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文档简介

5 实数的完备性 Cauchy收敛定理 : . 极限定义回顾 一、柯西基本列 定义5.1 或叙述为 : 或者用符号表述为 例1. 证明： 例2. 证明： 所以不是基本列 二、列紧性定理 定理5.1任意有界数列中必可造出收敛子列. 证明： （二分法：） 由闭区间套定理和夹逼定理： 三、柯西收敛准则 定理2： 证明： . 由例1： 由例2： 注：Cauchy收敛准则是判断数列收敛的重要方法 例4：若数列满足下面情况，判断是否收敛 解：(1)不一定，例如例2中 (2)结论成立，证明如下 例5. 证法1： 证法2： 不单调 存在 固有 u Cauchy收敛定理表明,由实数构成的基本列必存在 实数极限,这一性质我们称之为实数系统的完备性. u 有理数集合不具备这一性质, 例如有理数列 其极限为无理数 . 实数系完备性的进一步解释 思考题： 用闭区间套定理证明柯西收敛定理 . 四、小结 列紧性定理 柯西基本定理 柯西基本列 柯西（ Cauchy，A. L., 1789-1857）， 法国数学家，在数学领域，有很高的建 树和造诣包括：无穷级数的收敛性和发 散性，实变和复变函数论，微分方程、 行列式、概率和数学
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