《大学物理AII》作业No01机械振动参考答案.pdf

1 大学物理大学物理 AII作业作业No.01 机械振动机械振动 班级班级 _ 学号学号 _ 姓名姓名 _ 成绩成绩 _ - *本章教学要求本章教学要求* 1、理解简谐振动的概念及其三个特征量的意义和决定因素。掌握用旋转矢量法 表示简谐振动及其在求解初相、振动合成等方面的应用。 2、理解简谐振动的动力学特征、理解准弹性力的意义。掌握简谐振动的判据， 能根据已知条件写出简谐振动运动方程。 3、理解简谐振动的能量特征，了解从能量关系分析振动问题的方法。 4、掌握同方向同频率简谐振动的合成规律。 5、理解同方向不同频率简谐振动的合成规律，了解拍现象。 6、理解相互垂直同频率、相互垂直不同频率简谐振动的合成规律，了解李萨如 图的形成及应用。 7、理解阻尼振动、受迫振动和共振的特征与应用。 - 一、填空题一、填空题 1、描述简谐振动的运动方程通常可由余弦函数)cos(tAx表示。其中，振 幅 A 描述振动的（范围或振动的强弱） ，由（初始条件）决定；角频率描述 振动的（快慢） ，由（系统自身）决定；t称为相位，描述振动的（状态） ； 称为初相，由（初始条件） 决定。 2、根据旋转矢量与简谐振动的对应关系将下表填写完整： 旋转矢量A 谐振动符号或表达式 （A 的模）振幅A A 转动角速度角频率 （） （A 的旋转周期） 周期 2 T t 时刻，A 与 x 轴夹角（相位） t （矢量A 的端点在 ox 轴上的投影） 位移 )cos(tAx （A 端点速度在 ox 轴上的投影)速度 （)sin(tAx） (A 端点加速度在 ox 轴上的投影） 加速度)cos( 2 tAa 2 3、一个孤立机械谐振动系统，其振动方程)cos(tAx，当势能零点选为系 统平衡位置时，其动能表达式为（)sin( 2 1 2 tkAEk） 、势能表达式为 （)cos( 2 1 2 tkAEk） ；系统总的机械能表达式为（ 2 2 1 kAE ） 。 4、两个同方向同频率简谐振动合成，合振动的频率（等于）分振动的频率（填 等于或不等于） ；通常合振动的振幅除了与分振动振幅有关之外，还与两分振动 的 （相位差）有关。当两分振动同相时，合振动振幅 （最大）; 两分振动反相 时，合振动振幅 （最小） 。 （填最大或最小） 5、两个同频率相互垂直的简谐振动合成，合运动轨迹一般为（椭圆） 。两个不同 频率相互垂直的简谐振动合成，只有当两振动频率之比为（简单整数比）时，合 运动轨迹才为封闭的（李萨如图形） 。 6、任何复杂的振动，都可看成频率和振幅不同的（简谐）振动的合成。 7、一个系统做无阻尼自由振动时，其振动频率由（自身固有频率）决定；当其 做受迫振动时，其振动频率由（外界驱动力频率）决定；当满足（外界驱动率频 率与系统固有频率相等）时，系统将产生共振现象。 8、一弹簧振子做简谐振动，振幅为 A，周期为 T，其振动方程用余弦函数表示， 若初始时刻： （1）振子在负的最大位移处，则初相为（） 。 （2）振子在平衡位置向正方向运动，则初相为（ 2 或者 2 3 ） 。 （3）振子在 A/2 处向负方向运动，则初相为（ 3 ） 。 解：解：可用旋转矢量法求解，如图所示 （1）（2）（3） 9、一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动，当这物块的位移等于振幅的一半时，其 动能是总能量的（ 4 3 ） （设平衡位置处势能为零） 。当这物块在平衡位置时，弹簧 3 的长度比原长长l，这一振动系统的周期为（ g l T 2 ） 。 解：位移为振幅一半时，其势能 2 ) 2 ( 2 1A kEp，为总能量 2 2 1 kAE 的 1/4，根据 孤立系统机械能守恒，其动能应为总能量的 3/4。由lkmg可得， l g m k ，因 此 l g m k ， g l T 2 10、一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示，振子处在 位移零、速度为A、加速度为零和弹性力为零的状态， 对应于曲线上的 （b，f ）点；振子处在位移的绝对值为 A、 速度为零、加速度为-2A 和弹性力-kA 的状态，对应于曲线 的（a, e）点。 11、两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为： ) 2 1 5cos(106 2 1 tx(SI)和)5sin(102 2 2 tx (SI) 它们合振动的振幅为（0.04m） ，初相位为 （ 2 ） 。 解：先把振动方程)5sin(102 2 2 tx 写为余旋形式为： ) 2 1 5(cos102 2 2 tx 利旋转矢量法，可知，它们合振动的振幅为 0.04（SI）初相 位为 2 。 12、图(a)、(b)、(c)为三个不同的简谐振动系统。组 成各系统的各弹簧的原长、 各弹簧的劲度系数及重物 质量均相同。(a)、(b)、(c)三个振动系统的固有角频 率值之比为_1:2:2_. 解：由弹簧的串、并联特征有三个简谐振动系统的等效弹性系数分别为：2 k ，k， k2 ，则由 m k 可得三个振动系统的固有角频率之比为：1:2:2 x O A 2 A 1 1 A t x 0 A A a b c d e f k m (a) mm k k k k (b) (c) 4 二、二、简答题简答题 1、判断下列运动是否是简谐振动？并说明理由。 （1）拍皮球时，皮球的运动。 （设球与地面的碰撞为弹性碰撞） （2）细线悬挂一小球，令其在水平面内作匀速率圆周运动。 （3）小滑块在半径很大的光滑球面内作小幅度滑动。 （4）在匀加速上升的升降机顶上竖直悬挂的单摆的运动。 答： （1）不是。皮球下落或上升时仅受重力作用，重力不随位移而变，不是线性 回复力。 （2）不是。圆周运动不是简谐振动。水平圆周运动在竖直面内的投影才是简 谐振动。 （3）是，一切小角度摆动都是角谐振动。如下图所示，小滑块在切向受力及 遵循的动力学微分方程为： 2 2 d d sin- t mRmgmaF 。小角度情况下， sin则上式简化为：0 d d 2 2 R g t ，为二阶线性齐次微分方程，满足简谐振 动的判据，且其角频率 R g 。 （简答题 3 的图）（简答题 4 的图） （4）是，并且其角频率 l ag 。如图所示以加速上升的电梯为参考系， 分析其受力时，还需加上向下的惯性力，此时单摆处于超重状态，其等效重力加 速度为agg 。在小角度摆动时，其仍然属于简谐振动，其固有角频率为 5 l ag 。 此题结果可推广，比如在自由下落的电梯中，单摆处于失重状态， 在电梯参考系中0 g ,0 l g ，则其周期无穷大，表明单摆不会摆动。 2、将单摆拉到与竖直方向夹角为后，放手任其摆动，则是否是其初相位？为 什么？又单摆的角速度是否是其谐振动的角频率？为什么？ 答：是单摆的初始角位移，而不是其初相。初相与初始角位移、初始角速度 都有关，但两者是不同的概念。根据题意，此时初相0 或。单摆的角速度 与其振动的角频率也是完全不同的概念，二者不相同。单摆运动时，其角速度是 在不断变化的；但其角频率是不变的，角频率由单摆的摆长和重力加速度决定： l g 。 3、任何一个实际的弹簧都是有质量的，如果考虑弹簧的质量，弹簧振子的振动 周期是将变大还是变小？为什么？ 答：考虑弹簧的质量后，弹簧振动周期将变大。定性来讲，一个振动系统质量越 大，惯性也越大，则振动频率减小，振动周期将增大。定量的分析如下：假设弹 簧原长l,质量 m，另一端系一质量 M 的物体组成弹簧振子。在弹簧上取一微元 ds,与弹簧固定端的距离为 s,则它的质量s l m mdd，位移是x l s ，故它的动能为 dss dt dx l m dt dx l s ds l m dEk 2 2 3 2 22 1 ,则整根弹簧的动能为： 2 0 2 2 3 6 1 2 dt dx mdss dt dx l m E l k ， 质量为 M 的物体动能为： 2 2 1 dt dx MEk 以平衡位置为势能零点，弹簧的势能 2 2 1 kxEp ， 整个系统机械能守恒 常量 2 22 2 1 62 1 kx dt dxm dt dx ME 。 将上式对时间求导，经整理最后可得： 6 0) 3 ( 2 kx dt dxm M，令 3/ 2 mM k 。由此可知，该振动是简谐振动，其周 期为 k mM T 3/ 2 。与不考虑弹簧质 m 时的周期相长，其周期增长了。 三、计算题计算题 1、如图所示，一质量为 1 千克的质点做简谐振动，其振动曲线如图所示。 求： （1）振动的圆频率、周期、振幅、初相以及运 动方程； （2） 质点受到的最大回复力、 振动系统机械能。 （3）画出这一振动对应的旋转矢量，并在图中指明 t =1，2，3，4s 时矢量的位 置。 解： （1）由图所知：s4m,2 . 0TA,则 2 2 T 则其运动方程为)( 22 cos(2 . 0mtx （2）由振动方程得到加速度方程为： 0 2 costAa，最大加速度 Aa 2 max ，最大回复力 max maF = 20 2 = 2 m/s0.493 又因为kAF max ,可得该振动系统对应的47. 2/ max AFk(N/m) 振动系统机械能： 2 2 1 kAE =0.049（J） （3） 7 2、已知两个同方向的简谐振动为： ) 2 10cos(06. 0 1 tx，) 2 10cos(05. 0 2 tx（SI） （）求它们合振动的振幅和初相； （）另有一同方向简谐振动)10cos(07. 0 3 tx，试问为何值时， 32 xx 的 振幅最小。 解： （1）画出两振动对应的旋转矢量，如下图所示： 由图可知，合振动的振幅为 0.01m，合振动初相为 2 （2）同样用旋转矢量法分析，当 2 时， 32 xx 的振幅最小。 3、每当火车车轮行驶到两铁轨接缝处，就受到一次撞击，从而使车厢受迫振动。 单位时间内受到冲击次数即是外来强迫力的频率。当火车行驶达到某一速率时， 外来强迫力的频率与车厢固有频率相等，车厢将发生激烈的颠簸，这时火车的速 率叫做危险速率危险速率。若车箱总质量 m 为 55 吨，车箱弹簧每受 1.0 吨力就被压缩 0.8mm，我国普通铁路一般轨长为 25m，试计算其危险速率是多少？并讨论铁轨 长度与危险速率的关系。 解：把车箱与车箱弹簧看成一个弹簧振子系统，其固有周期为： s F ms k m T42.