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第八章 分离变量法 本章中心内容 用分离变量法求解各种有界问题； 本章基本要求 n掌握有界弦的自由振动解及其物理意义 n着重掌握分离变量法的解题思路、 解题步骤及其核心问题-本征值问题 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 问题的引入 (1) (2) (3) 行波法 达朗贝尔公式 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 前一章所讲的行波法，适用范围会受到一定限制 本章介绍的分离变量法（又称为本征函数展开 法）是解偏微分方程定解问题最常用的重要方法 其基本思想是把偏微分方程分解为几个常 微分方程，其中有的常微分方程带有附加 条件从而构成本征值问题 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 8.1 分离变量理论 8.1.1 偏微分方程变量分离及条件 对于一个给定的偏微分方程实施变量分离应该 具备什么条件？ 假设 （8.1.2）的解有下列分离的形式 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 1. 常系数偏微分方程 讨论讨论: : 若（8.1.4）的系数均为常数，并分别用小写的 代表 ，将方程两边同 除以XY, 则 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 要等式恒成立，只能它们等于一个既不依赖于x,也 不依赖于y的常数，记为 ，从而得到两个常微分方 程 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 2. 2. 变系数偏微分方程变系数偏微分方程 对于变系数函数 ，假设存在某一个函数 ，使得方程除以 后变为可分离的形式 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 上式要恒成立，只有它们均等于同一个常数，记为 ，从而得到两个常微分方程常微分方程 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 由以上讨论知道：对于常系数二阶偏微分齐次方 程，总是能实施变量分离 需要满足一定的条件，即必须找到讨论2中适当的 函数才能实施变量分离 但对于变系数的二阶偏微分齐次方程 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 第一类边界条件 第二类边界条件 8.1.2 边界条件可实施变量分离的条件 第三类边界条件第三类边界条件 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 假设具体定解问题（以弦的横振动为例）的边界 条件为齐次的： Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 可见，只有当边界条件是齐次的，方可分离出单变 量未知函数的边界条件此外，进行分离变量时， 还须根据具体情况确定直角坐标系，球坐标系以及 柱坐标系 求定解问题的不恒等于零的解求定解问题的不恒等于零的解 须因此得因此得 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 8.2直角坐标系中的分离变量法 8.2.1 分离变量法介绍 例8.2.1：具体考虑长为 ，两端固定的均匀弦的自由振动 泛定方程 初始条件 （8.2.） （8.2.） （8.2.） 边界条件边界条件 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 【解】 第一步：分离变量 用分离变量法求解定解问题，具体分如下四个步骤： 变量分离形式的试探解 代入（8.2.）和（8.2.）: 等式恒成立的条件等式恒成立的条件, ,等于不依赖于等于不依赖于x x和和t t的常数。的常数。 写为 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 偏微分方程分离成两个常微分方程: (8.2.4) (8.2.5) (8.2.6) 由由齐次边界条件齐次边界条件有有 （8.2.7） 故得故得 注注: : 边界条件是齐次的，才得出（边界条件是齐次的，才得出（8.2.8.2.）这样简）这样简单的 结论，而非齐次边界条件需要转化为齐次边界条件 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 第二步：求解本征值（或称为固有值）问题 上面推导的方程 （8.2.5） （8.2.7） 三种可能逐一加以分析 求解求解（8.2.5），将 本征值 不能任意取，只能根据边界条件（8.2.7 ）取某些特定值。 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT （8.2.5）的解为 （） 和由（8.2.）确定，即有 由此解出 被排除 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT （）方程（8.2.5）的解是 解出 和由（8.2.7）确定，即 也被排除 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT （8.2.5）的解 如 ，则仍然解出 （）（） 和由（由（8.2.78.2.7）确定，即）确定，即 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 只剩下一种可能性： （8.2.8） （8.2.98.2.9） （8.2.9）正是傅里叶正弦级数的基本函数族 与与 对应的函数为 常数的这种特定数值叫作本征值，相应的解叫作 本征函数 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 第三步：先求特解，再叠加求出通解 （8.2.10） 方程的解： （8.2.11） ，由方程（8.2.4）求出相应的 对于每一个本征值对于每一个本征值 （8.2.12） 变量分离形式的特解变量分离形式的特解 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 这就是满足(8.2.1)和条件（8.2.2）的通解 （8.2.13） 线性叠加后的解线性叠加后的解 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 初始条件(8.2.3)确定叠加系数 （8.2.14） 第四步第四步: : 利用本征函数的正交性确定待定系数利用本征函数的正交性确定待定系数 (8.2.15) 可确定待定系数可确定待定系数: : 至此，定解问题（8.2.1）-(8.2.3)的解已经求出 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT (2)第二个限制：二阶线性偏微分方程的解， 不一定是分离变量的乘积形式 分离变量法是有条件的，会受到一定的限制 注意： (1)(1)第一个限制：变系数的二阶线性偏微分第一个限制：变系数的二阶线性偏微分 方程并非总能实施变量分离方程并非总能实施变量分离 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 8.2.2. 解的物理意义 特解 (8.2.12) 改写为 (8.2.16) 驻波叠加 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 振幅: 频率: 初位相: 波节: 波腹: Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 点数为2，3，4的驻波形状 图8.1 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT （成倍增长）、位相不同、振幅不同的驻波叠加而成的 所以分离变量法又称驻波法各驻波振幅的大小和位相 于是我们也可以说解是由一系列频率不同 的差异，由初始条件决定，而圆频率 与初始条件无关，所以也称为弦的本征频率 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 中最小的一个 称为基频， 相应的相应的称为基波 称为谐频， 相应的称为谐波 基波的作用往往最显著 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 坐标变量和时 间变量分离 2. 三维形式的直角坐标分离变量 三维齐次热传导方程为例: Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 在上式中平方形式来表示固有值得 亥姆霍兹方程 由于上式中函数的每一项都是单一自变量的函数 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 分离变数： 其中 上面三个方程，就是X, Y, Z的分离方程.这些方程 的通解是正弦函数与余弦函数的组合 而时间部分的解为: 因此，三维形式中热传导问题的完整解为 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 8.2.3直角坐标系分离变量例题分析 上面我们已经研究的例题8.2.1讨论的是两个 边界点均为第一类齐次边界条件的定解问题下 面讨论的例题8.2.2是既有第一类，也有第二类齐 次边界条件的定解问题；而例题8.2.3讨论的是均 为第二类齐次边界条件的定解问题，注意到本征 值和本征函数的区别 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 例8.2.2 研究定解问题： Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 【解】用分离变量法求解. 令 则方程的解是 非零解 即: Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 故得到本征值: 相应的本征函数是 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 将代入（8.2.24）解得 叠加得 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 系数由定解条件确定 傅里叶展开式系数可确定为 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 例:热传导：设物体表面温度保持零度，初始温度分布为 【解】定解问题为： (8.2.36) (8.2.37) (8.2.38) (8.2.39) (8.2.40) Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT (1) 时空变量的分离： (2) 空间变量的分离 ： 代入方程式，可得： 代入（8.2.41）式及（8.2.37） 关于 的常微分方程及边边界条件，构成本征值问题值问题 ： Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 同时， 满足 （8.2.42） 再令 可得另外两个本征值问题 和 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT (3) 求本征值问题 这三个本征值问题的本征值与本征函数分别为： Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT （8.2.46 ） 本征值相加: 本征函数相乘: Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT (4) 求解关于 (5) 解叠加起来: 的常微分方程 ： Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 其中 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 83 二维极坐标系下拉普拉斯方程分离变量 例 8.3.1 物理模型： 带电的云与大地之间的静电场近似是匀 强静电场,其电场强度 E0 是竖直的，方 向向下水平架设的输电线处于这个静 电场之中，输电线是导体圆柱，柱面由 于静电感应出现感应电荷，圆柱邻近的 静电场也就不再是匀强的了，如图8.2 所示不过离圆柱“无远限远”处的静 电场仍保持为匀强的现在研究导体圆 柱怎样改变了匀强静电场,求出柱外的 电势分布 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 解题分析：首先需要把这个物理问题表示为定解问题 取圆柱的轴为Z轴如果圆柱“无限长”，那么， 这个静电场的电场强度、电势显然与Z坐标无关，我 们只需在XY平面上加以研究就行了图8.2画出了 XY 平面上的静电场分布，圆柱面在 XY平面的剖口是圆 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 柱外的空间中没有电荷，所以电势 （在圆柱外） 满足二维的拉 普拉斯方程 导体中的电荷既然不再移动，这说明导体中各处电势相同 又因为电势只具有相对的意义，完全可以把导体的电势 当作零，从而写出边界条件 Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 在在“无限远无限远”处的静电场仍然保持为匀强的处的静电场仍然保持为匀强的 因而还有一个非齐次的边界条件 由于选取了 轴平行于 ，所以在无限远处， （8.3.3） 问题就在于求解定解问题（8.3.1）-（8.3.3） Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 【解】以变量分离形式的试探解 （8.3.4） 代入拉普拉斯方程（8.3.1），得 其中R 是 的函数，与无关；右边是的