方向的坐标精度评定公式分别为: , 2 3 2 2 2 sin 2 22 2 2 1 2 sin 3 1 sin 2 22 1 2 4 1 sin 2 2 L 2 P X m L mb BP L L mb BP b BP L L mb BP (29) , 2 3 2 2 2 cos 2 22 2 2 1 2 cos 3 1 cos 2 22 1 2 4 1 cos 2 2 L 2 P Y m L mb BP L L mb BP b BP L L mb BP (30) 其中 ， 2 2 1sin 3 2 b 2 2 2 1sin2 2 2 2 3 2 2 1 b LS L SL SLL ， 2 21 2sin2 2 1 2 1 2 2 b 2 2 sin 1 sin LS SLL BPBP . 2 2 cos 1 cos 21 2sin 1 4 b BPBP LS L ， 4.3 边角后方交会的精度分析 图 6 中,S1,S2,S3为已知边,观测角度 A,B,C 和边长 L1,L2,L3,求 P 点的坐标P(XP,YP)。由于三点边角同测后方交会有较多的多余观测数, 故常采用严密平差的方法计算P 点的坐标及精度。 4.3.1 列误差方程式 由已知条件,观测量 n=6 个,必要观测 t=2 个,多余观测 r=4,利用 ） 第 19 页（共 20 页 间接平差,直接列出误差方程式: L X BV 2616 。 4.3.2 定权观测值 观测值中含有角度和距离两种不同性质的值,一般按下列方法定 权:取水平角的测角中误差为单位权中误差, a0 mm ,则距离极差可 由测距仪的标称精度或实测精度按下式确定: 3 , 2 , 1, 100 2 b 2 a 2 i m i i L L (31) 式中 a,b分别为仪器的加常数和乘常数误差 4.3.3 组成并解算法方程 由误差方程式及观测值的权阵,组成法方程 0lP T B X PB T B . (32) 解法方程,得到待定点坐标近似值的改正数为 . l 1 P T BPB T B X (33) 进一步解得P 点的坐标 . 00 P YP Y P Y P XP X P X， (34) 4.3.4 评定待定点坐标的精度 平差后的单位权中误差为 ） 第 20 页（共 20 页 . n 0 m t PV T V (35) 由法方程的系数矩阵逆矩阵 , 1 P Y P Y Q P X P Y Q P Y P X Q P X P X Q PB T B XX Q (36) 则待定点P 的点位中误差计算公式为 . 2 0 m 2 m P Y P Y Q P X P X Q P (37) 4.4 观测实验及其坐标与精度评定结果的比较 图 6中已知点坐标和点位中误差如表1。 表 1 起算数据 点号m/Xcm/mXm/Ycm/mY A3398130.40090.10408626.08380.09 B3397892.37640.08409022.00230.01 C3398138.05470.12409270.46920.14 在 P 点用徕卡全站仪全圆法观测了 4 个测回，求得边长 L1,L2,L3 和角度 ，观测值验前中误差采用仪器的标称精度，即测 角为同精度观测，观测值和中误差见表2。 表 2 观测值成果 角名角度/()中误差/()边名边长/m中误 差/cm 702601.7 2 L1319.4802 0.21 460024.7 2 L2457.3990 0.22 2433333.6 2 L3435.1965 0.22 ） 第 21 页（共 20 页 利用前面推导的数学模型,采用不同的观测量,分别对测角和测 边、 顾及起算数据的测角和测边及边角同测后方交会进行精度评定和 坐标计算,其点位中误差及坐标见表3。 表3 待定点 P的坐标及点位中误差 比较表3 的结果可知: （1）测角后方交会的精度最低,待定点 Y 方向中误差明显大于 X 方 向中误差,精度极不均匀；顾及起算数据误差时待定点总的点位中误 差增加了0.06 cm。 （2）测边后方交会的精度比测角后方交会的精度明显要高,而待定 点 X 方向中误差稍大于 Y 方向中误差,相对于测角后方交会来说精度 还是比较均匀的；顾及起算数据误差时待定点的点位中误差只增加 了 0.03 cm。 （3）边角同测后方交会的精度最高,边角后方交会的 Y 方向中误差 ） 观 测 方 法 cmmX/cmmY/cmmP/m/Xm/Y 测角0.290.920.973398326.5 946 408878.2195 顾 及 起 算 数 据 的测角 0.340.971.03 侧边0.240.180.303398326.5 924 408878.2306 顾 及 起 算 数 据 的侧边 0.250.220.33 边 角 同 测 0.150.170.233398326.5 926 408878.2300 第 22 页（共 20 页 稍大于X 方向中误差,精度最均匀。 （4）从坐标值看,测角后方交会与测边后方交会及边角同测后方交 会的差距都较大,特别是 Y 坐标差值达 1.05 cm；而测边后方交会与 边角同测后方交会的坐标值比较接近,X,Y 方向分别相差 0.02 cm 和 0.105 cm。 5 后方交会的优化 对已知三角形寻找最优待定点的方法是:首先找出已知三角形的 最小角,把其顶点做为“中间点”,通过（38）式和（39）式求得两 y 圆及其交点与精度,可以很快判断出对于已知三角形的最优定位点, 由此所形成的图形即为角度后方交会的最优构形10。 21 2 1 ctg A Y B Y A X B X S X (38) 21 ctg 2 1 B X A X A Y B Y S Y (39) 21 sin2/r AB S S (40) 2/1 2 1 22222 22 t r , 2 1 2 t , 2 1 2 t B Y B X A Y A X t YX B Y A Y Y B X A X X (41) 实际工作中,往往根据已知点及待定点的位置情况,其“中间 ） 第 23 页（共 20 页 点”实际已经确定,这时仅需利用(38)式与(39)式分别求出两圆 S(XS,YS,rs)与 t(Xt,Yt,rt)及其交点与精度来确定最优定位,其中圆 S 必然通过非“中间点”的另外两已知点,圆 t 通过“中间点”,这从 两圆的方程可以明显看出。 对于任意已知三角形,通常可以得出三对满足等误差条件的点。 对于每一对点,其中的一个总是位于危险圆内,并且精度较高,而另一 点必然位于危险圆外,并且精度较低。 实际作业中,虽然不一定能完全布设成最优构形,但应根据野外 条件尽量接近最优构形11。有时不一定要计算出最佳定位点,但在布 点时要尽量遵循：（1）在待定点上至两个非“中间点”方向之间的 角度为270-C。（2）使待定点至两个非“中间点”的边长的比值与 “中间点”至这两个点的边长比值相等,即如果某边已知边长较长, 就要使 P 点（未知点）有意远离该边,这样有利于提高点位的精度与 精度的各向同性。 6 结论 通过理论推导和对实验数据的分析,得到如下结论: (1)测边后方交会与测角后方交会相比不但精度有明