工程力学36-d20a(例题).ppt

工程力学（C ） 北京理工大学理学院力学系 韩斌 ( 36 )( 36 ) （下册下册 ） 20 动量原理 本章内容 动量定理 质心运动定理 动量矩定理 ：系统的动量变化与外力的 冲量之关系 ：系统质心的运动与外 力系的主矢之关系 ：系统的动量矩变化与外 力系的主矩之关系 运动力 动力学 运动力 速度变化 大小变化 （动能变化） 力的功 大小、方 向变化 （动量变化 ） 力的冲量 质心平动 + 绕质心转动 刚体的运动 力系的主矢 力系的主矩 动能定理动能定理 动量定理动量定理 质心运动定理质心运动定理 动量矩定理动量矩定理 20.1 动量 1.质点的动量 (20.1) 表示质点机械运动的强弱程度， 是一个矢量，与速度的方向一致 。 当质点之间存在力的相互作用时，动量可 描述质点之间机械运动的传递关系。 质点动量的本质： 动量的传递 (20.2) (质点系质心的矢径公式) 对时间求导得到： (20.3) 质点系动量等于想象地将质点系的 质量都集中于质心时质心的动量。 2.质点系动量 C C (20.4) 定义为各质点动量的矢量和： O mi 3. 刚体与刚体系统的动量 (20.5) ：第i个刚体的质量； ：第i个刚体的质心的速度； (20.4) 刚体系统的动量： 刚体的动量： 质点系动量是表示其质心运动的一个特征量质点系动量是表示其质心运动的一个特征量，而 质心运动只是质点系整体运动整体运动的一个部分。 质点系的动量的特点： 20.2 冲量 元冲量 ： 力的冲量度量力在一段时间内的积累效果。 将 定义为任意力 在微小时间间隔 内的元冲量， 将 定义为力 在时间间隔 内的冲量， 并用 表示，即： 力系的冲量： 将作用于质点系上各力 的冲量的矢量和 定义为力系的冲量，其表达式为 (20.6)力的冲量： 力系的冲量 (20.7) （1）力系的冲量等于力系的主矢在同一时间间力系的冲量等于力系的主矢在同一时间间 隔内的冲量隔内的冲量。 （2）由于内力系内力系和力偶系力偶系的主矢均为零，故这 这 两种力系的冲量均为零两种力系的冲量均为零。 冲量的特点： o 例 题 20-1 20 20 动量原理动量原理 例题 o M L M ( ) 求以下刚体的动量： 例 题 20-2 20 20 动量原理动量原理 例题 均质杆OD长l，质量为m1，均质杆AB长2l，质量 为2m1，滑块A，B质量均为m2，D为AB的中点， OD杆绕O轴以角速度 转动，当OD杆与水平方 向的夹角为 时，求系统的动量。 O y x A B D O y x A B D 例 题 20-2 20 20 动量原理动量原理 例题 解 ： 系统包括四部分： 滑块A，B，杆AB，OD， P 1.求各刚体质心的速度 OD杆定轴转动：（方向垂直于OD） （方向垂直于OD） AB杆一般平面运动，速度瞬心为P： （） 例 题 20-2 20 20 动量原理动量原理 例题 （） （） （ ） 注意：为各刚体动量的矢量和为各刚体动量的矢量和 2.求系统的动量 p O y x A B D P 例 题 20-2 20 20 动量原理动量原理 例题 O y x A B D P 或表示为： x y 20.3 动量定理 1. 质点的动量定理 当质点质量不变时，牛顿第二定律可写为： (20.8) 物理意义：质点的动量的微分等于作用于其上的合力质点的动量的微分等于作用于其上的合力 的元冲量的元冲量，称为质点动量定理的微分形式质点动量定理的微分形式。 (20.9) 物理意义：质点在 至 时间间隔内动量的改变量 等于作用于其上的合力在同一时间间隔内的冲量， 称为质点动量定理的积分形式质点动量定理的积分形式。 在时间间隔 内积分： 已知质点系中质点 ，其质量为 ，速度为 ， 2.质点系动量定理 作用于质点系中质点 上的内力为 ，外力为 由质点的动量定理式(20.8)有： (20.10) (20.11) 物理意义：质点系动量的微分等于作用于其上的外力系质点系动量的微分等于作用于其上的外力系 主矢的元冲量主矢的元冲量，称为质点系动量定理的微分形式质点系动量定理的微分形式。 对上式积分 (20.12) 质点系在 至 时间间隔内动量的改变量等于作 用于其上的外力系的主矢在同一时间间隔内的冲量 ，称为质点系动量定理的积分形式质点系动量定理的积分形式。 3.动量定理的投影式 动量定理的表达式(20.11)，(20.12)都是矢量式，它们可 以向固连于惯性参考空间惯性参考空间的固定直角坐标轴固定直角坐标轴如x轴上投 影，得到相应的投影式 (20.13) (20.14) 4.质点系的动量守恒定律 若质点系的外力系的主矢 ， 由此得到 则质点系的动量守恒： 若质点系的外力系的主矢在某一固连于惯性参考空间 的直角坐标轴如x轴上的投影 ， 由此得到 则质点系的动量在该轴上的投影守恒： 以上结论统称为质点系的动量守恒定律质点系的动量守恒定律。 (20.15) (20.16) 注意注意 1.动量为矢量动量为矢量，刚体系统的动量为各刚体 动量的矢量和矢量和。 2.系统的动量的本质是描述其质量全部放在质心 后质心所在点的运动质心所在点的运动。 3.从质点系动量定理可知，质点系的内力不改变质质点系的内力不改变质 点系的动量点系的动量（但引起各部分动量的改变）。 太空中拔河，谁胜谁负？ 系统不受外力作用，动量守恒 不分胜负！不分胜负！ 炮弹在空中爆炸 质点系质心的运动只与外力系质点系质心的运动只与外力系 的主矢有关，内力并不影响质的主矢有关，内力并不影响质 点系质心的运动。点系质心的运动。 W FN1 Ff1 FN2 Ff2 人骑自行车在水平路面上 由静止出发开始前进。是 什么力使它有向前运动的 速度？ 汽车在水平路面上的起动 和停止，起主要作用的是 什么力？ 4.写动量定理或动量守恒定律的投影式，投影轴 必须是惯性系中的固定坐标轴惯性系中的固定坐标轴。 20.4 质心运动定理 1. 质点系的质心运动定理 对不变质点系 (20.15) 物理意义：质点系的质量与其质心加速度的乘积等于 作用于其上外力系的主矢，称为质心运动定理质心运动定理。 质点系质心的运动不仅与质点系的内力无关，而且 与作用于质点系上各外力的作用点位置也无关。 若质点系由n个刚体组成，则由质心矢径公式知，其 质心运动定理可表示为： (20.16) 式中：为第i个刚体的质量； 为第i个刚体的质心加速度。 质心运动定理的投影式为： （20.17) （20.18) 2. 质心运动守恒定律 当一个质点系由n个刚体组成时，若作用于其上的外 力系主矢： 且初始时系统的质心速度为零，则根据式(20.15)容易 知道，系统的质心相对于某固定点O的矢径： 设系统中各刚体的质心在同一时间间隔内产生有限位 移 ， 则由上式及系统的质心矢径公式可得： (20.17) (20.18) 若外力系的主矢在固连于惯性参考空间的直角坐标轴 如x轴上的投影为零，即 ,且初始时系统质心 速度在该轴上的投影等于零，则 (20.19) 假设各刚体的质心对该轴的坐标值在同一时间间隔产生 有限改变量 ： 以上结论称为质心运动的守恒定律质心运动的守恒定律。 (20.20) (20.21) (20.11) (20.12) (20.13) (20.14) 若质点系的外力系的主矢 ， (20.15) 若质点系的外力系的主矢在某一固连于惯性参考空间 的直角坐标轴如x轴上的投影 ， (20.16) 若质点系由n个刚体组成，其质心运动定理可表示为 ： (20.16) 式中：为第i个刚体的质量； 为第i个刚体的质心加速度。 质心运动定理的投影式为： （20.17) （20.18) 例 题 20-3 20 20 动量原理动量原理 例题 椭圆摆由质量为mA的滑块A和 质量为mB的单摆小球B构成。 滑块可沿光滑水平面滑动，AB 杆长为 l ，质量不计。试建立 系统的运动微分方程，并求水 平面对滑块A的约束力。 x y B A O x y B A O 例 题 20-3 20 20 动量原理动量原理 例题 根据质点系动量定理在x，y方向上 的投影式： x解：1.系统受力和运动分析 系统受的外力有重力，地面约束力 。 系统包括滑块和小球，为2个自由 度，取x和 为广义坐标 x y B A O x 例 题 20-3 20 20 动量原理动量原理 例题 2. 系统的动量 此式向x，y投影： 系统的动量为： 系统运动 微分方程 代入动 量定理 x y B A O x 例 题 20-3 20 20 动量原理动量原理 例题 3.求地面的约束力 列系统的质心运动定理（y 轴投影式）： 代入（1）式，得地面约束力为： (1) 又 （） 例 题 20-3 20 20 动量原理动量原理 例题 x y B A O x 注意：本题的易错之处 （1）将 视为小球的绝对 速度。 (2)在非惯性系中列动量方程。 例 题 20-4 20 20 动量原理动量原理 例题 m m M r 质量为m的两个相同小球，穿在质 量为M，半径为r的光滑圆环上， 无初速地从最高处滑下，圆环竖直 立于地面上，求M与m满足何种关 系时，圆环能从地面跳起来？ 解： 以小球为对象，分析其受力及运动状态 ： 小球受重力及环的约束力，运动轨迹 为圆周。取 为广义坐标，有 ： 例 题 20-4 20 20 动量原理动量原理 例题 n 对小球用积分形式动能定理： 此式适用于任意位置，求导可得 ： m m M r 例 题 20-4 20 20 动量原理动量原理 例题 m m M r 以圆环和小球组成质点系，在铅垂 方向列质点系质心运动定理： n （） 若圆环脱离地面，则 例 题 20-4 20 20 动量原理动量原理 例题 m m M r 若有： 则上式必在某一 值处可以满足 ！ 即： 例 题 20-5 20 20 动量原理动量原理 例题 已知AB=l ,质量为m ；平板DE的质量为2m ，水平面 光滑， 初始系统静止 。求AB倒至 角时 ED的 位移x和速度v 。 A B DEA B DEA B DE x 例 题 20-5 20 20 动量原理动量原理 例题 解： 系统为AB+DE，外力仅有铅垂方向 的重力和地面支持力。初始系统静 止，故水平方向质心运动守恒。 1.水平方向质心运动守恒 设板DE水平方向位移为向左移动了s ， A B DE x y A B DE 代入得： （） 例 题 20-5 20 20 动量原理动量原理