高中数学选修2-3复习小结.doc

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课 题：小结与复习 (一)教学目的：1使学生掌握两个原理以及排列组合的概念、计算等内容，并能比较熟练地运用2通过问题形成过程和解决方法的分析，提高学生的分析问题和解决问题的能力3引导养成学生分析过程、深刻思考、灵活运用的习惯和态度教学过程：一、知识点： 1分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有 种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有 种不同的方法 3排列的概念：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列4排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示5排列数公式：（）6阶乘：表示正整数1到的连乘积，叫做的阶乘规定7排列数的另一个计算公式：= 8组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合9组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数用符号表示10组合数公式：或11 组合数的性质1：规定：； 12组合数的性质2：+ 二、解题思路：解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：特殊优先法对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法.例如：用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有_个.（答案：30个）科学分类法对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生例如：从6台原装计算机和5台组装计算机中任取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的选取法有_种.（答案：350）插空法解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决例如：7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是_.(答案:3600)捆绑法相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列例如：6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是_种.（答案：240）排除法从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.b、排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.例如：从集合0，1，2，3，5，7，11中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_条.（答案：30）三、讲解范例：例1 由数字、组成无重复数字的七位数(1）求三个偶数必相邻的七位数的个数；（2）求三个偶数互不相邻的七位数的个数解 (1)：因为三个偶数、必须相邻，所以要得到一个符合条件的七位数可以分为如下三步：第一步将、四个数字排好有种不同的排法；第二步将、三个数字“捆绑”在一起有 种不同的“捆绑”方法; 第三步将第二步“捆绑”的这个整体“插入”到第一步所排的四个不同数字的五个“间隙”(包括两端的两个位置)中的其中一个位置上,有种不同的“插入”方法根据乘法原理共有720种不同的排法所以共有720个符合条件的七位数解（2）：因为三个偶数、 互不相邻，所以要得到符合条件的七位数可以分为如下两步：第一步将、四个数字排好，有 种不同的排法；第二步将、分别“插入”到第一步排的四个数字的五个“间隙”（包括两端的两个位置）中的三个位置上，有 种“插入”方法根据乘法原理共有1440种不同的排法所以共有1440个符合条件的七位数例 将、分成三组，共有多少种不同的分法？解：要将、分成三组，可以分为三类办法：（）分法、（）分法、（）分法下面分别计算每一类的方法数：第一类（）分法，这是一类整体不等分局部等分的问题，可以采用两种解法解法一：从六个元素中取出四个不同的元素构成一个组，余下的两个元素各作为一个组，有种不同的分法解法二：从六个元素中先取出一个元素作为一个组有 种选法，再从余下的五个元素中取出一个元素作为一个组有 种选法，最后余下的四个元素自然作为一个组，由于第一步和第二步各选取出一个元素分别作为一个组有先后之分，产生了重复计算，应除以所以共有 15种不同的分组方法 第二类（）分法，这是一类整体和局部均不等分的问题，首先从六个不同的元素中选取出一个元素作为一个组有 种不同的选法，再从余下的五个不同元素中选取出两个不同的元素作为一个组有 种不同的选法，余下的最后三个元素自然作为一个组，根据乘法原理共有60种不同的分组方法 第三类（）分法，这是一类整体“等分”的问题，首先从六个不同元素中选取出两个不同元素作为一个组有 种不同的取法，再从余下的四个元素中取出两个不同的元素作为一个组有种不同的取法，最后余下的两个元素自然作为一个组由于三组等分存在先后选取的不同的顺序，所以应除以 ，因此共有 15种不同的分组方法 根据加法原理，将、六个元素分成三组共有：15601590种不同的方法例 一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有多少种不同的坐法？解：九个坐位六个人坐，空了三个坐位，每个空位两边都有人，等价于三个空位互不相邻，可以看做将六个人先依次坐好有种不同的坐法，再将三个空坐位“插入”到坐好的六个人之间的五个“间隙”（不包括两端）之中的三个不同的位置上有种不同的“插入”方法根据乘法原理共有 7200种不同的坐法四、课堂练习：1.从1、2、3、4、20中任选3个不同的数，使这三个数成等差数列，这样的等差数列最多有（ ）90个 （B）180个 （C）200个 （D）120个2.男女学生共有8 人，从男生中选取2人，且从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有（ ）2人或3人 （B）3人或4人 （C）3人 （D）4人3.从编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11的11个球中，取出5个小球，使这5个小球的编号之和为奇数，其方法总数为（ ）（A）200 （B）230 （C）236 （D）2064.兰州某车队有装有A，B，C，D，E，F六种货物的卡车各一辆，把这些货物运到西安，要求装A种货物，B种货物与E种货物的车，到达西安的顺序必须是A，B，E（可以不相邻，且先发的车先到），则这六辆车发车的顺序有几种不同的方案（ ） （A）80 （B）120 （C）240 （D）3605.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数是（ ）（A）48 （B）36 （C）28 （D）126.某药品研究所研制了5种消炎药4种退烧药现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效实验，但又知两种药必须同时使用，且两种药不能同时使用，则不同的实验方案有（ ）（A）27种 （B）26种 （C）16种 （D）14种7.某池塘有A，B，C三只小船，A船可乘3人，B船可乘2 人，C船可乘1 人，今天3个成人和2 个儿童分乘这些船只，为安全起见，儿童必须由成人陪同方能乘船，他们分乘这些船只的方法共有（ ）120种 （B）81种 （C）72种 （D）27种8.梯形的两条对角线把梯形分成四部分，有五种不同的颜色给这四部分涂色，每一部分涂一种颜色，任何相邻（具有公共边）的两部分涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ）180种 （B）240种 （C）260种 （D）320种9.将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数排成三横三纵的方阵，要求每一竖列的三个数从前到后都是由从小到大排列，则不同的排法种数是_10.10个相同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子内，要求每个盒子的球数不小于它的编号数，则不同的放法共有种，11.过正方体的每三个顶点都可确定一个平面，其中能与这个正方体的12条棱所成的角都相等的不同平面的个数为个12.从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连且顺序不变）的不同的排列共有（ ）120个 （B）480个 （C）720个 （D）840个13.将5枚相同的纪念邮票和8张相同的明信片作为礼品送给甲、乙两名学生，全部分完且每人至少有一件礼品，不同的分法是（ ）（A）52 （B）40 （C）38 （D）11参考答案：1.(B). 2.(A). 3.(C). 4.(B). 5.(C). 6.(D). 7.(D). 8.(C). 9.1680. 10.15. 11.8. 12.(B). 13.(A) 五、小结 ：个不同的元素必须相邻，有 种“捆绑”方法个不同元素互不相邻，分别“插入”到个“间隙”中的个位置有 种不同的“插入”方法个相同的元素互不相邻，分别“插入”到个“间隙”中的个位置，有 种不同的“插入”方法若干个不同的元素“等分”为 个组,要将选取出每一个组的组合数的乘积除以 六、课后作业： 1. 有1元、2元、5元、50元、100元的人民币各一张,取其中的一张或几张,能组成多少种不同的币值? 7个电阻串联在一起连成一串,中间只要有一个坏了,这串电阻就失效,因电阻损坏而失效的可能性种数是多少? 解： 种 仿照,共有127种.2 在的展开式中,求:二项式系数的和;各项系数的和;奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;奇数项系数和与偶数项系数和;的奇次项系数和与的偶次项系数和.分析:因为二项式系数特指组合数,故在,中只需求组合数的和,而与二项式中的系数无关.解：设(*),各项系数和即为,奇数项系数和为,偶数项系数和为,的奇次项系数和为,的偶次项系数和.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.二项式系数和为.令,各项系数和为.奇数项的二项式系数和为,偶数项的二项式系数和为.设,令,得到(1),令,(或,)得(2)(1)+(2)得,奇数项的系数和为;(1)-(2)得,偶数项的系数和为.的奇次项系数和为;的偶次项系数和为.点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.3 已知的展开式的系数和比的展开式的系数和大992,求的展开式中:二项式系数最大的项;系数的绝对值最大的项.解：由题意,解得.的展开式中第6项的二项式系数最大,即.设第项的系数的绝对值最大,则,得,即 ,故系数的绝对值最大的是第4项 课 题：小结与复习 (二)教学目的：1正确运用二项式定理,解决与之相关的恒等式证明问题,进一步熟悉二项展开式通项公式,灵活地应用于复杂的多项式中,求某些项系数的问题.2.会利用二项式定理解决某些整除性问题教学过程：一、知识点：1二项式定理及其特例：（1），（2）.2二项展开式的通项公式： 3求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 4二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5二项式系数的性质：展开式的二项式系数是，可以看成以为自变量的函数，定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（）直线是图象的对称轴（2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值（3）各二项式系数和：，令，则 二、讲解范例：例1计算: 计算:分析：本例是二项式定理的逆用.若正用二项式定理,亦可求解,但过程较繁.解： 例2 证明恒等式:分析:本题的证明方法值得注意,它是对二项式定理中的、取某些特殊值.证明：左边右边引伸:化简 解: 例3 求证能被64整除.分析:考虑到用二项式定理证明,就需要多项式展开后的各项尽量多的含有的式子.因此,可将化成再进行展开,化简即可证得.证明：多项式展开后的各项含有能被64整除.引伸:求证能被10整除;求除以9的余数.例4. 求的展开式中的系数. 解:利用通项公式,则的通项公式, 的通项公式,令,则或或 从而的系数为引伸:求的展开式中的系数. ( 答案:207 )例5 求的展开式中的常数项和有理项.解:设展开式中的常数项为第项,则 (*)由题意得,解得,所以展开式中的常数项为第7项.由题意可得,即是6的倍数,又因为,所以=0,6,12故展开式中的有理项为,.三、课堂练习：1.从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ）A.8种 B.12种 C.16种 D.20种分析：两个面不相邻，只能对面，中间再夹一个面.第一步，正方体两平面相对有3种不同情况，中间可以夹剩下的4个中的任意一个，又有4种不同的情况，这两步都完成，事情完成，用分步计数原理答案选B.2.一名数学教师和四名获奖学生排成一行留影，若老师不排在两端，则共有_种不同的排法.分析：（法一）、从特殊元素出发，由于数学教师是特殊元素，所以他除了两端外，还有3个位置可排共有种排法，然后排学生共有种排法，由分步计数原理可得答案是72.（法二）从特殊位置出发，由于两端是特殊位置，除数学教师外先从四名学生中选2人排在两端共有种排法，然后剩余的学生及老师排剩余的位置共有A种排法.由分步计数原理可得答案是72.3. 由数字1、2、3、4、5、6、7组成无重复数字的七位数.（1）求有3个偶数相邻的7位数的个数；（2）求3个偶数互不相邻的7位数的个数.答案：用捆绑法可得（1）为720个；用插空法可得（2）为1440个.4. 从5男4女中选4位代表，其中至少有2位男同志，且至少有1位女同志，分别到4个不同的工厂调查，不同的分派方法有（ ）A.100种 B.400种 C.480种 D.2400种解：分两种情况，采取先取后排的思想可得符合要求的选法共有 （种）5. 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_种.解：取出的4点不共面比取出的4点共面的情形要复杂，因此宜用间接法：用任意取出四点的组合总数减去这四点共面的取法数.取出四点共面时有三种可能第一类：四点共面于四面体的某一个面时，有4种取法；第二类：由四面体的一条棱上三点及对棱中点所确定的平面有6个；第三类：过四面体中的四条棱的中点，而与另外两条棱平行的平面有3个.故取4个点不共面时的不同取法有6.已知碳元素有3种同位素12C、13C、14C，氧元素也有3种同位素16O、17O、18O，则不同的原子构成的CO2分子有（ ）A.81种 B.54种 C.27种 D.9种解：分步计数原理，先选碳原子，再选第一个氧原子，第二个氧原子.所以（种）7.用1、2、3、4、5、6六个数字组成没有重复数字的四位数中，是9的倍数的共有（ ）A.360个 B.180个 C.120个 D.24个解：因为3+4+5+6=18能被9整除，所以共有=24个.8 .在代数式的展开式中，常数项为_.(答案:15)9.若,则的值为A.1 B.1 C.0 D.2解：题中的，是二项展开式的各项系数而不是各项的二项式系数，它们不等于，令x1或1可得它们的不同形式的代数和，于是可得结论答案选A.10求展开式中各项系数的和.11若,则 , , , .12的展开式中的各项系数之和为 .13设,求:(1)的值;(2)的值.答案：10. 令,得答案: 0 11. -1 12.13.令,得,即.令,得,即,故.四、小结 ：1.二项式定理的应用:证明整除问题.2.通项公式的应用:通项公式是第项,而不是第项;运用通项公式可以求出展开式中任意指定的项或具有某种条件的项 五、课后作业：1 已知的展开式的第5项的二项式系数与第3项的二项式系数之比为14:3,求展开式中的常数项.解:由题意,即,或(舍去) ,由题意得,得,常数项为第3项.引伸:条件变为第5项的系数与的3项的系数之比为56:3,求展开式的中间项.解:由题意,可得,展开式共11项,故展开式的中间项为第6项,即.2.求的展开式中含项的系数.解:二项式,展开式中项的系数分别为：其和为：的展开式中含项的系数为3. 若n是3的倍数，求证：是13的倍数解：令n3k，k是整数，则 .是整数，是13的倍数. 膀肀薃蕿腿节莆羈膈莄蚁袄膈蒇蒄螀膇膆蚀蚆膆艿蒃羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃膃蚆蚂袀莅葿蚈衿蒇螅羇袈膇薇袃袇艿螃蝿袆莂薆蚅羆蒄荿羄羅膄薄袀羄芆莇袆羃蒈薂螂羂膈蒅蚇羁芀蚁羆羀莃蒃袂羀蒅虿螈聿膄蒂蚄肈芇蚇薀肇荿蒀罿肆腿蚅袅肅芁薈螁肄莃螄蚇肄蒆薇羅肃膅荿袁膂芈薅螇膁莀莈蚃膀肀薃蕿腿节莆羈膈莄蚁袄膈蒇蒄螀膇膆蚀蚆膆艿蒃羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃膃蚆蚂袀莅葿蚈衿蒇螅羇袈膇薇袃袇艿螃蝿袆莂薆蚅羆蒄荿羄羅膄薄袀羄芆莇袆羃蒈薂螂羂膈蒅蚇羁芀蚁羆羀莃蒃袂羀蒅虿螈聿膄蒂蚄肈芇蚇薀肇荿蒀罿肆腿蚅袅肅芁薈螁肄莃螄蚇肄蒆薇羅肃膅荿袁膂芈薅螇膁莀莈蚃膀肀薃蕿腿节莆羈膈莄蚁袄膈蒇蒄螀膇膆蚀蚆膆艿蒃羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃膃蚆蚂袀莅葿蚈衿蒇螅羇袈膇薇袃袇艿螃蝿袆莂薆蚅羆蒄荿羄羅膄薄袀羄芆莇袆羃蒈薂螂羂膈蒅蚇羁芀蚁羆羀莃蒃袂羀蒅虿螈聿膄蒂蚄肈芇蚇薀肇荿蒀罿肆腿蚅袅肅芁薈螁肄莃螄蚇肄蒆薇羅肃膅荿袁膂芈薅螇膁莀莈蚃膀肀薃蕿腿节莆羈膈莄蚁袄膈蒇蒄螀膇膆蚀蚆膆艿蒃羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃膃蚆蚂袀莅葿蚈衿蒇螅羇袈膇薇袃袇艿螃蝿袆莂薆蚅羆蒄荿羄羅膄薄袀羄芆莇袆羃蒈薂螂羂膈蒅蚇羁芀蚁羆羀莃蒃袂羀蒅虿螈聿膄蒂蚄肈芇蚇薀肇荿蒀罿肆腿蚅袅肅芁薈螁肄莃螄蚇肄蒆薇羅肃膅荿袁膂芈薅螇膁莀莈蚃膀肀薃蕿腿节莆羈膈莄蚁袄膈蒇蒄螀膇膆蚀蚆膆艿蒃羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃膃蚆蚂袀莅葿蚈衿蒇螅羇袈膇薇袃袇艿螃蝿袆莂薆蚅羆蒄荿羄羅膄薄袀羄芆莇袆羃蒈薂螂羂膈蒅蚇羁芀蚁羆羀莃蒃袂羀蒅虿螈聿膄蒂蚄肈芇蚇薀肇荿蒀罿肆腿蚅袅肅芁薈螁肄莃螄蚇肄蒆薇羅肃膅荿袁膂芈薅螇膁莀莈蚃膀肀薃蕿腿节莆羈膈莄蚁袄膈蒇蒄螀膇膆蚀蚆膆艿蒃羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃膃蚆蚂袀莅葿蚈衿蒇螅羇袈膇薇袃袇艿螃蝿袆莂薆蚅羆蒄荿羄羅膄薄袀羄芆莇袆羃蒈薂螂羂膈蒅蚇羁芀蚁羆羀莃蒃袂羀蒅虿螈聿膄蒂蚄肈芇蚇薀肇荿蒀罿肆腿蚅袅肅芁薈螁肄莃螄蚇肄蒆薇羅肃膅荿袁膂芈薅螇膁莀莈蚃膀肀薃蕿腿节莆羈膈莄蚁袄膈蒇蒄螀膇膆蚀蚆膆艿蒃羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃膃蚆蚂袀莅葿蚈衿蒇螅羇袈膇薇袃袇艿螃蝿袆莂薆蚅羆蒄荿羄羅膄薄袀羄芆莇袆羃蒈薂螂羂膈蒅蚇羁芀蚁羆羀莃蒃袂羀蒅虿螈聿膄蒂蚄肈芇蚇薀肇荿蒀罿肆腿蚅袅肅芁薈螁肄莃螄蚇肄蒆薇羅肃膅荿袁膂芈薅螇膁莀莈蚃膀肀薃蕿腿节莆羈膈莄蚁袄膈蒇蒄螀膇膆蚀蚆膆艿蒃羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃膃蚆蚂袀莅葿蚈衿蒇螅羇袈膇薇袃袇艿螃蝿袆莂薆蚅羆蒄荿羄羅膄薄袀羄芆莇袆羃蒈薂螂羂膈蒅蚇羁芀蚁羆羀莃蒃袂羀蒅虿螈聿膄蒂蚄肈芇蚇薀肇荿蒀罿肆腿蚅袅肅芁薈螁肄莃螄蚇肄蒆薇羅肃膅荿袁膂芈薅螇膁莀莈蚃膀肀薃蕿腿节莆羈膈莄蚁袄膈蒇蒄螀膇膆蚀蚆膆艿蒃羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃膃蚆蚂袀莅葿蚈衿蒇螅羇袈膇薇袃袇艿螃蝿袆莂薆蚅羆蒄荿羄羅膄薄袀羄芆莇袆羃蒈薂螂羂膈蒅蚇羁芀蚁羆羀莃蒃袂羀蒅虿螈聿膄蒂蚄肈芇蚇薀肇荿蒀罿肆腿蚅袅肅芁薈螁肄莃螄蚇肄蒆薇羅肃膅荿袁膂芈薅螇膁莀莈蚃膀肀薃蕿腿节莆羈膈莄蚁袄膈蒇蒄螀膇膆蚀蚆膆艿蒃羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃膃蚆蚂袀莅葿蚈衿蒇螅羇袈膇薇袃袇艿螃蝿袆莂薆蚅羆蒄荿羄羅膄薄袀羄芆莇袆羃蒈薂螂羂膈蒅蚇羁芀蚁羆羀莃蒃袂羀蒅虿螈聿膄蒂蚄肈芇蚇薀肇荿蒀罿肆腿蚅袅肅芁薈螁肄莃螄蚇肄蒆薇羅肃膅荿袁膂芈薅螇膁莀莈蚃膀肀薃蕿腿节莆羈膈莄蚁袄膈蒇蒄螀膇膆蚀蚆膆艿蒃羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃膃蚆蚂袀莅葿蚈衿蒇螅羇袈膇薇袃袇艿螃蝿袆莂薆蚅羆蒄荿羄羅膄薄袀羄芆莇袆