振荡奇异积分算子在Herz型空间的有界性大论.doc

第一章 振荡奇异积分算子在Herz型空间的有界性 于湖波作者简介：于湖波（1987-），男，山东人，硕士研究生，研究方向为调和分析及其应用.资助项目：国家自然科学基金项目(11041004);山东省自然科学基金项目(ZR2010AM032)., 赵 凯，姜诺，席芳，张红俊（青岛大学数学科学学院，山东 青岛 266071）摘要：文章研究了振荡奇异积分算子的有界性问题,当时,借助于在空间和Herz型空间的有界性结果,得到了在Herz型Besov空间和Herz型Triebel- Lizorkin空间的有界性.关键词：振荡奇异积分; Herz空间; Besov空间; Triebel-Lizorkin空间; 有界性中图分类号：O174.2 文献标识码：A主题分类号：42B20用表示上的单位球面,设是上的零次齐次函数,满足和 , (1)这里,. 定义振荡奇异积分 ,其中是上的实质多项式函数,是Caldern-Zygmund核. 如果满足 , 对所有的 . (2)则说是齐次.近几十年来,振荡奇异积分算子受到很多学者的关注,在文献1中，Ricci和Stein证明了如果且满足(1),满足条件(2),则在上是有界的,而且只与的次数有关,跟它的系数无关.接着,Chanillo和Christ在文献2里面证明算子还是弱型. 1992年,陆善真在文献3中通过一个更弱的条件,改善了上述结果. 2000年,Ojanen在文献4中证明了算子在上是有界的,其中满足一个更弱的条件. 2005年，Chen,Jia和Jiang证明了算子在Triebel-Lizorkin空间上的有界性.受这些研究启发,本文讨论了当时,振荡奇异积分算子在Herz型Besov空间和Herz型Triebel-Lizorkin空间的有界性.1. 有关概念和主要结果定义 18 对于,记,.是的特征函数,令,齐次Herz空间定义为,其中 . 对于, 设,且满足下面条件:(i); (ii); (iii).Herz型Besov空间和Herz型Triebel-Lizorkin空间的定义如下：定义 28 对于,和,定义为Herz型Besov空间,记为. 定义为Herz型Triebel-Lizorkin空间,记为.这里的主要结果是:定理1设,和.如果且满足条件(1), 满足(2), 多项式函数满足.则振荡奇异积分积分算子在Herz型Triebel-Lizorkin空间有界,且的范数与的系数无关.定理2设,和.如果且满足条件(1), 满足(2), 多项式函数满足.则振荡奇异积分积分算子在Herz型Besov空间有界,且的范数与的系数无关.2 引理为了证明结论,先看下面的几个引理：引理15 设,如果且满足条件(1), 满足(2), 则振荡奇异积分算子在上有界,的范数与的系数无关.引理26 设,和.如果且满足条件(1), 满足(2), 多项式函数满足, 则振荡奇异积分积分算子在上有界,的范数与的系数无关.引理3 设,和.如果且满足条件(1), 满足(2), 多项式函数满足,存在一个与无关的常数,使得.则振荡奇异积分积分算子在上有界, 这里 ,且的范数与的系数无关.为了证明引理3,先看下面这个引理：引理47 设,(), ,同上面的引理3，定义粗糙核极大算子 .则有(1); (2).引理3的证明： 记 ,则 .对于,由引理4中(1)得 .对于，当,所以,则, .因此,由引理4中(2)得 对于,当时,有,所以.则由Hlder不等式和引理4得= .所以 .综上所述，引理3得到证明.3 定理的证明定理1的证明: 由引理3得 . 定理2的证明: 由引理2得 .定理得证.4结论由定理的结论可知,当时,振荡奇异积分算子在Herz型Besov空间和Herz型Triebel-Lizorkin空间上是有界的.第2章 CRW型交换子在Herz型空间的有界性2. 1 引言和主要结果用表示上的单位球面,设是上的零次齐次函数,满足和 , (2.1)这里,. 定义奇异积分算子如下 , (2.2) 设，由振荡奇异积分算子和生成的交换子定义 (2.3) 1976年，Coifman，Rochberg和Weiss首先在文献9里面证明了当时为有界的充要条件是，因此又称为Coifman-Rochberg-Weiss型交换子，并注意到了奇异积分交换子的有界性可以刻划BMO空间.后来Janson10和Paluszynski11等的研究表明奇异积分交换子的有界性可以用来刻划包括BMO，Besov-Lipschitz类等在内的各种函数空间。1978年Coifman和Meyer12发现当时，Coifman-Rochberg-Weiss型交换子的有界性可以从算子的权模估计中得到，其中表示Muckenhoupt权函数类。1993年Alverez，Bagby，Kurtz和Perez13发展了Coifman和Meyer的思想，建立了线性算子交换子有界性的判别准则。 此外，交换子是另一类与奇异积分算子关联的算子。由于它与偏微分方程，Cauchy型积分的密切关系，同时其本身也是很典型的非卷积型的算子，所以研究这些交换子在空间上的有界性是一个有意义的问题。奇异积分交换子在偏微分方程研究也起着举足轻重的作用，这些都使得交换子的研究得到了重视和发展，并取得了丰硕成果。本章讨论了当时,CRW型交换子在Herz型Triebel-Lizorkin空间的有界性。定理2.1 设,，,和.如（2.3）所定义.如果且满足条件(2.1), 则CRW型交换子是上的有界算子。定理2.2 设,，,和.如（2.3）所定义.如果且满足条件(2.1), 则CRW型交换子是上的有界算子。2.2 引理为了证明结论,先看下面的几个引理：引理2.114 设,如果且满足条件(2.1), 则CRW型交换子在上有界,.且在上有界.引理2.2 设,，,和.如（2.3）所定义.如果且满足条件(2.1), 则CRW型交换子在上有界, 这里 ,为了证明引理2.2,先看下面几个引理：引理2.315 设和，则对于任意的，当且仅当 ,在这种情况下. (2.4)引理2.416 设，令是一列线性算子，如果对于权函数和，存在和无关的常数,使得和成立，则对任意的，有 引理2.517 设，定义算子： .如果，则对于，有 ，其中.由在上的有界性，类似于在上有界性，可以证明在上有界.引理2.6 设，,，(),则存在与和无关的常数有.证明：在给出引理2.6的证明前，我们先给出下面这个事实。对，存在一个与和无关的常数有 (2.5)其中 .（参考文献18）记 ，则已知在上有界,. 类似于第一章引理4的证明，可以得到 . (2.6)当时，对于记，则 当由不等式，则 则对于有上面的(2.6)式得到.对于, 由(2.5)式和Hlder不等式得 综上所述，引理2.6得证.引理2.2的证明： 记 , 则 .对于,由引理2.1和引理2.4得 .对于，当,所以,则, .因此,由引理2.6得 对于,当时,有,所以 .设 则引理2.3，引理2.5和引理2.6得 综上所述，引理2.2得到证明.2.3 定理的证明定理2.1的证明: 由引理2.2得 .定理2.2的证明: 由引理2.1得 .参考文献1 Ricci F, Stein E M.Harmonic analysis on nilpotent groups and singular integrals, I. Oscillatory integralsJ.J. Funct. Anal.1987,73(1): 179194.2 Chanillo S,Christ M. Weak (1, 1) bounds for oscillatory singular integralsJ. Duke Math. J. 1987,55(1):141155.3 LU Shan-zhen.Criterion on Lp-boundedness for a class of oscillatory singular integrals with rough kernelsJ. Rev. Mat. Iberoamericana.1992,8:201219.4 Ojanen.H.Weighted estimates for rough oscillatory singular integralsJ.J. Fourier Anal. Appl. 2000,6(4) :427436.5 LU Shan-zhen.A class of oscillatory singular IntegralsJ. Inter. J. Appl. Math. Sci, 2005,2(1): 47-64.6 HU Guo-en, LU Shan-zhen, YANG Da-chun.Boundedness of rough singular integral operators on homogeneous Herz spacesJ.J. Austral. Math. Soc. (Series A) 1999,66(2): 201-223.7 CHEN Jie-cheng, JIA Hou-yu, JIANG Li-ya. Boundedness of rough oscillatory singular integral on TriebelLizorkin spacesJ. J. Math. Anal. Appl. 2005,306(2):385-397.8 SUN Yan-ling, JIANG Yin-sheng. Rough singular integrals on Herz-type Triebel-Lizorkin space and Herz-type Besov spaceJ. Journal of Xinjiang university(Natural Science Edition).2011,28(1):42-46.9 Coifman, R,Rochberg, R,Weiss, G. Factorization theorems for Hardy spaces in several variable. Ann.Math.1976,103:611-635.10 Janson S. 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