中国石油大学随机数据处理方法第七章答案.pdf

第七第七章章 习题参考习题参考答案与提示答案与提示 第七章第七章 随机过程习题参考答案与提示 随机过程习题参考答案与提示 1利用抛掷一枚硬币的试验定义一随机过程 2 H 2T cos, ( ),. cos t X tt t = 当出现时 ，当出现时 R 且 21 33 (), ( )P HP T=，求 1) 一维分布函数和0( , )F x 1 4 ( , )F x; 2) 二维分布函数 1 0 4 ( , , ,)F x y；3）求该过程的均值函数,方差函数,相关函数,协方差函数. 答案与提示：答案与提示：本题是一个常规题型, 只要注意求( )X t的概率分布，进而求出 ，(0)X 1 ( ) 4 X， 1 (0),( ) 4 XX 的概率分布以及( )( ),( )X tX s的联合概率分布，从而求 出一维、二维分布函数及其数字特征。 02 1 ( ,0)22 3 12 x F xx x ( )X t的均值函数和相关函数. 2 第七第七章章 习题参考习题参考答案与提示答案与提示 答案与提示：答案与提示：利用强度为的泊松过程的数字特征：( )N t 2 ( ), ( ), ( , )min( , ),( , )min( , ) NNNN ttDttCs ts tRs ts tst=+ 得到 12 ( )=() X tt，( , ) X Rs t 2 1212 ()()min(sts t=+, )。 8设W(t), t0是参数为 2 的维纳过程 , 求下列过程的均值函数和相关函数. 1) 2 ( )( ),0;X tWt t= 1 2)( )( ),0.X ttWt t = 答案与提示：答案与提示：利用参数为 2 的维纳过程W(t), t0的师资特征： 22 ( )0, ( ), ( , )( , )min( , ) WWWW tDttCs tRs ts t= 得到： 1） 2 ( ) X tt=， 42 ( , )(2min ( , ) X Rs tsts t=+ 2)( )0,0 X tt=， 2 ( , )min( , ) X Rs ts t=。 9 设( )X t是强度为的泊松过程， 定义( )()( )Y tX tLX t=+,其中为 常数，求 0L ( ),( , ) YY tRs t。 答案与提示：答案与提示：利用强度为的泊松过程的数字特征：( )N t 2 ( ), ( ), ( , )min( , ),( , )min( , ) NNNN ttDttCs ts tRs ts tst=+ 得到 ( ) ( )()( ) Y tE Y tE X tLX t=+()tLt=+L= 因为 ( , ) ( ) ( )( , )( )( ) YYYY Rs tE Y s Y tCs tst=+ 对任意有 0st | ( , )()0 2222 Y sLttsLsLttsL Cs t + =+=+= 当ts时 L 3 第七第七章章 习题参考习题参考答案与提示答案与提示 | ( , )()() 2222 Y sLttsLsLtLts Cs tLst + + =+=+=+ 所以 ( , ) Y Cs t () 0 LsttsL tsL + = + = 同理，对任意的0 ts 综之得 ( , ) Y Cs t (|)| 0| LststL stL = = | 所以 22 22 | ( , ) | X LLststL Rs t Lst + = + = L 10如果正弦波随机过程为 )cos()(+=tAtX 其中振幅A取常数，角频率取常数，而相位是一个随机变量，它均匀分布于 ),(间，即： = 其它,0 , 2 1 )( x xf 求在t时刻)(tX的概率密度。 答案与提示答案与提示：固定时刻t，则随机变量)cos()(+=tAtX是随机变量的函 数。先求出分布函数，然后求导。)(tX的概率密度为： + = 它其,0 , 1 )( 22 )( AyA yA yf tX 11从数1,中任取一数，记为2,NL 1 X ；再从 1 1,2, XL中任取一数，记为 2 X ； 如此继续，从 1 1,2, n X L中任取一数，记为 n X . 说明,构成一齐次马氏链， 并写出它的状态空间和一步转移概率矩阵。 1 n Xn 答案与提示：答案与提示：状态空间为1,2,IN=L，一步转移概率矩阵为 100 1/21/20 1/1/1/ P NNN = L L MMOM L 12一个老鼠“学习”过程的模型如下：如果老鼠“学到”某种技巧（如取得 一颗花生或者避开一次电休克等） ，那么说它处于状态 1；如果它还没有学会，那么 说它处于状态 2，假定它一旦学会了就将一直记住，而如果它还没有学会，它在一次 4 第七第七章章 习题参考习题参考答案与提示答案与提示 试验中“学会”的概率是，写出 1 步，2 步转移概率矩阵；如果初始分布为 ，求 00 10, 2P XP X=11 2 P X =。 答案与提示：答案与提示：先根据题意写出一步转移概率矩阵，求出二步转移概率矩阵，进 而求出= 2 1P X = 2 2 13设任意相继的两天中，雨天转晴天的概率为 1 3 ，晴天转雨天的概率为 1 2 ， 任一天晴或雨是互为逆事件。 以 0 表示晴天状态， 以 1 表示雨天状态， n X 表示第n天 的状态（0 或 1） 。试写出马氏链,的一步转移概率矩阵。又若已知 5 月 1 日 为青天，问 5 月 3 日为晴天的概率是多少？ 1 n Xn 答案与提示：答案与提示：,的一步转移概率矩阵为 1 n Xn 01 11 0 22 121 33 P = ， 5 月 1 日为晴天，则 5 月 3 日为晴天的概率 00 5 (2)0.4167 12 P=. 14考虑状态 0，1，2 上的一个 Markov 链，它有转移概率矩阵 , n Xn 0 . 0.90.10 P = 初始分布为试求概率 012 0.3,0.4,0.3,ppp= 012 0,1,2P XXX= 答案与提示：答案与提示：0 15设马氏链,的状态空间为0 n Xn 1,2,3I =，初始分布为 123 11 (0),(0),(0), 42 ppp= 1 4 2)3) 一步转移概率矩阵为 1/43/40 1/31/31/3 01/43/4 P = (1) 计算证明 012 1,2,2;(P XXX= 1201222 2,2|1;(P XXXpp=?计算 计算 1220 (2)2|1;(4)PP XX= 22 (2)2.pP X= 答案与提示：答案与提示：利用二步转移概率矩阵具体计算 (1) 012 1 1,2,2 16 P XXX= 5 第七第七章章 习题参考习题参考答案与提示答案与提示 (2) 120 120 0 2,2,1 2,2|1 1 P XXX P XXX P X = = = 102011222 2|1 2|1,2(1)(P XXP XXXpp=1) (3) 1220 7 (2)2|1 16 PP XX= (4) 22 (2)2pP X= 115 0.3993 288 = 16设2 , 1=S，且一步转移矩阵为： = 8/38/5 4/14/3 P 求平稳分布 答案与提示：答案与提示：)7/2, 7/5(= 17在直线上带有反射壁的随机游动，只考虑质点取 1、2、3 三个点，一步转 移矩阵为： = pq pq pq P 0 0 0 讨论它是否为遍历链。 答案与提示： 答案与提示： 计算得： + + = pqppqq ppqq ppqpqq P 22 22 22 2 2 可以看出其中得元素都大于零，因此可知是遍历的。 18设马氏链的一步转移概率矩阵为 1/21/20 1/21/20 001 P = 试证此链不是遍历的。 答案与提示：答案与提示：直接计算可知 2 PP=，故此链不是遍历的。 19设有随机过程( )cos(),X tAtt=+ = , 是在(0,2 )上服从均匀分布且与A相互独立的随机变量，是一常数。问( )X t是 不是平稳过程？ 答案与提示：答案与提示：的联合概率密度为 ( ,)A 2 2 2 2 1 ,0,0 ( , ) 2 0, ; a a ea f a , = 其他 X Rt s =( , )= 2 2 2 2 2 2 00 1 cos()cos() 2 a a eatsdad 2 cos ()ts + + = 所以( )X t是平稳过程。 20设( )X t与是相互独立的平稳过程。试证( )Y t( )( ) ( )Z tX t Y t=是平稳过程，而 且( )Z t的自相关函数等于( )X t、的自相关函数之积。 ( )Y t 答案与提示：答案与提示：( )( ) ( )( ) ( ) ZXY tE X t Y tE X t E Y t =； ( , ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )()() ZXY Rs tE Z s Z tE X s X t Y s Y tE X s X t E Y s Y tRts R ts= 21设平稳过程(的自相关函数为),X tt ( )0E X t=( )X t的均值是否具有各态历经性？为什么？ 答案与提示： 答案与提示： 22 2| | 00 11 lim(1)( )lim(1)(1|) 22 TT a XX TT Rde TTTT ad =+ 22 00 11 lim(1)(1)lim(1)()(1) 22 TT aa TT ea da de TTTTa 1 =+=+ 2 2 0 0 111 lim(1)()(1)|(1)()(1) 22 T aTa T eaed TTaTa a =+ 2 0 1111 lim (1)(1) 22 T a T eaad TaaTT =+ 2 22 1332 lim0 22 aT T aT e Ta Ta T + =+= 则( )X t的均值否具有各态历经性。 22设是一个周期为( )s tL的函数，是在0, L上均匀分布的随机变量，那么 ( )()X ts t=+，称为随机相位过程。如果具体给出如下： ( )s t 7 第七第七章章 习题参考习题参考答案与提示答案与提示 8 , 0, 8 8 ( )(), , 484 0, . 4 AL tt L ALLL s ttt L L tL = ，并验证均值函数的各态历经性。 答案与提示：答案与提示：由的周期性，分别计算( )s t( )EX t和( )X t= 故均值函数具有各态历经性。 23设有随机过程( )cos(),()X ttt=+ , 求谱密度( ) X S。 答案与提示： 答案与提示： ( )( ) i XX SRed + = 2 22 |24 (1)(1 cos)cos 2 T i T T edT TTT = 26已知平稳过程( )X t的谱密度为 8 第七第七章章 习题参考习题参考答案与提示答案与提示 2 42 ( ), 32 X S = + 求( )X t的均方值。 答案与提示：答案与提示：由维纳-辛钦公式可得自相关函数 2