九年级数学上册图形的相似5相似三角形判定定理的证明三角形相似判定方法的汇总及选用素材.docx

三角形相似判定方法的汇总及选用一.相似三角形的判定方法:(1)定义法:对应角相等,对应边的比相等的两个三角形相似.(2)平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.(3)判定定理1:如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.(4)判定定理2:如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.(5)判定定理3:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.注意:在两个三角形中，只要满足两个角对应相等,那么这两个三角形相似,证明时,关键是寻找对应角;一般地,公共角、对顶角、同角的余角(或补角)都是相等的，在证明过程中要特别注意，这一判定方法是三角形相似的最常用的方法.二.合理选择判定方法在运用相似三角形的判定定理解几何问题时，要注意定理的选择，即已知有一角相等时，可选择判定定理2 或判定定理3；已知有两边的比相等时，可选择判定定理1或判定定理2.还应注意形似三角形判定定理的作用，即可以用来判定两个三角形相似；间接证明角相等，线段成比例：间接地为计算线段长度及角的大小创造条件.图1DCBA例1：如图1，点D在ABC的边AB上，满足怎样的条件时，ACDABC？试分别加以举例.分析：此题属于探索性问题，由相似三角形的判定方法可知：ACD与ABC已有公共角A,要使这两个三角形相似，可根据相似三角形的判定方法寻找一个条件即可.解：当满足以下三个条件之一时，ACDABC.条件一：ACD=B;条件二：ADC=ACB;条件三：反思：本题探索的问题是相似三角形的判别方法，在探索两个三角形形似时，用分析法，可先证明ACDABC然后寻找两个三角形中边的关系或角的关系即可.例2:如图2,已知ABC中,D、E在BC上，且BD=DE=EC=AC，指出图中相似三角形,并证明你的结论.CEDBA图2分析:先利用排除法找到不可能形似的,再证明相似的, ACE是等腰直角三角形,所以不可能同其他三角形相似;又ACD是直角三角形,所以不可能和非直角三角形ADE、ABD、ABE相似；又ACD和ACB对应边的比不相等,所以一也不可能相似;因为AED=BEA，所以AED和BEA可能相似.证明:设AC=CE=ED=DB=a.即.AED=BEA，AEDBEA.反思:对于具体问题，一定要灵活处理.因为此题出现三角形较多,首先要“快刀斩乱麻”去掉那些不可能相似的三角形，再来检验那些可能相似的三角形.图3例3:(06苏州)如图3，梯形ABCD中ABCDAB=2CD，E,F分别是AB，BC的中点.EF与BD相交于点M (1)求证：EDMFBM；(2)若DB=9，求BM分析：(1)从已知条件中易推出BE=CD,BECD,于是根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，得四边形DCBE是平行四边形.因此CBDE,故可推出EDMFBM. (2)利用(1)中的EDMFBM，可得而F为BC的中点，得DE=2BF,DM=2EB.故BM为所求.解：(1)E是AB的中点,AB=2EB.ABCD,四边形CBED为平行四边形, CBDE.DEM=BFM, EDM=FBM. EDMFBM.(2) EDMFBM, .F是BC的中点, DE=2BF.DM=2BM,BM=反思:遇到有平行条件时,通常利用平行线的性质;借助平行线的性质,找相等的角来证明三角形相似.例4:如图4,已知在ABC中, C=D、E分别为AB、BC上的点,且求证:DEAB.EDCBA图4分析:证垂直的方法很多,我们已知当一个三角形与已知直角三角形全等,那么这个三角形也是直角三角形,类似地,我们也可以通过证一个三角形与已知三角形相似来证明垂直问题，而由B为公共角, 可得ABCEB