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文档简介

二维形式的柯西不等式（一）铜鼓中学数学备课组 3课时 多媒体教学教学目标：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式. 教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.教学难点：理解几何意义.教学过程：一、复习准备：1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？答案：及几种变式.2. 练习：已知a、b、c、d为实数，求证 证法：（比较法）=.=二、讲授新课：1. 柯西不等式： 提出定理1：若a、b、c、d为实数，则. 即二维形式的柯西不等式 什么时候取等号？ 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二：（综合法） . （要点：展开配方） 证法三：（向量法）设向量，则，. ，且，则. . 证法四：（函数法）设，则0恒成立. 0，即. 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？ 变式： 或 或. 提出定理2：设是两个向量，则. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） 讨论：上面时候等号成立？（是零向量，或者共线） 练习：已知a、b、c、d为实数，求证. 证法：（分析法）平方 应用柯西不等式 讨论：其几何意义？（构造三角形）2. 教学三角不等式： 出示定理3：设，则.分析其几何意义 如何利用柯西不等式证明 变式：若，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 三、应用举例：例1：已知a,b为实数，求证说明：在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算。所以，经典不等式是数学研究的有力工具。例题2：求函数的最大值。分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能用柯西不等式求其最大值。（）解：函数的定义域为【1，5】，且y0 当且仅当时，等号成立，即时，函数取最大值课堂练习：1. 证明: (x2+y4)(a4+b2)(a2x+by2)22.求函数的最大值.例3.设a,b是正实数，a+b=1，求证分析：注意到，有了就可以用柯西不等式了。四、巩固练习：1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式 2. 已知x+2y=1, 求x2+y2的最小值. 五、课堂小结：二维柯西不等式的代数形式、向量
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