量子力学中科大课件Q6讲稿第六章对称性分析和应用.doc

第六章 对称性分析和应用6.1一般叙述 1，对称性的含义对称性含义有广义和狭义两种：广义来说，Einstein说，“自然界最不可理解的就是它竟然是可以理解的！” 追求和理解自然界最深层次的对称性一直是物理学发展的主旋律之一。常常是对某种基本对称性的信念，激励人们去发展物理学。Weyl说：“对称性是这样一种意念，人们长年累月地试图以它去理解并创造秩序、美和完善。” 狭义来说，给定系统的某种对称性是指某种不可分辨性，是对某种属性的不可观测。这就是说，在某种操作或变换下系统依然保持不变，表现为系统的Hamilton量在这些变换下保持不变。一般说，不同体系所具有的对称性不一定相同。但是，所有使体系全部物理性质保持不变的对称变换，必定构成此体系的一个对称群。研究对称性的意义：第一，构造发展理论。按Heisenberg的观点，“必须寻找的是基本对称性”。第二，增强物理直觉，利于迅速抓住问题要点，化简提法。第三，简化一些计算。不经求解方程即可得到态及本征值的某些知识。包括能级特征、矩阵元计算、禁戒规则等。2,量子力学中的对称性无论就对称性的种类和程度来说，QM的对称性都高于CM中的对称性。CM中存在的对称性QM中也都对应存在，如时间、空间的均匀、各向同性对称性；而且，QM还存在一些CM中所没有的对称性，如全同性原理、同位旋对称性。然而，个别对称性除外，弱等效原理这种对称性在CM中存在，但在QM中被破坏，只当向经典过渡时才又逐渐显现出来。这是说，弱等效原理被量子涨落所破坏。QM中常见的对称性有一些是普遍存在的基本对称性，有一些则是特殊系统才具有的特殊对称性。从另一角度来说，有一些是严格成立的对称性，有一些则是近似成立的对称性。QM中的时间均匀性、空间均匀性、空间各向同性、同类粒子的全同性原理（或交换对称性）是普适的、严格成立的基本对称性；而空间反射不变性、时间反演不变性对大部分情况都严格成立，可算是基本对称性，但毕竟不是普适的。同位旋对称性，这是一个适用范围很广的近似对称性。此外，还有各种特殊体系的各种特殊转动、反射对称性，它们属于这些体系的特殊对称性。比如中心场问题的空间旋转对称性、谐振子的空间反演不变性、各类晶体的各种特殊空间转动和反射对称性等等，这些都属于这些特殊体系的特殊对称性。按通常说法，上面这些对称性及其相应的变换划分为两类：第一，根据相应变换是连续还是分立的来分类。比如，空间反射变换、时间反演变换、全同粒子置换、晶体的对称变换等等均属于分立变换，其余的属于连续变换。第二，按照对称性涉及的是体系的内禀属性还是外在属性来分类。空间平移、时间平移、空间旋转这三个对称性是体系所处的时空性质对体系运动方式提出的要求。即时空特性对孤立体系哈密顿量的要求。严格说，由此得出的对称性并不是系统的内在属性，而是时空固有属性在体系运动行为上的体现（参见下节叙述）。与此相反，全同粒子置换对称性和同位旋空间旋转对称性等，是体系的内部对称性，反映体系的内禀属性。而空间反射、时间反演对称性，也根源于体系内部的动力学性质，也应当认为反映了体系的内禀属性。3,对称性与守恒律及守恒量上面已触及了对称性和守恒律的关系问题，现在简要研究它。一个体系的对称变换，既然使体系的全部物理性质保持不变，当然也使该体系的Hamilton量保持不变， (6.1）于是由Wigner定理断定，一定是个幺正变换或反幺正变换 反过来不能说：一个幺正变换一定是体系的对称变换。因为许多幺正变换会改变体系的Hamiltonian形。 首先，假定对称变换是连续的。由于不存在连续的反幺正变换，只须研究幺正的情况。以前说过，一个连续变化的幺正变换总可以表示为 式。比如，空间转动总是幺正变换，但却只有几种特殊转动，才使离子立方晶体NaCl的Hamiltonian 量保持不变，它们属于NaCl晶体的对称变换。下面只讨论幺正变换。反幺正变换参见附录一。 （6.2）这里为厄米算符，为连续变化的实参数。由（6.1）式得 或写为由于可取连续值，取足够小，即得 （6.3）于是得到结论(Noether第一定理，1918)：如果连续变换是量子体系的对称变换，则的生成元（厄密算子）是个守恒量。或者说，当量子体系存在一种（连续变化的）对称性，就相应地存在一个守恒律和守恒量。 其次，假定对称变换是分立的。这时幺正和反幺正的情况都存在，它们都应当和体系的Hamilton量对易，即存在 (6.1b)在量子力学范围内，这包括幺正的空间反射变换和反幺正的时间反演变换两种。其中，空间反射变换又是厄密的，于是它直接就是守恒的力学量宇称。但对于时间反演变换，由于它的反线性的性质而不存在相应的守恒量（参见附录一）。 总之，一般说来，当体系存在某种对称性时，体系必定相应具有某种有规律、有秩序的东西，但并非总是一个守恒的力学量。6.2时空对称性及其应用1,时间均匀和能量守恒定律时间流逝本身是均匀的。这就是说，除非遭到含时外场的破坏，并不存在与众不同的绝对的时间标架。因此，和CM情况相似，一个孤立的没有任何外界参照物的量子体系的Hamilton量中不能显含时间参量。否则就可以观测体系的绝对的时间坐标，这违背时间轴的均匀性质。由此，设想沿着时间轴来平移这个体系，将不会造成任何物理上可察觉的变化。这当然也就意味着，孤立量子体系在演化中的绝对相因子（常称作整体相因子或外部相因子）是不可以观测的。Taylor展开的算符表示：所以，算符是自变数平移一个量的平移算符。关于时间平移算符。时间平移算符是这样一种关于体系演化时间的变换算符，在设想中，将体系的描述在时间轴上向未来方向平移的操作。即把体系在任一时刻发生的事件于设想中推迟到时刻发生。于是， ； （6.4）这里是因为，在变换前的时刻体系处于；在变换后到时刻体系才处于。如果不显含，可以求得的紧凑表达式。按方程于是一般地有所以即 （6.5）于是，这种保持时间标架不变而将体系沿时间轴平移的算符或幺正变换（这称为主动方式，而不是被动方式体系不动而将时间轴反方向平移）的表达式为 （6.6） 按的定义，它推迟时间演化，因而和时间演化算符是反方向的。显然也是一个幺正变换，不改变体系的一切可观察物理效应。在这个变换下，态和算符的变化分别为 量子态的变化： (6.7a) 力学量算符的变化: (6.7b)于是，对任给的两个态矢，和任一力学量算符，总有 (6.8a) (6.8b)即，变换前后所有几率幅和矩阵元都不变。这就表达了本节一开始的思想：如果不显含时间，体系应当时间平移不变。或者说, 这时采用时间轴上任意不同点作为计算时间的起点，不会产生物理上可觉察的差异。显然，对于孤立体系，情况本就应当如此。上面叙述可以换一种形式。对一个体系的任意两个态矢和，总有 (6.9) 根据第一章的微商算符定义，有，再考虑到,的任意性，就得到。现在，由于孤立系的不显含，。于是即得结论：对不显含的量子体系，总有 (6.10)体系的Hamilton量现为时间平移算符的生成元是个守恒量。这意味着在体系的任何态中：第一，的平均值不随时间变化；第二，取各个本征值的概率分布不随时间变化。证明：将任一给定的初态和相应的含时态按本征态展开：。这里，系数是的展开系数，当然与无关。于是得到这说明，测量此体系任意含时叠加态的平均能量，所得平均能量不随时间改变，取任一本征值的概率分布不随时间变化它们都只取决于初始时刻能量本征态的分布状况。如果初态就是体系某个能量本征态，以后将一直如此不变。这就是常说的孤立体系的能量守恒定律的两点具体含意。 注意，这里孤立体系能量守恒的两点内容并未要求体系在任何态中都必定有客观确定的本征值。一般说，即便是一个孤立的量子体系，也有可能处在含时态上即某些能量本征态的叠加态上。这是由于：给定的初态不一定就是体系Hamilton量的本征态。比如自由飞行中子就会发生衰变。但对于不含时体系，不论其处在何种状态上，能量平均值及本征值的取值分布均保持不变。于是，量子力学主张，即便测量一个孤立体系的能量，仍有可能出现涨落，只能得到不随时间改变的平均值。这和Einstein的物理实在论观点是矛盾的。2,空间均匀性和动量守恒定律以类似方式也可以得到当空间坐标系不动，而将体系平移有限距离的变换，即空间平移幺正算符。按定义，对任意态矢应有(6.11)这里右边态矢里中的负号可以这样理解：设体系为一团概率云，（6.11）式左方为对变换之后云团的描述，它在处的值应当是变换之前的云团在处的值。这正说明这一团概率云移动了距离。于是所以，使体系空间平移的算符为 (6.12a)按上面所说，如果体系具有空间平移不变性（孤立系必定如此），这个幺正变换将是体系的对称变换，它的的生成元动量算符就是个守恒量，即体系的动量守恒。对于多粒子体系，将替换为， ，简单推广这里的推导，可得将体系作空间平移的算符为 (6.12b)如果这个多粒子体系可以看作孤立系，它就具有空间平移不变性，于是体系的总动量将是个守恒量。举一个CM分析的例子，由它可以引出牛顿第三定律，同时也表明，经典分析和量子分析具有同一时空特性的根源。由于 按力的表达式，作用在第个粒子上的作用力为按照的这种形式，就得到这就是牛顿第三定律。由于，第三定律其实就是两粒子孤立体系总动量守恒的换一种说法这说明，与这里量子力学分析一样，第一定律和第三定律也是根源于宏观粒子所处时空的均匀性，而经典分析所导致的总动量守恒的结论和量子力学的结论也一般无二。QM所不兼容的只是牛顿第二定律以及质点概念（相应还有轨道概念）。但为了描述方便，QM和后继课程更常用的是势的概念，而不是力的概念。和前面能量守恒情况类似，说动量守恒，并不等于体系一定得处在动量的本征态上，要看初条件如何而定。比如，自由运动波包动量是个守恒量，波包的初条件是一系列动量本征态的某种叠加，其后动量的平均值和分布都将一直不变，尽管波包在位形空间中弥散着、变形着。再比如，边界条件，它的存在必将导致粒子和边界物体的动量交换而使粒子动量不守恒，妨碍具有非定域性质的动量本征态解的存在。3,空间各向同性和角动量守恒由于我们所处的空间是各向同性的，本无特殊方向可言（若存在有向外场，如重力场，就将破坏这种各向同性。和前面论述一样，这里是讨论未遭任何外来破坏的空间本身的内禀性质）。设想一个孤立体系绕任何轴旋转一个任意角度，这种操作不应当影响体系的任何物理性质。设该体系绕轴转过一个很小角度的转动算符为，则有 这里。于是 （6.13）显然，体系绕轴转动有限角度的转动算符等于绕该轴的一系列小转动算符的连乘积。由于这些小转动都是绕同一根轴进行的，它们之间可以对易。这些指数算符的连乘能够紧凑地写为这些算符的指数上转角相加。于是有 (6.14)假如体系中的相互作用势是空间各向同性的（如中心场那样），所有这些转动变换就都是使体系保持不变的对称变换，这导致它们的生成元角动量矢量守恒。不过，虽然这时和它的三个分量都是守恒量，但由于分量之间彼此不对易，不能同时具有各自确定的本征值。例如，当取某个本征值（相应地，态是的本征态）时，和将以一定的概率分布各自取可能值（共个）。于是对或作单次测量时，结果都将呈现不确定性。尽管如此，和取值的概分布以及平均值均不随时间变化。 例算。设柱坐标下势场形式为。是势场的两个实特征常数，如图6-2所示。显然，此势场等势线为。这里，关系是柱形螺旋线。求粒子运动中，除能量之外的守恒量。 由前面的叙述可知，绕轴转的转动算符和沿轴移动的平移算符分别为 令，这里为势场的等势线螺旋线的螺距。由于，可将算符和的乘积合并成为一个新算符 (6.15)按题设势场的性质，应该有此外还应考虑到，所以最后有 于是，在这个等势线为螺旋线的势场中，(6.15)式中生成元算符 （6.16）及相应物理量守恒。以上讨论的是关于时空连续对称变换。由于现有的时间和空间内禀地具有均匀各向同性的性质，只要不遭受外来破坏，这些属性就会自然地显现出来，成为三个普适守恒定律的物理根源。对孤立系，不论其中发生什么过程，均会因为体系所在时空这些固有属性而必定遵守这三个定律。所以，如其说这三个守恒定律是体系本身的内禀性质，不如更准确地说，是时空固有属性在体系运动行为上的体现。三个守恒定律的物理基础正是时空均匀各向同性的性质。这就是为甚么从CM过渡到QM时，虽然研究对象行为迥然不同，概念和结论也发生了天翻地覆的变化，但这三个守恒律却安然无恙地贯穿下来的缘故。因为，量子体系的行为从经典观点来看虽然“乖僻”，但毕竟也是存在于、运动于和经典体系同一时空之中。从而，这个时空的属性也必定“烙印”（或“体现”）在量子体系运动的行为上，使量子体系表现出（如同宏观体系已经表现出的那样）三个守恒定律的存在。4,空间反射对称性和宇称守恒在非相对论QM范围内，有关时空的变换，除上述三个连续变换之外，还有两个分立的变换，空间反射变换和时间反演变换。时间反演变换在附录二中叙述，这里只讨论空间反射变换。空间反射变换，在CM中的定义是 类比经典情况，在QM中引入宇称算符，它的定义是 （6.17）根据定义，首先可得它对任意态的作用 (6.18)由于，于是 就是说，经变换后的态的波函数是原先对于原点的镜像反射。还可以得到对动量表象基矢的作用 （6.19）显然，两次相继的空间反射变换等于一个恒等变换，即 于是有 这说明宇称算符是自逆的，即 (6.20)另外，对任意两个态矢（为表述明确，根据上面结果，下面将变换前后的态矢用它们的波函数来标记），有 而按内积定义总有于是有从而得到 (6.21)这说明宇称算符又是幺正的。总结起来，宇称算符是自逆的、厄米的、幺正的算符，即 (6.22)按第一章算符公设附注中所述，由宇称算符的自逆性质可知它有两个本值：，并且它的这两个本征态矢将构成完备集，可用于展开任意态矢。比如，在坐标表象里将这个结论叙述出来就成为，任意波函数总可以分解为如下两部分之和：空间反射下为对称的部分和空间反射下为反对称的部分。这种分解总是可以做到的，只要令 这时 是宇称算符对波函数的作用形式。可以证明，宇称算符是个纯量子力学算符，它不能用经典的形式表示出来（或者说，它没有经典对应的力学量 这并不是说经典力学中无相应的变换，而是说不存在对应的力学量。一个经典系统即使具有这种反射对称性，也不能说明存在相应的守恒的力学量。）。换种说法，不能用等有经典对应力学量的算符的任意函数来表示。反证法证明：假定可以用的某个函数把宇称算符表示出来，即有 则当向经典过渡时， 将趋于它的经典对应物已知经典对应物应当与经典力学量对易，即有 （）但另一方面，按宇称算符的定义，它和应当反对易， ， 即 ， （）显然也可以对此式作经典趋近，并得出反对易结果。于是，经典情况下有两种完全不同结果，这表明只可能有一种选择，。表明宇称算符不能被表达成为和的任何函数，否则其经典对应物必为零，反推回去得到本身为零（因，正比于任何幂次也不可能）。可以得到宇称算符的并矢表示式。比如取坐标表象，这时基矢为。由的定义并考虑基矢的完备性条件，即得 (6.23)而的矩阵元为注意，如果体系分为几个子体系，则体系的总宇称算符本征值是各子体系宇称算符本征值的乘积。这简称为，宇称算符本征值是相乘的。这是因为，同一粒子的几部分波函数（或多粒子的波函数）总是相乘的，经宇称算符的作用，所得各部分的宇称本征值也就是相乘的。与此同时，连续变换所对应的（力学量的）本征值是相加的。因为连续变换所对应的守恒量均在指数上，指数算符相乘时指数上的量就相加。故其各部份波函数所具有的本征值就是相加的。比如，核和粒子物理的反应 这时，其中和分别为和粒子的内部状态，而表示两粒子之间相对运动状态。空间反射变换要作用于所有各部份， 设 态内禀宇称为：，态内禀宇称为：， 相对运动宇称为：， 则初态的总宇称量子数就成为： (6.24)下面表明，。是两粒子相对运动的轨道角动量量子数，故又称为轨道宇称。末态情况类似。于是，如果反应过程遵守宇称守恒定律，反应前后总宇称量子数应当相等，即有等式 (6.25)这里之间相对运动轨道角动量量子数。如果反应过程中存在弱作用，反应前后的总宇称量子数将不相等。现在补充说明：对于轨道角动量量子数为的两个粒子相对运动，它们的轨道宇称为。注意空间反射只与方位角有关，与相对距离无关，可略去相对运动波函数的径向部分，只考虑方位角部分。球坐标中，所以的空间反演为 （6.26）这说明，是宇称算符本征态，对应的本征值为。 5，时间反演对称性。参见附录二。6.3 内禀对称性1,同位旋空间旋转对称性和同位旋守恒原子核物理涉及的核力是一种强相互作用，它大体与电荷（是质子还是中子）无关，这是一个虽然并不十分精确但却是普遍成立的实验事实。据此，核理论中从强作用观点出发，不计电磁和弱作用，常将质子和中子考虑成是同一个粒子（称为核子）的两个不同状态。于是，一个核子的波函数可以记成 (6.27)这样，质子和中子的波函数便分别成为取如下三个22矩阵作为同位旋算符 ，于是，在这些算符作用下，产生如下变换 （6.28）由于不考虑核子间电弱相互作用，只考虑核子间的强相互作用，根据核力与电荷无关，在上述这些变换下核子体系的能级将相同，构成了能级的简并。这时，由同位旋算符组成同位旋矢量算符 (6.29)本征值称为核子的同位旋。而质子和中子只是（同一个称作“核子”的粒子）同位旋第三分量不同的两个状态。就是说，出现了同位旋两重态的简并。可以附带指出，由同位旋第三分量，可以组成所谓“电荷算符”：(6.30)显然， ，2,全同粒子置换对称性与全同性原理由于微观粒子具有波动性，两个或多个全同的微观粒子存在置换对称性，呈现出交换效应。这种置换对称性常常陈述为微观粒子全同性原理。此原理不仅是非相对论量子力学的第五公设，实际上贯穿并适用于全部量子理论。 i, 全同性原理及其内涵两个微观粒子的全部内禀属性（质量、电荷、自旋、同位旋、内部结构及其它内禀性质）都相同，称它们为两个全同粒子。例如，所有的电子是全同粒子，所有的正电子也是全同粒子，但电子和正电子不是，质子和中子也不是。对于内部结构相同而仅仅内部激发状态不同的复合粒子（比如，处于基态和激发态的氢原子），有些情况下不应看作是全同粒子，详细叙述见后。显然，两个全同粒子可以处在不同的量子态上：可以有不同的空间波函数，不同的能级、不同的自旋取向，等等。全部量子力学实验表明，如果让两个全同粒子处于相同的物理条件下，它们将有完全相同的实验表现，从原理上看将无法区分它们谁是谁。简单地说，微观粒子全同性原理便是全同粒子的无法分辩性。详细些说，原理主张：系统中的全同粒子因实验表现相同而在物理上无法分辩。就是说，如果设想交换系统中任意两个全同粒子所处的状态和地位，将不会表现出任何可以观察的物理效应。 原理涉及两个密切相关但并不相同的概念：全同性对粒子本身，分辨性对它们的实验观测。这里强调“原理上”，意思是说永远的、非技术性的（下面即将分析它的具体含义）。现在分析并理解原理的核心内容：全同粒子在什么情况下不可分辨、这种不可分辨性有怎样的性质它会产生怎样严重的后果、如何理解这种不可分辨性。全同粒子体系中各粒子的编号都是以外来方式人为强加的，既然按全同性原理各个全同粒子在“原理上”彼此不能分辨，那么，对它们所做的任何编号及顺序的改变都不应当导致可观察的物理效应。就是说，任何实验观测结果都必须对编号的置换为对称的！量子体系的可观测量分为两类：力学量数值和取力学量数值的概率。于是得出结论：全同粒子体系的力学量算符（包括系统哈密顿量），以及体系所有可观察概率，对于任何一对粒子编号交换都必须为对称的。这正是上面强调的“原理上不可分辨”这一论断的深刻含义和严重结果。也说明全同性原理正是全同粒子交换对称性的物理概括。现在来考察观测概率的对称性。既然全部观测概率都是对称的，说明体系总波函数的模平方必须是对称函数。所以总波函数对于任何一对粒子编号的置换，只能改变一个相因子。引入第j和第k两个粒子的置换算符，于是应当有 （6.31）接着用的逆算符作用，两边的将还原，但净多出一个相因子。根据全性原理，实际上置换算符应当与脚标无关，可以简单写作为，相应有。由于两次置换已使编号顺序还原，所以 （6.32）于是，即。这说明，为保证全部观测概率是对称的，全同粒子体系所有可能状态的总波函数必须相对于任意两粒子置换为全对称的或是全反对称的， (6.33)总之，从全同性原理可以得到关于全同粒子体系的如下两条重要结论：a) 体系的全部可观察量算符对于粒子间的置换完全对称； b) 体系所有可能的总波函数对于粒子间的置换要么全对称，要么全反对称，不存在其它中间类型的状态。即有 (6.34)究竟什么粒子的全同粒子体系用全对称波函数，什么粒子的全同粒子体系用全反对称波函数呢？量子电动力学中，Pauli 依据Lorentz变换和定域因果性原理，证明了Pauli定理：（光子、介子、氘核、粒子等）具有整数自旋粒子必须服从对易规则，它们所组成的全同粒子体系的总波函数对于粒子间置换必是对称的，体系遵从BoseEinstein统计，这些粒子统称为玻色子；（电子、中子、质子、氚核等）具有半整数自旋粒子必须服从反对易规则，它们所组成的全同粒子体系的总波函数对于粒子间置换必是反对称的，体系遵从FermiDirac统计，这些粒子统称为费米子 否则违反普遍的定域因果性原理两件类空间隔（）事件彼此应当没有因果关联。于是原理主张，相隔为类空间隔的两个测量可以独立进行，互不干扰；有此间隔的两个物理的算符应当对易。由此可以导出Pauli不相容原理：组成一个体系的两个全同费密子不能处于相同的状态上。因为这样一来反称化将使体系的总波函数为零（参见（6.35）式）。全同性原理是微观世界的普遍规律，它导致一种纯量子效应交换效应。这是一种由于波函数对称化或反称化所造成的可观察的物理效应（见下面例子）。经典力学中原则上不存在（完全相同的）全同粒子。并且，由于宏观粒子的de Broglie波波长极短，即便存在“全同”的宏观粒子，原理上也可以对它们进行分辨和追踪，交换效应并不存在。但在量子力学中，两个全同粒子比如两个电子的情况完全不同。由于电子具有波粒二象性，特别是它的波动性，导致不确定性关系，使得轨道概念失效，在波包重叠区内就有可能出现原理上无法分辩的测量结果。具体说，在波包重叠区域内若还不存在守恒的内禀量子数可供鉴别，就将肯定无法分辩测量塌缩中所得粒子谁是谁。重叠区域越大，以后时刻也越不容易分辩和追踪它们。设想在某个时刻对两个相邻的全同粒子进行测量定位、鉴别编号，但在无限接近的后来时刻，它们的坐标还是不再具有确定值。就是说，由于不确定性关系和轨道概念的失效，由于de Broglie波波包演化中的重叠，某个时刻的定位对追踪并无帮助。这些分析说明，微观世界里的全同粒子，一旦它们波包有重叠而又没有守恒的内禀量子数可供鉴别，波动性将肯定使它们失去“个性”和“可分辩性”，出现交换效应。 ii， 应用举例关于全同性原理应用的例子，除了全同粒子散射（见10.4节）外，下面再举一些。首先，是两个全同的费米子的例子。两个电子，假设原先电子1处于态，简记作，电子2处于态，记作。假定由于某种原因它们彼此关联起来，组成了一个体系。如果它们之间没有相互作用或是相互作用较弱，作为零级近似，体系总波函数可以取作两阶Slater行列式两个单电子态的反称化的形式， (6.35)右边第二项是依据全同性原理，通过反称化得出来的交换项。交换项的存在将会影响力学量平均值计算和各种概率计算。比如，概率密度的分布将成为可以看出，当两个波函数的空间分布不重叠，即函数的定义区域A和函数的定义区域B之间没有交集时，右边取实部的第三项（包括它的积分值）实际上等于零；若交集很小，这项数值也很小。这时实行和不实行反称化，结果是一样的（或基本上一样的）。于是交换效应消失，两个全同电子在原理上便可以（用区域A和B）来分辨。对于两个波函数空间分布有重叠的情况，如果两个电子各自自旋取值不同并且在演化中守恒，则由于波函数自旋部分的正交性，这个实部在概率计算中仍不起作用。说明此时在原理上可以根据它们的取向来分辨它们。推广开来说，如果测量的物理量与是对易的，就是说, 最后观测方案也就是测量末态是朝向本征态的塌缩，两个电子仍然可以根据的取向来分辨。这时有否反称化实际效果仍然相同。但如果测量的物理量与不对易，相应分解时有关交换项就不会消失，存在交换效应。换句话说，这时两个电子在这种测量中还是不可分辩。所以普遍说来，即便过程中两粒子有取值不同并且守恒的量子数作为标记，这时两粒子究竟是否可分辩，最终还要看如何进行测量和塌缩，即选择何种末态而定。总之，粒子的不可分辩性和交换效应的存在性二者紧密关连，同时存在。附带指出，（6.35）式并不是总波函数的唯一选择，但选取另外的反称化形式并不影响这里的分析。 假如电子之间的相互作用不是很弱，系统总波函数不再能用上面零阶近似形式，但它仍然是电子1和2的反对称函数，并满足对称哈密顿量的方程和不一定反对称的初条件。对于多个全同费密子系统，零级近似波函数是(6.35)式的推广n阶的Slater行列式。其次，考虑全同复合粒子的例子。考虑两个相同的总角动量为J的原子核，各自都有个中子和个质子，它俩构成一个双原子核体系。显然，体系的总波函数关于中子之间置换是反对称的，关于质子之间置换也是反对称的。令为置换两个中子的置换算符，类似，原子核的质子和中子总和为核子数。由此可知，将两个原子核互换的置换算符为 （6.36）这里，所以的本征值为。由于中子和质子都是费米子，置换时均出 -1, 有 （6.37）由此可得结论：原子核的核子数为偶数时，此原子核作为一个整体是个玻色子；当核子数为奇数时，此原子核是费米子。考虑大量相同原子核所组成的全同粒子多体系统，将能说明低温下液和的量子特性为何完全不同：粒子服从BoseEinstein统计，而服从FermiDirac统计。超流体是两个粒子自旋平行配对的结果。对的自旋为1所以为三重态，对的规道部分则处于态。 注意的统计性质与磁矩均来自原子核，但却对超流的性质起了决定性的作用。同时，(6.36)和(6.37)两式也可以向含有多种费密子的复合粒子情况推广。说明（所含玻色子数目不计）含有奇数个费密子的复合粒子体系与含偶数个费密子的复合粒子体系之间有着根本的差别，任何相互作用都不能使两者相互跃迁。这称作为超级选择定则（参见附录二）。最后分析作为全同玻色子例子的光子分束器。如右图，有一块半透镜，水平极化光子1从左上方a入射，透镜将其相干分解，反射向c，同时透射向d；垂直极化光子2从左下方b入射，相干分解后反射向d，透射向c。由a入射的称a空间模，向c出射的称为c空间模，等等。此时两个光子的输入态为 （6.38）这里水平和垂直箭头分别表示光子的两种极化方向，相应的两种极化状态彼此正交。经过分束器之后，反射束应附加位相跃变而透射束则无位相跃变；同时，分束器不改变入射光子的极化状态，所以出射态为 （6.39）如果两个光子同时到达分束器，它们空间模便有重叠，则出射态光子的空间模便也会重叠，就必须考虑两个光子按全同性原理所产生的交换干涉。这时出射态应该是交换对称的，所以正确的出射态应该是 6.40）出射态（6.40）中的极化状态由表征，是四个Bell基中的两个，。注意出射态第二项的空间状态不同于第一项的空间状态。为了探测这个空间模，可在分束器出射方向c和d两处分别放置两个探测器，对两处单光子计数作符合测量。（6.40）式表明，这种实验按排将有概率探测到出射态塌缩为第二项。相应地，也就有概率得到双光子极化纠缠态， (6.41)这样一来，尽管两个光子之间（以及分束器中）并不存在可以令光子极化状态发生改变的相互作用，但全同性原理的交换作用和测量塌缩还是使两个光子的极化状态发生了变化，产生了极化状态的量子纠缠。就是说，如此的符合测量造成了这样的状态塌缩，使得两个光子中每一个的极化矢量都不再守恒（尽管表面上看来并不存在改变入射光子极化状态的作用）。现在，这两个光子已经不可分辩。这完全是由于这种测量方案造成的。说明这种符合测量的塌缩末态和光子极化本征态并不兼容。设想换另外一种测量实验：采用极化灵敏的探测器测量出射光子的极化本征态。则由于在分束器相干分解过程中，以及在测量塌缩过程中极化矢量一直守恒，在这种测量方案下，两个光子就可以用它们极化状态来分辩，也就不存在交换效应。这个例子再一次说明，此时两个光子究竟是否可以分辩，还要看如何测量末态如何选择而定。 另外要注意，此处和全同玻色粒子散射情况有三点不同：其一，这里两个光子（除交换效应外）并无直接的相互作用；其二，两个光子总动量并不守恒（和分束器有动量交换）；其三，光子没有定域波函数，现在经过半波片后各自作了相干分解，因而各自处于c、d两处空间模的叠加态，所以能够认定两个出射光子的空间模仍然重叠。而散射后两个玻色粒子因为都有定域波函数，从而可以说它们在渐近区的波函数不再重叠。而渐近区的对称化或反称化渐近波函数均来自以前在散射区相互作用中的置换作用。 iii，再分析与小结原则上对任何全同粒子体系都应当作对称（反对称）化。但常常由于各种原因，交换效应不存在或不显著，而不必作这种对称（反称）化。于是判断交换效应何时存在何时不存在，对澄清物理概念和简化计算都很重要。特别是，当末态测量方案复杂多变时尤须如此。下面对原理的应用再作一些补充分析和总结。为讨论方便，先暂分为三种情况。第一，两个全同粒子的空间波函数在演化中从不重叠。这时两个全同的粒子原理上可以区分，不存在交换效应，有否对称化（或反称化）结果一样。第二，不论在重叠区内（分束器情况）或走出重叠区之后（全同粒子散射情况），即便全同粒子原先处于不同的量子态或不同的内能状态，如果在过程中没有守恒的相异量子数可资鉴别，就无法分辩它们谁是谁。如果在过程中有守恒的相异量子数可资鉴别，也要看最后如何观测而定：a) 如果观测过程所测力学量与守恒量子数的力学量对易，测量并不干扰这些量子数的守恒，最终就可以用这些量子数来鉴别。除上面关于电子自旋守恒分析的例子外，例如，内部激发能级不同的复合粒子，若过程的相互作用和最后的观测都不影响复合粒子的内部状态，就可以用它们内能状态的差异来区分它们。还例如，光子分束器中，如果实验观测方案不是符合测量而是观测光子的极化状态，观测中两个光子的极化取值将全然不受干扰，就可以用两个光子的极化取值来区分它们。b) 如果测量方案中所测力学量与守恒量子数的力学量不对易，这类末态测量将干扰这个量子数的守恒（需经相干分解之后再塌缩），已不能用这个量子数作为鉴别，经测量之后两个粒子已不可区分，表现出相应的交换效应。这在前面电子散射的自旋，以及光子分束器的极化等观测实验中都已说明了。也可以换一种说法，如果它们内禀量子数都相同，或是其中有些原先不同但经过相互作用已不再守恒（也许总量还守恒），或是在相互作用中虽然守恒但由于最后实验观测的干扰而不守恒，则不论在重叠区内还是走出重叠区之后，都是不能够区分它们谁是谁。内部状态不同的复合粒子，如果在散射中或是在测量时有牵连到内能的相互作用，就必须当全同粒子看待，否则不必当全同粒子看待。第三，演化出了重叠区之后经某种实验按排又再次相遇。这时发生干涉的充要条件依然是它们具有不可分辩性，也就是它们经过路径和内部状态都不再能够区分。总而言之，如果不考虑空间波函数从不重叠这个平庸情况，（无论在重叠区内和走出重叠区外）可以分辩两个全同粒子的充要条件是：全过程中一直存在着某种不变的东西可用于区分和标记，特别是这种不变的东西不被最后的实验观测所干扰。否则原理上是无法分辩它们谁是谁的。由于全同性原理，这种不可分辩性必定导致交换作用的干涉效应；而一旦具有了可分辩性，交换作用就将消失。这里提法从计算角度来看更为简单明确：全同性原理的干涉效应是否存在，完全决定于作末态分解之后那些交换矩阵元是否为零 交换矩阵元它们不仅与初态有关，与相互作用有关，还与向之投影的测量末态有关。而则与想要观测的内容测量方案有关。只当两粒子存在某种取值不同的量子数或特征，这种量子数或特征所相应的力学量能从态穿过到态的全过程保持守恒情况下，交换矩阵元才为零，交换效应才消失。与此同时，两个粒子当然也已经可以分辩。反过来说也如此。这些论述在上面例子以及第十章全同粒子散射中均可以得到佐证。另外