随机误差概率密度的正态分布.ppt

例：随机误差实验结果 分区号 测量值 ( xi) 误差量 ( i) 出现次 数 （ni) 频率（ ni) 概率密度 （ni/（n i） 15.21-0.0510.0070.7 25.22-0.0430.0202.0 35.23-0.0380.0585.8 45.24-0.02180.12012.0 55.25-0.01280.18718.7 65.260340.22722.7 75.27+0.01290.19319.3 85.28+0.02170.11311.3 95.29+0.0390.0606.0 105.30+0.0420.0131.3 115.31+0.0510.0070.7 l 随机误差的频率直方图 ni/n 0.15 0.10 0.05 0.040.02-0.02-0.040 ni为在 范围内出现的次数 l 随机误差的概率密度分布曲线图 f() F() f()d d 概率密度： 与与分布函数互分布函数互 为微积分关系为微积分关系 分布分布 函数函数 一、随机误差的特点 测试条件： 研究对象在无系统误差且无 粗差的独立的等精度实验结果. 特点： 对称性：绝对值相等的正、负误差概率密度分 布曲线对称于纵轴。 抵偿性：相同条件下,当测量次数n趋于时, 全体误差的代数和为0。 单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差 的概率密度大,在=0处概率最大. 有界性：绝对值很大的误差几乎不出现。 二、概率密度的正态分布 1、随机误差必然服从正态分布，其概率密度 可由高斯方程描述。它们的概率密度分布曲 线又称之为正态分布曲线。 2、标准误差越小,精密度指数h越大,正态分 布曲线越陡, 小误差的概率密度越大，测量 值越集中,测量精密度越高。 l l 随机误差正态分布曲线图 () ()d - - - 拐点 1/(2e) 1/(2) hhh () () () 3、（曲线的拐点）的大小说明了测量值的 离散性, 故等精度测量是一种值相同的测 量。 4、正态分布曲线的关键点 峰点坐标： 拐点坐标： 概率： l 一、算是平均值与数学期望值 1. 算是平均值: 2. 随机变量的数学期望定义为随机变量的一阶 原点距，记为： 它表示了随机变量的中心位置。 l 图12 测量值的概率密度分布曲线 (x) 1/2e max() 0X0- X0X0+X 数学期望实际上就是全体测量值依概率的平均 数。对于正态分布，上式积分后可得： 正态分布重要特征之一： l全体测量值的数学期望就是测量值的真值。 在未知x0的情况下，对于有限测量列，可以利用算术 平均值x代替真值x0，用测量偏差或残余误差（简称 残差）vi=xi-x 代替测量误差 i= xi-x0 l二、方差与标准误差 l 方差定义为随机变量的二阶中心距，它表 征了随机变量相对于其中心位置（数学期望） 的离散程度。 l 对于全体测量值来说，母体的方差Dx表征 了测量值相对于其真值X0的离散程度。 l l 标准误差是方差Dx的均方根值，这也是 标准误差又称均方根误差的原因。 l l 置信区间：置信区间： l l 就是随机变量的范围就是随机变量的范围(-(-LL)LL)表示表示 l l 又：又： L=Z L=Z l l Z Z为置信系数，为置信系数， Z = L/ Z = L/ l l 置信限：置信限：L= Z L= Z l l 置信概率置信概率 (Z)(Z)：随机变量在置信区间内随机变量在置信区间内 取值的取值的概率概率. . l l 置信度：结合置信区间与置信概率置信度：结合置信区间与置信概率 l l 置信水平置信水平 (Z) (Z) ：随机变量在置信区间外随机变量在置信区间外 取值的概率取值的概率 l 图15 置信区间与置信概率 (0) 1/2 置信区间 (L) 1/2 置信概率 P= (z)=1- l Z Z (Z)(Z) Z Z (Z)(Z) Z Z (Z)(Z) Z Z (Z)(Z) 0 0 0.00000.0000 0 0 0.90.90.63180.6318 8 8 1.91.90.94250.9425 7 7 2.72.70.99300.9930 7 7 0.10.10.07960.0796 6 6 1.01.00.68260.6826 9 9 1.961.960.95000.9500 0 0 2.82.80.99480.9948 9 9 0.20.20.15850.1585 2 2 1.11.10.72860.7286 7 7 2.02.00.95450.9545 0 0 2.92.90.99620.9962 7 7 0.30.30.23580.2358 5 5 1.21.20.76980.7698 6 6 2.12.10.96420.9642 7 7 3.03.00.99730.9973 0 0 0.40.40.31080.3108 4 4 1.31.30.80640.8064 0 0 2.22.20.97210.9721 9 9 3.53.50.99530.9953 5 5 0.50.50.38290.3829 3 3 1.41.40.83840.8384 9 9 2.32.30.97850.9785 5 5 4.04.00.99930.9993 7 7 0.60.60.45140.4514 9 9 1.51.50.86630.8663 9 9 2.42.40.98360.9836 1 1 4.54.50.99990.9999 3 3 0.67450.67450.50000.5000 0 0 1.61.60.89040.8904 0 0 2.52.50.98750.9875 8 8 5.05.00.99990.9999 9 9 0.70.70.51600.5160 7 7 1.71.70.91080.9108 7 7 2.582.580.99010.9901 2 2 1.00001.0000 0 0 0.80.80.57620.5762 9 9 1.81.80.92810.9281 4 4 2.62.60.99060.9906 8 8 Z=1时，置信区间： 置信概率(Z) = 0.683 = 68 .3% 置信水平 (Z) = 0 .317 = 31 .7% Z=2或Z=3时，置信区间： 2 或3 置信水平 (Z) = 5% 或 置信水平 (Z) = 0 .3 % 故 极限误差 = lim= 2 或3 原始数据必须实事求是地记录，并注明有 关情况。在整理数据时，再舍弃上述有明显错 误的数据。 l 基本方法是给出一个置信水平值（常给定 =0.05或0.01），然后确定相应的置信区间 ，则超过此区间的误差被认为是粗差，相应的 测量值予以舍弃。 l 常用这两种方法： 1）拉依达准则 2）格拉布斯准则 l一、 系统误差是一种恒定不变的或按一定规律变 化的误差. l恒定系差 l 误差的大小和符号固定不变。 l例如,仪器仪表的固有(基本)误差;工业仪表检验时,标准表的误差会引起被校表的恒定系差;仪表零 点的偏高或偏低,观察者读数时的角度不正确(对模拟式仪表而言)等所应引起的误差均属此类. l 变化系差 l 是一种按照一定规律变化的系统误差. 可分为 累计性系差、周期性系差及复杂变化系差等. l累计性系差:是一种在测量过程中,随着时间的增长,误差逐渐加大或减少的系差.它可以是随时间作 线性变化(称线性系差), 见图中直线b,也可以是非线性变化的(见图中曲线c).其原因往往是由于元 件的老化、磨损,以及工作电池的电压或电流随使用时间的加长而缓慢降低等而引起, 例如电位差 计中,滑线电阻的磨损,工作电池电压随放电时间的加长而降低等 l l 系统误差的变化特征 a恒定系差 b累计性系差 c累计性系差 d周期性系差 e复杂变化的系差 t 0 l二、系差的消除方法 l交换法 l在测量过程中,将引起系差的某些条件(如被测量的位置)相互交换,而保持其它条件不变,使产 生系差的因数对测量结果起相反作用,从而抵消了系差. l上、下读数法或换向法 l仪表测量机构的空程或间隙等的影响会造成误差,取上行读数和下行读数的平均值可以消除这 部分系差. l 校准法 l 恒定系差用偶然误差的处理方法难以判断和消除.如果测量仪器本身存在恒定系差,只能用 标准表进行现场检验或送检的办法解决.经过检定.仪表可以得到不同示值下的修正曲线或数表. l补偿法 l 在测量过程中,由于某个条件的变化或仪器的某个环节的非线性特性等会引入变化的系差. 此时常在测量系统中采取补偿措施,以便在测量过程中自动消除系差.如用热电偶测量温度时,其 参比端温度的变化会引入变化系差,减弱或消除的较好办法是在测量系统中加冷端补偿器,则可 起到自动补偿的作用等. l。 U0 调R0 ，使其平衡输出值为零 则: R1 R2 R0Rx A B CD U R1 R2 RxR0 A B CD U 交换R0与RX的位置, 再调R0 ，使其平衡输出值为零 则: l三、系统误差的估计方法 l恒定系差的估计 l恒定系差： l修正值： 测量值误差平均 值 l变化系差的估计 l精确：以函数关系式或实验公式描述 l一般：估计出变化系差的上/下限值b和a. l设ab，= （a+b）/2 （恒定部分） l e=（b a）/2 （幅值 ） 直接检测量将误差传递给间接检测量 。 一、间接测量中系统误差的传递 二、间接测量中随机误差的传递 如果直接检测的各个量之间彼此相关 ，间接检测量的计算将十分复杂，应设 法将相关量转化为独立量来计算。（去 耦） l一、随机误差的合成 l 按方和根法得到它们的标准误差: l l二、系统误差的合成 l1、恒定系差的合成 l可按代数和法合成： l当误差项数较多时，一般情况下按方和根 法合成较好。 l2.变值系差的合成 l第j 个系差的误差区间为aj,bj l系统不确定度为：ej=1/2(bj-aj) l标准误差为： j=ej/kj （系统不确定度或极限误差 与置信系数之比） l合成方法： l（1）线性相加法： l e =e1+ e2+e3+ + en l（2）方和根法： l e = e12+ e22+e32+ + en2 l（3）广义方和根法：将各变值系差的系统不确定度转 换成相应的标准误差，用方和根法合成后，得到总的 标准误差，再转化为总的系统不确定度。 l l三 、随机误差与系统误差的合成 l1.线性相加法:g=e+ l 线性相加的结果，综合不确定度g偏大。 l2.方和根法：g= e2+2 l3.广义方和根法 l四、最后结果的表示 l（1）随机不确定度（又称A类不确定度） 与系统不确定度（又称B类不确定度）在结 果中分别标明。最后结果可表示为： lM=（,e） l式中，M为被测量的测量值或计算结果；e及分别是相应的系统、随机不确 定度。 l（2）用随机不确定度与系统不确定度合成 后的综合不确定度表示之。最后结果可写 为：M g 。 l例：标准活塞式压力计实验测得各种误差因数引起的压 力的极限误差值如下。求总的不确定度（压力P=ma/S， 单位均略）。 l（1）恒定系差：=+0.2，由系统安装误差引起。 l（2）系统不确定度：e1=10.3，是由活塞有效面积S引起 的：e2=3.2，来自砝码及活塞质量（m）；e3=0.5，是由 重力加速度a的误差引起的。 l（3）随机不确定度：1=11.6，是由活塞有效面积引起 的； 2=4.8，是由砝码及活塞质量（m）引起的。 l解：设引起误差的各个因数是相互独立的，按照方和根 法合成之。总的系统不确定度为：= l e = e12+ e22+e32 = 10.32+3.22+0.52=10.8 l总的随机不确定度为： l =