数学组初高中衔接校本教材(最终稿)

亲爱的交大附中新高一的同学们： 祝贺你们步入高中时代， 下面 有一个 摆在我们面前的棘手问题急需我们师生共同努力才能解决，即“ 初高中衔接问题 ”。 由于课程改革，目前我区初中是新课标，而高中 也 是新课程 的学习 ，初高中 不 衔接问题现在显得比较突出。面对教学中 将 存在的问题， 我们 高一 数学组 的 老师 们 假期里加班加点 ， 赶制了一份校本衔接教材 ，意在培养大家自学能力，同时 降低同学们初高中 衔接中 的不适应度，希望大家将假期利用起来， 一 开学 对 这篇 自学 教材 的学习将有相应的检测 ，愿大家为新学期做好准备 。 一、 数与式的运算 一 ） 、 必会的 乘法公式 【 公式 1】 22)( 2222 证明 ： 2222 )(2)()()( 22222 222222 等式成立 【 例 1】计算： 22 )312( 原式 = 22 31)2( (312312)2(2)31()2()(234222222多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列 【公式 2】 3322 )( (立方和公式 ) 证明 : 3332222322 )( 说明 :请同学用文字语言表述公式 2. 【 例 2】计算： （ 2a+b）（ 4=8 a3+【公式 3】 3322 )( (立方差公式 ) 1计算 （ 1）（ 3x+2y）（ 9= （ 2）（ 2 4） = （ 3） )916141(3121 2 （ 4）（ a+b）（ a2+ab+= 2 利用 立方和、立方 差公式 进行因式分解 （ 1） 27（ 2） 27（ 3） （ 4） 【公式 4】 3 3 3 2 2( ) 3 3a b a b a b a b 【公式 5】 3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b a b b 【 例 3】计算： （ 1） )416)(4( 2 （ 2） )41101251)(2151( 22 （ 3） )164)(2)(2( 24 （ 4） 22222 )(2( 解 ：（ 1）原式 = 333 644 （ 2）原式 = 3333811 251)21()51( （ 3）原式 = 644)()44)(4( 63322242 （ 4）原式 = 2222222 )()()( 6336233 2)( 说明 ：（ 1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构 （ 2）为了更好地使用乘法公式，记住 1、 2、 3、 4、 20 的平方数和 1、 2、 3、4、 10 的立方数，是非常 有好处的 【 例 4】已知 2 3 1 0 ，求331 的值 解 ： 2 3 1 0 0x 31 18)33(33)1) (1()11)(1( 2222 本题若先从方程 2 3 1 0 中解出 x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐本题是根据条件式与 求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算请注意整体代换法本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举 【 例 5】已知 0 求 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )a b cb c c a a b 的值 解 ： ,0 原式 =ab 3 3 3( ) ( ) ( )a a b b c c a b cb c a c a b a b c )3(3)( 32233 333 ，把代入得原式 = 33 注意字母的整体代换技巧的应用 二 ） 、根式 式子 ( 0)叫做二次根式，其性质如下： (1) 2( ) ( 0 )a a a (2) 2 | (3) ( 0 , 0 )a b a b a b (4) ( 0 , 0 )bb a 【 例 6】化简下列各式： (1) 22( 3 2 ) ( 3 1 ) (2) 22( 1 ) ( 2 ) ( 1 )x x x 解 ： (1) 原式 = | 3 2 | | 3 1 | 2 3 3 1 1 *(2) 原式 = ( 1 ) ( 2 ) 2 3 ( 2 )| 1 | | 2 |( 1 ) ( 2 ) 1 ( 1 x 2 ) x x x 说明 ：请注意性质 2 |的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论 【 例 7】计算 (没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数 )： (1) 83 (2) 323(3) 114) 3282x 解 ： (1) 83 = 4628 2383 (2) 原式 =23 ( 2 3 ) 3 ( 2 3 ) 6 3 323( 2 3 ) ( 2 3 ) (3) 原式 = 22a b a b a ba b a b (4) 原式 = 2222 2 2 2 2 2 3 222 x x x x x x x x x x x 说明 ： (1)二次根式的化简结果应满足 ： 被开方数的因数是整数 ， 因式是整式 ； 被开方数不含能开得尽方的因数或因式 (2)二次根式的化简常见类型有下列两种 ： 被开方数是整数或整式化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来； 分母中有根式 (如 323)或被开方数有分母 (如2x)这时可将其化为 如2 ，转化为 “分母中有根式 ”的情况化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简 (如 323化为 3 ( 2 3 )( 2 3 ) ( 2 3 )，其中 23 与23 叫做互为有理化因式 ) 有理化因式和分母有理化 有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做有理化因式。如 a 与 a ； 与 互为有理化因式。 分母有理化：在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化。 【 例 8】计算： (1) 2( 1 ) ( 1 ) ( )a b a b a b (2) a b a a b解 ： (1) 原式 = 22( 1 ) ( ) ( 2 ) 2 2 2 1b a a a b b a a b b (2) 原式 = 11( ) ( )a b a a b a b a b ( ) ( ) 2( ) ( )a b a b b a b 说明 ： 有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算 【 例 9】设 2 3 2 3,2 3 2 3，求 33的值 解 ： 22( 2 3 )23 7 4 3 , 7 4 3 1 4 , 12323x y x y x y 原式 = 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 4 ( 1 4 3 ) 2 7 0 2x y x x y y x y x y x y 说明 ：有关代数式的求值问题 ： (1)先化简后求值 ； (2)当直接代入运算较复杂时 ， 可根据结论的结构特点 ， 倒推几步 ， 再代入条件 ， 有时整体代入可简化计算量 1二次根式 2 成立的条件是 ( ) A 0a B 0a C 0a D a 是任意实数 2若 3x ，则 29 6 | 6 |x x x 的值是 ( ) A B C D 3计算： (1) 2( 3 4 )x y z (2) 2( 2 1 ) ( ) ( 2 )a b a b a b (3) 322 )()( (4) 221( 4 ) ( 4 )4a b a b a b 4化简 (下列 a 的取值范围均使根式有意义 )： (1) 38a (2) 1(3) 4b b a(4) 1 1 22 3 2 3 15化简： (1) 2 19 1 0 23 2 5m (2) 222 ( 0 )2x y x y 6若 112，则 33x xy yx xy y的值为 ( )： A 35B 35C 53D 537设 11,3 2 3 2，求代数式 22x xy 的值 8已知 1 1 12 0 , 1 9 , 2 12 0 2 0 2 0a x b x c x ，求代数式 2 2 2a b c a b b c a c 的值 9设 512x ，求 4221x x x 的值 10化简或计算： 练 习 (1) 1 1 3( 1 8 4 )2323 (2) 2212 2 ( 2 5 )3 52 (3) 2x x x y x x y yx y y x x y y 答案： 1 C 2 A 3 (1) 2 2 29 1 6 6 8 2 4x y z x y x z y z (2) 223 5 3 4 2 1a a b b a b (3) 2233a b (4) 331 164 2 ( ) 22 2 12a a 5 2m m 6 D 7 13368 3 9 35 10 433 , ,3 三） 、 分 式 当分式 母中至少有一个是分式时， 分式的化简常用以下两种方法： (1) 利用除法法则； (2) 利用分式的基本性质 【 例 10】化简11x解法一 ：原式 =222( 1 ) 11 ( 1 )1( 1 ) ( 1 )1 1x x x xx x x x xx x x 解法一 ：原式 =22( 1 ) 1(1 ) (1 )1 11()x x xx x x x x xx x 说明 ：解法一的运算方法是从最内部的分式入手 ， 采取通分的方式逐步脱掉繁分式 ， 解法二则是利用分式的基本性质 A A m 进行化简 一般根据题目特点综合使用两种方法 【 例 11】化简 2223 9 6 1622 7 9x x x x xx x x 解 ：原式 = 2223 9 6 1 1 6 12 ( 3 ) 3 ( 3 ) ( 3 ) 2 ( 3 )( 3 ) ( 3 9 ) ( 9 )x x x x xx x x x xx x x x x 22 ( 3 ) 1 2 ( 1 ) ( 3 ) ( 3 ) 32 ( 3 ) ( 3 ) 2 ( 3 ) ( 3 ) 2 ( 3 )x x x x xx x x x x 说明 ： (1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行 ， 当分子 、 分母为多项式时 ， 应先因式分解再进行约分化简 ； (2) 分式的计算结果应是最简分式或整式 四）、 多项式除以多项式 做竖式除法时，被除式、除式都要按同一字母的降幂排列，缺项补零（除式的缺项也可以不补零，但做其中的减法时 ，要同类项对齐），要特别注意，得到每个余式的运算都是减法。结果表示 为：被除式 =除式 商式 +余式 【例 1】 计算 )3()3( 24 解：3939333300300322224429)3()3()3( 224 计算 1 )32()2713103( 223 2 )1()22( 232 3已知 1453,2112219 23234 求： 22 答案： 132 151443)32()2713103( 2223 xx 2)1()22( 2232 x 222 )23( 练 习 二 、 因式分解 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用是一种重要的基本技能 因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法 (平方差公式和完全平方公式 )外，还有公式法 (立方和、立方差公式 )、十字相乘法和分组分解法等等 一 ） 、公式法 【例 1】 用立方和或立方差公式分解下 列各多项式： (1) 38 x (2) 7b 分析： (1)中， 382 ， (2)中 3 3 30 . 1 2 5 0 . 5 , 2 7 ( 3 ) 解： (1) 3 3 3 28 2 ( 2 ) ( 4 2 )x x x x x (2) 3 3 3 2 20 . 1 2 5 2 7 0 . 5 ( 3 ) ( 0 . 5 3 ) 0 . 5 0 . 5 3 ( 3 ) b b b b b 2( 0 . 5 3 ) ( 0 . 2 5 1 . 5 9 )b b b 说明： (1) 在运用立方 和 (差 )公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3 3 38 ( 2 )a b ，这里逆用了法则 ()n n a b ； (2) 在运用立方和 (差 )公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号 【例 2】 分解因式： (1) 343 81a b b (2) 76a 分析： (1) 中应先提取公因式再进一步分解； (2) 中提取公因式后，括号内出现 66，可看着是 3 2 3 2( ) ( )或 2 3 2 3( ) ( ) 解： (1) 3 4 3 3 2 23 8 1 3 ( 2 7 ) 3 ( 3 ) ( 3 9 )a b b b a b b a b a a b b (2) 7 6 6 6 3 3 3 3( ) ( ) ( )a a b a a b a a b a b 2 2 2 22 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )a a b a a b b a b a a b ba a b a b a a b b a a b b 二 )、分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式而对于四项以上的多项式，如 m a m b n a n b 既没有公式可用，也没有公因式可以提取因此，可以先将多项式分组处理这种 利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法 分组分解法的关键在于如何分组 1分组后能提取公因式 【例 3】 把 2 1 0 5a x a y b y b x 分解因式 分析： 把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按 x 的降幂排列，然后从两组分别提出公因式 2a 与 b ，这时另一个因式正好都是 5，这样可以继续提取公因式 解： 2 1 0 5 2 ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 2 )a x a y b y b x a x y b x y x y a b 说明： 用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法 本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试 【例 4】 把 2 2 2 2( ) ( )a b c d a b c d 分解因式 分析： 按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式 解： 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )a b c d a b c d a b c a b d a c d b c d 2 2 2 2( ) ( )a b c a c d b c d a b d ( ) ( ) ( ) ( )a c b c a d b d b c a d b c a d a c b d 说明： 由例 3、例 4 可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律由此可以看出 运算律在因式分解中所起的作用 2分组后能直接运用公式 【例 5】 把 22x y a x a y 分解因式 分析： 把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是 ；把第三、四项作为另一组，在提出公因式 a 后，另一个因式也是 . 解： 22 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y a x a y x y x y a x y x y x y a 【例 6】 把 2 2 22 4 2 8x x y y z 分解因式 分析： 先将系数 2 提出后，得到 2 2 224x x y y z ，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继 续分解因式 解： 2 2 2 2 2 22 4 2 8 2 ( 2 4 )x x y y z x x y y z 222 ( ) ( 2 ) 2 ( 2 ) ( 2 )x y z x y z x y z 说明： 从例 5、例 6 可以看出： 如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式 三 )、十字相乘法 1 2 ()x p q x p q 型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是 1； (2) 常数项是两个数之积； (3) 一次项系数是常数项的两个因数之和 22( ) ( ) ( ) ( ) ( )x p q x p q x p x q x p q x x p q x p x p x q 因此， 2 ( ) ( ) ( )x p q x p q x p x q 运用这个公式，可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式 【例 7】 把下列各式因式分解： (1) 2 76 (2) 2 13 36 解： (1) 6 ( 1 ) ( 6 ) , ( 1 ) ( 6 ) 7 2 7 6 ( 1 ) ( 6 ) ( 1 ) ( 6 )x x x x x x (2) 3 6 4 9 , 4 9 1 3 2 1 3 3 6 ( 4 ) ( 9 )x x x x 说明： 此例可以看出， 常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数 的符号 相同 【例 8】 把下列各式因式分解： (1) 2 5 24 (2) 2 2 15 解： (1) 2 4 ( 3 ) 8 , ( 3 ) 8 5 2 5 2 4 ( 3 ) ( 8 ) ( 3 ) ( 8 )x x x x x x (2) 1 5 ( 5 ) 3 , ( 5 ) 3 2 2 2 1 5 ( 5 ) ( 3 ) ( 5 ) ( 3 )x x x x x x 说明： 此例可以看出， 常数项为 负 数时，应分解为两个 异 号 的 因数， 其中绝对值较大的因数 与一次项系数 的符号 相同 【例 9】 把下列各式因式分解： (1) 226x xy y (2) 2 2 2( ) 8 ( ) 1 2x x x x 分析： (1) 把 226x xy y 看成 x 的二次三项式，这时常数项是 26y ，一次项系数是y ，把 26y 分解成 3y 与 2y 的积，而 3 ( 2 )y y y ，正好是一次项系数 (2) 由换元思想，只要把 2整体看作一个字母 a ，可不必写出，只当作分解二次三项式 2 8 12 解： (1) 2 2 2 26 6 ( 3 ) ( 2 )x x y y x y x x y x y (2) 2 2 2 2 2( ) 8 ( ) 1 2 ( 6 ) ( 2 )x x x x x x x x ( 3 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 1 )x x x x 2一般二次三项式 2ax bx c型的因式分解 大家知道， 21 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2( ) ( ) ( )a x c a x c a a x a c a c x c c 反过来，就得到： 21 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2( ) ( ) ( )a a x a c a c x c c a x c a x c 我们发现，二次项系数 a 分解成12数项 c 分解成121 2 1 2, , ,a a c ，这里按斜线交叉相乘，再相加， 就得到1 2 2 1a c a c，如果它正好等于 2ax bx c的一次项系数 b ，那么 2ax bx c就可以分解成1 1 2 2( ) ( )a x c a x c，其中11,2, 这种 借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解 因式的方法，叫做十字相乘法 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解 【例 10】 把下列各式因式分解： (1) 212 5 2 (2) 225 6 8x xy y 解： (1) 21 2 5 2 ( 3 2 ) ( 4 1 )x x x x 324 1 (2) 225 6 8 ( 2 ) ( 5 4 )x x y y x y x y 1 254 说明： 用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是 1 时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法 ”凑 ”，看是否符合一次项系数，否则用加法 ”凑 ”，先 ”凑 ”绝对值，然后调整，添加正、负号 四 )、其它因式分解的方法 1配方法 【例 11】 分解因式 2 6 16 解： 2 2 2 2 2 26 1 6 2 3 3 3 1 6 ( 3 ) 5x x x x x ( 3 5 ) ( 3 5 ) ( 8 ) ( 2 )x x x x 说明： 这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解当然，本题还有其它方法，请大家试验 2拆、添项法 【例 12】 分解因式 3234 分析： 此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为 0了，可考虑通过添项或拆项解决 解： 3 2 3 23 4 ( 1 ) ( 3 3 )x x x x 22( 1 ) ( 1 ) 3 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 3 ( 1 ) x x x x x x x x x 22( 1 ) ( 4 4 ) ( 1 ) ( 2 )x x x x x 说明： 本解法把原常数 4 拆成 1 与 3 的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件本题还可以将 23x 拆成 22 4 ，将多项式分成两组 32()和 244x 一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步 骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式； (2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； (3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法 (如十字相乘法 )来分解； (4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止 1把下列各式分解因式： (1) 3 27a (2) 38 m (3) 327 8x 2把下列各式分解因式： (1) 34xy x (2) 33x y (3) 2 2 3 2( 2 )y x x y 3把下列各式分解因式： (1) 2 32 (2) 2 6 27 (3) 2245m m n n 4把下列各式分解因式： (1) 5 4 31 0 1 6a x a x a x (2) 2 1 26n n na a b a b (3) 22( 2 ) 9 (4) 228 2 6 1 5x x y y (5) 27 ( ) 5 ( ) 2a b a b 5把下列各式分解因式： 练 习 (1) 233a x a y x y y (2) 328 4 2 1x x x (3) 25 1 5 2 6x x x y y (4) 224 1 4x y x y (5) 432234 (6) 6 6 321x y x (7) 2 ( 1 ) ( )x x y x y x 6已知 2 ,23a b a b ，求代数式 2 2 2 22a b a b a b的值 7证明：当 n 为大于 2 的整数时， 5354n n n能被 120 整除 8已知 0 ，求证： 3 2 2 3 0a a c b c a b c b 答案： 1 2 2 2( 3 ) ( 3 9 ) , ( 2 ) ( 4 2 ) , ( 2 3 ) ( 4 6 9 ) ,a a a m m m x x x 2 2 2 2 2( ) ( ) , ( ) ( ) ,nx x y y x y x x x y x x y y 2 2 4 3 2( 1 ) ( 4 3 2 1 )y x x x x x 3 ( 2)( 1)， ( 9)( 3)， ( 5 )( )m n m n 4 3 ( 2 ) ( 8 )a x x x ； ( 3 ) ( 2 )na a b a b ； 2( 3 ) ( 1 ) ( 2 3 )x x x x ；( 2 ) ( 4 1 5 ) ,x y x y ( 7 7 2 ) ( 1 )a b a b 5 2( ) ( 3 ) , ( 2 1 ) ( 2 1 ) , ( 3 ) ( 5 2 )x y a y x x x x y ； (1 2 ) (1 ) ,x y x y 2 3 3 3 3( ) ( ) , ( 1 ) ( 1 ) , ( ) ( 1 )a b a b a b x y x y x x y x y 6 2837 535 4 ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 )n n n n n n n n 8 3 2 2 3 2 2( ) ( )a a c b c a b c b a a b b a b c 三、 一元二次方程根与系数的关系 现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述 一 ） 、一元二次方程的根的判断式 一元二次方程 2 0 ( 0 )a x b x c a ，用配方法将其变形为： 2224()2 4b b a cx a a (1) 当 2 40b 时，右端是正数因此， 方程有两个不相等的实数根 ： 2 42b b a (2) 当 2 40b 时，右端是零因此， 方程有两个相等的实数根：1,2 2bx a(3) 当 2 40b 时，右端是负数 因此， 方程没有实数根 由于可以用 2 4b 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况因此，把 2 4b 叫做一元二次方程 2 0 ( 0 )a x b x c a 的根的判别式，表示为： 2 4b 【例 1】 不解方程，判断下列方程的实数根的个数： (1) 22 3 1 0 (2) 24 9 1 2 (3) 25 ( 3 ) 6 0 解： (1) 2( 3 ) 4 2 1 1 0 ， 原方程有两个不相等的实数根 (2) 原方程可化为 ： 24 1 2 9 0 2( 1 2 ) 4 4 9 0 ， 原方程有两个相等的实数根 (3) 原方程可化为 ： 25 6 1 5 0 2( 6 ) 4 5 1 5 2 6 4 0 ， 原方程没有实数 根 说明： 在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式 【例 2】 已知关于 x 的一元二次方程 23 2 0x x k ，根据下列条件，分别求出 k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根 ； (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根 ； (4) 方程无实数根 解： 2( 2 ) 4 3 4 1 2 (1) 14 1 2 03 ； (2) 14 1 2 03 ； (3)310124 (4) 310124 【例 3】 已知实数 x 、 y 满足 22 2 1 0x y x y x y ，试求 x 、 y 的值 解： 可以把所给方程看作为关于 x 的方程，整理得： 22( 2 ) 1 0x y x y y 由于 x 是实数，所以上述方程有实数根，因此： 2 2 2 ( 2 ) 4 ( 1 ) 3 0 0y y y y y ， 代入原方程得： 2 2 1 0 1x x x 综上知： 1, 0 二 ） 、一元二次方程的根与系数的关 系 一元二次方程 2 0 ( 0 )a x b x c a 的两个根为： 2244,b b a c b b a 所以： 221244b b a c b b a c a a ， 2 2 2 2 212 224 4 ( ) ( 4 ) 422 ( 2 ) 4b b a c b b a c b b a c a c a 定理：如果一元二次方程 2 0 ( 0 )a x b x c a 的两个根为12,么： 1 2 1 2,x x 说明： 一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为 ”韦达定理 ” 【例 4】 若12, 2 2 0 0 7 0 的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212 (2) 1211； (3) 12( 5 )( 5 )； (4) 12| 分析： 本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算这里，可以利用韦达定理来解答 解： 由题意，根据根与系数的关系得：1 2 1 22 , 2 0 0 7x x x x (1) 2 2 2 21 2 1 2 1 2( ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 0 0 7 ) 4 0 1 8x x x x x x (2) 121 2 1 21 1 2 22 0 0 7 2 0 0 7x x x (3) 1 2 1 2 1 2( 5 ) ( 5 ) 5 ( ) 2 5 2 0 0 7 5 ( 2 ) 2 5 1 9 7 2x x x x x x (4) 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2| | ( ) ( ) 4 ( 2 ) 4 ( 2 0 0 7 ) 4 5 0 2x x x x x x x x 说明： 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： 2 2 21 2 1 2 1 2( ) 2x x x x x x ， 121 2 1 211 x x x ， 221 2 1 2 1 2( ) ( ) 4x x x x x x ， 21 2 1 2 1 2| | ( ) 4x x x x x x ， 221 1 2 1 2 1 2()x x x x x x x x ， 3 3 31 2 1 2 1 2 1 2( ) 3 ( )x x x x x x x x 等等韦达定理体现了整体思想 *【例 5】 一元二次方程 042 两个实根，一个比 3 大，一个比 3 小，求 a 的取值范围。 解一： 由 0)3)(3(021 解得： 3a 解二： 设 )(xf 42 ，则如图所示，只须 0)3( f ， 解得 3a *【例 6】 已知一元二次方程 065)9( 222 个根小于 0，另一根大于 2，求 a 的取值范围。 解： 如图，设 65)9()( 222 则只须 0)2(0)0(之得 38132 382 a 【例 7】 已知关于 x 的方程 221( 1 ) 1 04x k x k ，根据下列条件，分别求出 k 的值 (1) 方程两实根的积为 5； (2) 方程的两实根12, 分析： (1) 由韦达定理即可求之； (2) 有两种可能，一是120，二是12，所以要分类讨论 解： (1) 方程两实根的积为 5 222121 ( 1 ) 4 ( 1 ) 034 ,41 2154x k 所以 ， 当 4k 时 ， 方程两实根的积为 5 (2) 由12|知： 当1 0x 时 ，12所以方程有两相等实数根，故 302k ； 20 3 当1 0x 时 ，1 2 1 2 0 1 0 1x x x x k k ，由于 302k ，故 1k 不合题意，舍去 综上可得， 32k时，方程的两实根12, 说明： 根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足 0 【例 8】 已知12,4 4 1 0k x k x k 的两个实数根 (1) 是否存在实数 k ，使1 2 1 2 3( 2 ) ( 2 ) 2x x x x 成立？若存在，求出 k 的值；若不存在，请您说明理由 (2) 求使12212的值为整数的实数 k 的整数值 解： (1) 假设存在 实数 k ，使1 2 1 2 3( 2 ) ( 2 ) 2x x x x 成立 一元二次方程 24 4 1 0k x k x k 的两个实数根 240 0( 4 ) 4 4 ( 1 ) 1 6 0k kk k k k ， 又12,4 4 1 0k x k x k 的两个实数根 1212114 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 2 ) ( 2 ) 2 ( ) 5 2 ( ) 9x x x x x x x x x x x x 9 3 94 2 5k ，但 0k 不存在 实 数 k ，使1 2 1 2 3( 2 ) ( 2 ) 2x x x x 成立 (2) 2 2 21 2 1 2 1 22 1 1 2 1 2() 442 2 4 411x x x x x x kx x x x x x k k 要使其值是整数 ， 只需 1k 能被 4整除 ， 故 1 1, 2 , 4k ， 注意到 0k ， 要使12212的值为整数的实数 k 的整数值为 2, 3, 5 说明： (1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在 (2) 本题综合性较强，要学会对 41k为整数的分析方法 1一元二次方程 2(1 ) 2 1 0k x x 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ( ) A 2k B 2, 1且 C 2k D 2, 1且 2若12,2 6 3 0 的两个根，则1211的值为 ( ) A 2 B 2 C 12D 923已知菱形 边长为 5，两条对角线交于 O 点，且 长分别是关于 x 的方程 22( 2 1 ) 3 0x m x