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文档简介
习题课 一、 求不定积分的基本方法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、几种特殊类型的积分 不定积分的计算方法 第四章 一、 求不定积分的基本方法 1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 . 2. 换元积分法 第一类换元法 第二类换元法 (注意常见的换元积分类型) (代换: ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 分部积分法 使用原则: 1) 由易求出 v ; 2)比好求 . 一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺序, 排前者取为 u , 排后者取为 计算格式: 列表计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多次分部积分的 规 律 机动 目录 上页 下页 返回 结束 快速计算表格: 特别: 当 u 为 n 次多项式时,计算大为简便 . 例1. 求 解: 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求 解: 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析: 例3. 求 解 : 原式 分部积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 设 解: 令 求积分 即 而 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 求 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 求 解: 取 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 此法特别适用于 如下类型的积分: 例7. 设 证: 证明递推公式: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8. 求 解: 设 则 因连续 , 得 记作 得 利用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例9. 设 解: 为的原函数,且 求 由题设 则 故 即 , 因此 故 又 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、几种特殊类型的积分 1. 一般积分方法 有理函数 分解 多项式及 部分分式之和 指数函数有理式 指数代换 三角函数有理式 万能代换 简单无理函数 三角代换 根式代换 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 需要注意的问题 (1) 一般方法不一定是最简便的方法 , (2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 , 要注意综合 使用各种基本积分法, 简便计算 . 因此不一 定都能积出. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如 , 例10. 求 解: 令则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例11. 求 解: 令 比较同类项系数, 故 原式 说明: 此技巧适用于形为的积分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例12. 解 ： 因为 及 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例13. 求不定积分 解: 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例14. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解:I = 例15. 求 解: ( n 为自然数) 令 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作
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