《工程力学》教学课件第十二章弯曲应力.ppt

第一节 梁纯弯曲时横截面上的正应力 第二节 梁弯曲时的应力强度条件 第三节 梁弯曲时截面上的切应力 第四节 提高梁承载能力的措施 第十二章 弯曲应力 v本章在梁的剪力和弯矩知识基础上讨论梁的应力问 题，主要介绍梁弯曲时截面上的正应力和切应力， 学习时要了解弯曲的平面假设和弯曲正应力公式及 弯曲切应力公式的推导过程及公式的适用范围。要 熟练利用弯曲的正应力公式和切应力公式对梁的弯 曲进行强度校核，了解提高梁承载能力的措施。 教学目的和要求 v梁纯弯曲时横截面上的正应力； v矩形、工字形和圆形梁的切应力； v最大正应力及切应力； v梁弯曲时的强度校核。 教学重点 v梁弯曲时截面正应力公式推导过程； v梁弯曲时截面上的切应力； v梁弯曲时的强度校核； v实际工程中提高梁承载能力的措施。 教学难点 某段梁的内力只有弯矩没 有剪力时，其横截面上只有正 应力没有切应力，该段梁的变 形称为纯弯曲。如DE段。 PP aa DE Q M x x 纯弯曲 第一节 梁纯弯曲时横截面上的正应力 A B 某段梁的内力既有弯矩 又有剪力时，其横截面上既 有正应力又有切应力，该段 梁的变形称为横力弯曲。如 AD、EB段。 横力弯曲 （1）横向线(ab、cd）变形 后仍为直线，但有转动； 梁的纯弯曲实验变形特点 bd ac a b c d MM （2）纵向线变为曲线， 且上缩下伸； （3）横向线与纵向线变形 后仍正交； （4）横截面高度不变 。 一、变形几何关系 1.变形现象和假设 （2）单向受力假设：纵 向纤维间无挤压、只受 单向拉伸和压缩。 （1）平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生 转动，距中性轴等高处，变形相等。 两个假设 两个概念 （1）中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤 维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 （2）中性轴：中性层与横截面的交线。 中性层 纵向对称面 中性轴 2.几何关系 横截面上任一点的纵向线应变与该点到中性轴距离成正 比（中性轴上应变为零，一侧拉应变，一侧压应变） 。 ) ) ) 二、物理关系 假设纵向纤维互不挤压。任意一点均处于单项应力状态。则 有 M M smax smax 三、 静力学关系 将 定义： 分别称为图形对于y轴和z轴 的截面一次矩或静矩，单位 为m3或mm3。 注：通过截面形心（图形几何形状的中心）的坐标轴， 图形对其静矩等于零。 说明：z轴通过截面形心，即z轴和x轴的位置确定了。 将 其中 是横截面对y和z轴的惯性积 。 由于y轴是横截面的对称轴，必然有Iyz=0。 将 其中 为横截面对z轴（中性轴）的 惯性矩（截面二次轴矩）。 是梁轴线变形后的曲率。 EIz称为梁的抗弯刚度。 将 得到 首先要确定正应力的正负：伸长为拉应力，缩短 为压应力。 说明：只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于这 个平面内，该公式就适用。 四、横力弯曲时的正应力 弯曲正应应力计计算公式的适用条件： （1） 小变变形。 （2） 材料处处于比例极限范围围内。 （3） 纯纯弯曲梁或横力平面弯曲的细长细长 梁（L5h)。 (4) 直梁或小曲率梁（5h）。 五、横截面上的最大正应力 D d D d =a b h d 惯性矩 弯曲截 面系数 危险面与危险点分析： 横截面上最大拉应力和最大压应力发生在离中性轴最远的 点处，即横截面的上、下边缘点处，为 第二节 梁弯曲时的应力强度条件 对全梁而言，还要考虑弯矩最大处，为 正应力强度条件为 依此强度准则可进行三种强度计算，分别为 、校核强度：校核强度： 设计截面尺寸： 设计载荷： 例12-1 图示外伸简支梁，受均布载荷作用，材料的许用应 力=160MPa，校核该梁的强度。 解（1）求支座反力。 （2） 画弯矩图。 （3）校核强度。 该梁满足强度条件，安全。 例12-2 如图两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等 ，但放置如图(1)、(2)所示。按弯曲正应力强度条件确定两 者许可载荷之比 F1F2。 解 梁上最大弯矩都发生在梁的左端面上，大小为 根据弯曲正应力计算式可得 由于两个梁的材料相同即许用应力相同，则两梁的强 度条件为 若梁的高度大于宽度，水平时承载能力要强一些！ 计算可得 C为截面形心，试校核梁的强度。 例12-3 T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。其许用拉压应力为 P1=10kN 1m1m1m P2=4kN ADBE （2）求截面对中性轴z的惯性矩。 （1）求截面形心。 z1 y z 52 解 上下边缘距中性轴的距离为 y1=52mm y2=88mm （4）D截面校核。 （3）作弯矩图。 P1=10kN 1m1m1m P2=4kN ADBE （5）B截面校核。 P1=10kN 1m1m1m P2=4kN ADBE 可见最大拉应力在截面B的下边缘各 点处。整体上梁满足强度条件。 v如图所示的矩形截面梁，横截面上 作用剪力Q。现分析距中性轴z为y 的横线上的剪应力分布情况。 v经分析可以假设： (1)横截面上任一点处的切应力方 向均平行于剪力 。 (2)切应力沿截面宽度方向均匀分 布。 第三节 梁弯曲时截面上的切应力 一、矩形截面梁的切应力 由切应力互等 此即为横力弯曲时,横截面上 切应力的计算公式。 式中, Q为所求切应力面上的剪力； IZ为整个截面对中性轴的惯性矩； Sz*为过所求应力点横线以外部分面积对中性轴的静矩； b为所求应力点处截面宽度。 A* z y y yc* Q t方向：与横截面上剪力方向相同 (不考虑正负号)； t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。 中性轴上有最大切应力， 为平均切应力的1.5倍。 二、工字形截面梁的切应力 研究方法与矩形截面相同，切应 力的计算公式亦为 工字形截面梁由腹板和翼缘 组成。 矩形切应力计算结果表明， 在翼缘上切应力很小，在腹 板上切应力沿腹板高度按抛 物线规律变化。 v槽形截面和T形截面腹板，最 大切应力在中性轴上，其值为 对于腹板，B远大于b，故最 大切应力和最小切应力相差很 小近似为 或 可以从型钢表中查得。 三、圆形截面梁的切应力 例12-4 T形铸铁梁受载荷情况如图示， 试求梁的正应力、切应力强度条件。 解 （1）求支座反力。 由静力学平衡方程可得 （2）绘制梁的剪力图和弯矩图。 最大剪力为 最大正弯矩为 最大负弯矩为 。 （3）正应力强度校核。 (4) 切应力强度校核，该梁上剪力 最大值发生C截面右侧。 所以该梁是安全的。 第四节 提高梁承载能力的措施 梁的承载能力与其所用材料、横截面形状与尺寸以 及梁的受载情况等因素有关。 一、选择合适的截面形状 若梁的高度大于宽度，水平时承载能力要强一些！ 合理设计截面 用Wz /A来衡量截面形状的合理性和经济性。 二、合理安排梁的受力情况 合理布置支座 合理布置载荷 F 三、采用变截面或者等强度梁 同理可得 本章小结 v1.梁平面弯曲时正应力计算，在平面假设纵向纤维之间无 挤压的假设前提下，推导纯弯曲时横截面上的正应力公式 最大弯曲正应力为 该公式可以推广到横力弯曲情况。 本章小结 v2.梁弯曲切应力计算。以矩形截面为例推导出弯曲切应力计 算式为 该式原则上也适用于工字形、圆形等截面梁的横力弯曲时的