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第二讲 数列的综合应用限时规范训练一、选择题1已知数列an满足a15，anan12n，则()A2B4C5 D.解析：因为22，所以令n3，得224，故选B.答案：B2若数列an满足a115，且3an13an2，则使akak10的k值为()A22 B21C24 D23解析：因为3an13an2，所以an1an，所以数列an是首项为15，公差为的等差数列，所以an15(n1)n，令ann0，得n23.5，所以使akak10，an13an，又a12，an是首项为2，公比为3的等比数列，Sn3n1.答案：3n111已知Sn为数列an的前n项和，且满足a11，anan13n(nN*)，则S2 014_.解析：由anan13n知，当n2时，anan13n1.所以3，所以数列an所有的奇数项构成以3为公比的等比数列，所有的偶数项也构成以3为公比的等比数列又因为a11，所以a23，a2n13n1，a2n3n.所以S2 014(a1a3a2 013)(a2a4a2 014)4231 0072.答案：231 007212数列an中，a1，an1(nN*)，则数列an的通项公式an_.解析：由已知可得(n1)an1，设nanbn，则bn1，所以1，可得122，即是公比为2，首项为3的等比数列，故132n1 an.答案：三、解答题13在数列an中，a18，a42，且满足an22an1an0.(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn|a1|a2|an|，求Sn.解析：(1)an22an1an0，an2an1an1an，an1an为常数列，an是以a1为首项的等差数列，设ana1(n1)d，则a4a13d，d2，an102n.(2)由(1)知an102n，令an0，得n5.当n5时，an0；当n5时，an0；当n0.当n5时，Sn|a1|a2|an|a1a2a5(a6a7an)T5(TnT5)2T5Tnn29n40，其中Tna1a2an.当n5时，Sn|a1|a2|an|a1a2an9nn2.Sn.14正项数列an的前n项和为Sn，且a4Sn2an1(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)若bn，数列bn的前n项和为Tn.求证：T2n1.解析：(1)当n1时，a11；当n2时，因为an0，a4Sn2an1，所以a4Sn12an11，两式相减得aa4an2an2an12(anan1)，所以anan12，所以数列an是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an2n1.(2)证明：bn(1)n1T2n11.T2n1.15已知数列an的前n项和为Sn，a12，且满足an1Sn2n1(nN*)(1)证明：数列为等差数列；(2)求S1S2Sn.解析：(1)证明：由条件可知，Sn1SnSn2n1，即Sn12Sn2n1，整理得1，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列(2)由(1)可知，1n1n，即Snn2n，令T
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