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数学教学 论 学习内容 v绪论 v第一章 数学课程的基本理论 v第二章 数学学习的基本理论 v第三章 数学思维与数学学习 v第四章 数学教学的基本理论 v第五章 中学数学教学方法 v第六章 中学数学基础知识教学、基本能力培 养 v第七章 中学数学教学工作 绪论 数学教学论的研究对象、特点与研究方法 v一、数学教学论的研究对象 数学教学论是数学教育学的主体部分，而数学教育 学是研究数学教育规律的一门专业化学科，数学教育随 着社会和数学的发展而发展。关于它的研究对象有以下 几种说法： （1）前苏联的斯多利亚尔和奥加涅相的观点（） （2）美国的T基兰的观点（） （3）日本的横地清 观点（ ） 综合之，分为狭义与广义两种观点： 狭义观点：数学教育学是从学校的数学教学过程出发， 主要研究数学课程、数学学习、数学教学三个方面的问 题。核心是：教学过程。重点是：课程的制订、学生的 学习、教师的教学三大问题。（用“三角形”描述） 广义观点：研究与数学教育有关的一切问题。 （有四个层面） （一）教育哲学层面（A） （二）数学教育的历史、社会与文化层面（B） （三）数学学习与教学层面（C） （四）数学课程与评估层面（D） 这四个层面之间互相牵制、相互作用，形成一个空间“四面 体”。 v2、数学教学论的特点 （1）综合性。 （2）实践性。 （3）理论性。 （4）教育性。 综合性是数学教学理论研究的依托； 实践性是数学教学论的出发点与归宿； 理论性是数学教学论的基本要求； 教育性是数学教学论丰富的源泉。 v3.数学教学论的研究方法 (四个阶段) （1）深入调查 （2）综合研究 （3）反复实验 （4）科学评估 思考题 1.数学教学论的研究对象是什么? 2.数学教学论有哪些主要特点? 3.简述数学教学论的研究方法. 第一章 数学课程的基本理论 主要内容 v1.我国数学课程的发展状况 v2.数学课程的基本问题（数学课程的目标、 内容、体系、编写、实施、评价、改革） 关键词 课改，课程标准，课程内容，课程评价 1.1 我国数学课程的演变与发 展 v一、“文革”前的数学课程 v二、“文革”后的数学课程改革 (重点：初、高中“数学课程标准”) v三、我国数学课程改革的未来走向 1.综合化 2.研究性 3.理论与实践学习并重 1.2 数学课程的基本问题 v课程的本质 （1）课程是国家对未来人才要求的意志体现； （2）课程是科技文化发展和人类经验的结晶； （3）课程是社会与国民素质进步的反应； （4）课程是学生在自我定位基础上的自主选择。 v数学课程的基本问题： （1）数学课程的目标； （2）数学课程的内容； （3）数学课程的体系； （4）数学教材的编写； （5）数学课程的改革； （6）数学课程的评价。 一、数学课程的目标 v数学课程的总目标 （九年义务教育阶段） 包含有知识与技能、数学思考、解决问题、 情感与态度等四个方面。 （高中教育阶段） 知识技能、过程与方法、情感态度与价值观 等三维目标 二、数学课程的内容 三种观点： 观点1 课程内容即教材 观点2 课程内容即学习活动 观点3 课程内容即学习经验 内容选择方面： 第一，注意基础性。 第二，贴近社会生活。 第三，结合学生与学校教育的特点。 三、数学课程体系 课程体系组织形式的三原则 1纵向组织与横向组织 2逻辑顺序与心理顺序 3直线式与螺旋式 五、数学课程的实施 课程实施的重要角色是教师，关键是具体操 作过程。 注意以下方面： 1.课程计划本身的质量 2.广泛地交流与合作 3.课程实施的组织与领导 六、数学课程评价 评价分为内部评价与结果评价，形成性评价与总 结性评价。 内部评价：只评价课程计划的优缺点。 结果评价：评价课程实施的结果。 形成性评价：为改进现行计划所从事的评价活动 ，它是一种过程评价。它特别用于指导课程的设 计与微调。 总结性评价：课程计划实施后对其效果的评价， 主要评价课程计划的有效性。 评价模式有多种，最主要的一种是目标评价 模式。按评价原理，目标评价模式分为七个 步骤： (1)确定课程计划的目标； (2)按照行为和内容来界定每个目标； (3)确定使用目标的情境； (4)设计呈现情境的方式； (5)设计获取记录的方式； (6)确定评价时使用的计分单位； (7)设计获取代表性样本的手段。 按照课程原理，目标评价模式可概括为四个阶段： (1)确定课程目标； (2)根据目标选择课程内容； (3)根据目标组织课程内容； (4)根据目标评价课程。 注意:评价的实质,是要确定预期课程目标与实际结 果相吻合的程度。 思考题 1.你认为数学课程的基本问题中哪个最重要？说说 你的理由。 2.标准中数学课程的总目标是什么？（就高、 初中分别阐述） 第二章 数学学习的基本理论 主要内容 v1.布鲁纳、奥苏伯尔的认知学习理论。 v2.学生数学学习的心理过程。 关键词 认知结构，同化，顺应，发现学习，有意义 学习，接受学习，机械学习 引言 数学教育的对象是学生。学生获得数学知识，掌握数 学技能，发展数学能力，养成良好的数学心理品质，都是 在不断的数学学习过程中逐步完成的。因此，在讨论“教的 规律”之前，首先必须了解“学的规律”，即研究学生是如何 学习数学的问题。 对于学习的过程，有两种基本的见解: 一种是以桑代克、斯金纳为代表的刺激反应联结 学说。这种学说认为学习的过程是盲目的、渐进的，尝试 错误直至最后取得成功的过程。学习的实质就是形成刺激 与反应之间的联结。 另一种是以布鲁纳、奥苏伯尔为代表的认知学说。这 种学说认为学习的过程是原有认知结构中的有关知识与新 学习的内容相互作用，形成新的认知结构的过程。其实质 是，有内在逻辑意义的学习材料与学生原有的认知结构关 联起来，新旧知识相互作用，从而新材料在学习者头脑中 获得了新的意义。 21 认知发现理论和数学学 习 布鲁纳（美国教育心理学家）认知发现说 把学习看做是认知过程，认为学习是通过认 知，获得意义和意象，从而形成认知结构的 过程。他认为学习包含三种几乎同时发生的 过程：新知的获得；知识的改造；检 查知识是否恰当和充足。学习的实质在于发 现。该理论被称为认知发现理论。 v布鲁纳的教学理论(出自教育的过程一书): 1.教育在智育方面的目标是传授知识和发展智力。 2.要让学生学习学科知识的基本结构。 (学科的基本结构？掌握学科基本结构的意义?） 3.注重儿童的早期智力开发。 4.提倡“发现学习”的方法。(发现学习?) v布鲁纳的学习原理: 1.建构原理 2.符号原理 3.比较和变式原理 4.关联原理 (学生开始学习一个数学概念、原理或法则时,要以最合适的方法建构其代表) (学生掌握了适合于他们智力发展的符号,就能在认知上形成早期的结构) (概念由具体到抽象，需要比较和变式，要通过比较和变式 来学习数学概念.例如,有些概念本身就是通过比较定义的： 负数是正数的相反数，不是有理数的数称为无理数.总之,比 较是帮助学生直观地理解数学概念和发展其抽象水平的最有 用方式之一) (把各种概念、原理联系起来，置于一个统一的系统中进行学习) (1)在数学教学过程中，不仅应使学生掌握数学知识 的概念、定理、公式等，还应理解数学知识的来 龙去脉；应注重知识的产生过程，而不是孤立地 记住一些数学结论。 (2)在表示数学知识时，要根据学生的情况，考虑是 通过一系列实例呢，还是通过一些概念和原理， 或是一系列符号。 (3)在数学教学过程中，应把学习过的数学知识按一 定的方式构造好，以便于学生记忆和保持。 (4)为了“迁移”做好充分的准备，应使学生对数学 基本原理有深刻的理解，从而根据原理的结构， 把掌握的模式应用到类似的事物中。 (5)要使学生享受到数学智力活动的乐趣，让他们体 会到学好数学是一件非常有意义的事情。 布鲁纳的教学和学习理论，对我们的启示： 思考题 1.学科的基本结构是什么？ 布鲁纳为何主张要掌握学科的基本结构？ 2.什么是“发现学习”方法？ 2.2 认知接受理论和数学学 习 奥苏伯尔(美国心理学家)认知接受学习理论 v背景：20世纪50年代，许多数学教育工作者认为，在数学教学中普遍 应用的讲授法会导致学生的机械学习，而发现学习、探究学习是促进 有意义学习的好方法。因此，许多人否定了讲授法在学校教学中的地 位，只有部分人认为，讲授法在过去曾经起过良好的作用，不应把它 作为不好的教学方法抛弃。基于此，奥苏伯尔提出了有意义接受学习 理论。其理论属于认知心理学范畴，故称认知有意义接受学习理论 。 v奥苏伯尔理论：学习过程是学生原有认知结构中的有关知识和新学习 内容相互作用，形成新的认知结构的过程。原有的认知结构对于新的 学习始终是一个最关键的因素；一切新的学习都是在过去学习的基础 上产生的，新的概念、命题等总是通过与学生原来的有关知识相互联 系、相互作用转化为主体的知识结构。同化与顺应？是数学学习过程中 学生原有数学认知结构和新学习内容相互作用的两种不同形式，它们 往往存在于同一个学习过程中，只是各侧重不同而已。 根据学习的内容，学习分为机械学习和有意义学习 根据学习的方式，学习分为接受学习和发现学习 （注：布鲁纳提倡发现学习，奥苏伯尔提倡有意义接受学习） v机械学习指学生并未理解由符号所代表的知识，仅仅记住某个数 学符号或某个词句的组合 v有意义学习就是掌握事物的意义，把握事物内部实质性联系的学 习 v接受学习学习的内容是以定论的形式呈现给学习者。这种学习不 涉及学生任何独立的发现，只需要学习者将所学的新材料与旧知识有 机地结合起来（即内化）即可 v发现学习不把学习的主要内容提供给学习者，而必须由学生独立 发现，然后内化 有意义学习、机械学习的区分标准： 学习者原有认知结构中的适当知识是否与新学习材料建立了 “非人为的联系”（即符号所代表的新知识同原有知识的联系 ） “实质性联系”（指用不同语言或其他符号表达的同一认知内容的联系 ） 有意义学习和机械学习，发现学习和接受学习之 间存在怎样的关系呢?既彼此独立,又互相联 系。 奥苏伯尔认为，它们是交叉关系:接受学习可以 是机械学习，也可以是有意义学习；发现学习可 以是机械学习，也可以是有意义学习。 有意义义学习习 有意义义的接受学 习习 有意义义的发现发现 学 习习 机械学习习 机械的接受学习习 机械的发现发现 学习习 接受学习习 发现发现 学习习 奥苏伯尔关于有意义学习的基本观点 在学校条件下，学生的学习应当是有意义 的，而不是机械的。基于此，他认为好的讲 授教学是促进有意义学习的惟一有效方法。 探究学习、发现学习等在学校里不应经常使 用。他提倡有意义的接受学习。 学习者产生有意义接受学习的两个条件 v第一，学习者必须具有有意义学习的心向，即学生必须把 学习任务和适当的目的联系起来（如果学生企图理解学习 材料，有把新学习内容和以前学过的东西联系起来的愿望 ，那么该生就是以有意义的方式学习新内容。如果学习者 不想把新知识与以前学习的知识联系起来，那么有意义学 习就不会发生） v第二，新学习的内容和学习者原有的认知结构之间具有潜 在的意义（通过把新的数学概念和原理与已有的数学知识 相联系，学生就能把新内容同化到原有的认知结构中去。 为了保证有意义学习，教师必须帮助学生建立他们自己的 认知结构与数学学科结构之间的联系，使得每一个新的数 学概念或原理都与学习者原有认知结构中相应的数学概念 和原理相联系） 认知接受学习理论对我们的启示： v（1）在数学教育改革进一步深化的今天，数学教育界提 出了各种教学方法，例如，“启导发现法”、“茶馆式教 学法”、“六课型单元教学法”等等。究竟选择哪种教学 方法呢？奥苏伯尔的观点告诉我们，在提供某种教学方法 时，不要贬低甚至否定另一种教学方法，也不要把某种教 学方法夸大到不恰当的地步。 v（2）在班级授课制这一教学组织形式下，以接受前人发 现的知识为主的学生应以有意义的接受学习作为主要的学 习方法，辅助以发现学习，因为发现学习对于激发学生的 智慧潜能，学会发现的技巧具有积极意义。因此，数学教 育工作者就应当把更多精力放在有效的讲授教学方法上。 v（3）教学的一个最重要的出发点是学生已经知道了什么 。教学的策略就在于怎样建立学生原有认知结构中相应的 知识和新知识的联系，以及激发学生有意义学习的心向。 思考题 v1.什么是接受学习和发现学习? v2.区别机械学习与有意义学习的标准是什么 ? v3.产生有意义学习的条件是什么? 2.3 数学学习的心理过程 v学习过程:是学生原有认知结构中的有关知识和新学习内 容相互作用，形成新的认知结构的过程。 v数学学习过程:是学生把人类积累的数学知识通过认识 活动转化为个体头脑中的知识结构的过程。在转化的过程 中存在着三种结构： 一是知识结构（即知识本身的逻辑 体系.数学知识结 构是以最基本 的原理和方法为基本出发点,逻辑 地组织 起来的,因而具有逻辑 性、 系统性的特点.对学习者来说,知识结 构是认识 的客体.）； 二是认识结构（或心理结构）（即人在认识 活动中的心理 过程（感觉、知觉、思维、想象、注意、记忆 等）以及个性心理特 征（情感、意志、兴趣、体质等）,它对学习者来说是主体特征.） ； 三是认知结构（它是学习者头脑里的知识结构,是学习者观念的全 部内容和组织.它不仅包括学习者头脑中的全部知识,而且还有这些知 识的内部组织方式）。 知识结构、认识结构、认知结构三者之间 关系 知识 结构 认知 结构 认识 结构 相互 作用 (客体)(主体) 数学认知结构 v数学认知结构即学生头脑里的数学知识按照自己的理 解深度、广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维、联 想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。 数学认知结构的特点： 第一,它是数学知识结构和学生的心理结构相互作用的产 物。 第二,它是学生头脑中已有数学知识、经验的组织。 第三,它可以在各种抽象水平上来表征数学知识。 第四,学生的认知结构具有各自的个性特点（差异）。 第五,它在数学认知活动中发挥着积极的作用。 第六,它是在数学认知活动中形成，发展，完善的动态组 织。 第七,就功能而言，学生能借助已有认知结构掌握现有知 识，还能借助于原有认知结构创造性地解决问题。 数学学习的四个阶段 依据学生认知结构的变化，数学学习过程可以 分为四个阶段，即输入阶段、相互作用阶段、操 作阶段和输出阶段。 新的 数学 学习 内容 原有 数学 认知 结构 产生新的 数学认知 结构雏形 初步形 成新的 数学认 知结构 形成新的数 学认知结构 ，达到预期 目标 输入 阶段 输出 阶段 作用 阶段 操作 阶段 v1.输入阶段 输入阶段是给学生提供新的学习内容,创造学习情 境。目的在于引起冲突，产生学习新知识的需要 。 v2.相互作用阶段 同化与顺应 皮亚杰（瑞士心理学家）：“刺激输入的过滤或改变叫 同化；内部图式的改变，以适应现实 ，叫做顺应顺应 。” v同化是改造新学习内容使之与原有认知结构相吻 合。 v顺应则是改造学生的认知结构以适应新学习内容 的需要。 同化与顺应是数学学习过程中学生原有数学认知结构 和新学习内容相互作用的两种不同形式，它们往往存在于 同一个学习过程中，只是各侧重不同而已。 v3.操作阶段 在第二阶段产生的数学认知结构雏形的基础上，通过练习 等活动，使新学习的知识得到巩固，从而初步形成新的数 学认知结构的过程。（学习者获得了一定的技能） v4.输出阶段 基于第三阶段，通过解决数学问题，使初步形成的新的数 学认知结构臻于完善，最终形成新的良好的数学认知结构 ，学习能力得到发展，达到数学学习的预期目标。 总之，无论是新知识的接受，还是纳入，都取决于学生原 有的数学认知结构。因此，在任何条件下，已有的数学认 知结构总是学习新数学内容的基础。要求教师在教学时首 先要考虑学生知道了什么，掌握到何种程度，然后再考虑 教学内容的难易程度、呈现序列等问题，确保学生原有认 知结构和新数学知识相互作用的顺利进行。 思考题 v1.什么是数学认知结构？具有哪些特点？ v 2.数学学习的基本过程可分为几个阶段？ 简述各阶段的主要任务。 第三章 数学思维与数学学习 主要内容 v1.数学思维的概念、特点和品质。 v2.创造性思维的特点及其培养的意义和基本途径 。 v3.数学学习的基本思维过程，数学思维的基本方 法。 关键词 思维，数学思维，形象思维，抽象思维，直觉思维 ，思维品质，发散思维，思维过程，观察，试验 ，比较，分析，综合，抽象，概括 v3.1 数学思维 3.1.1思维与数学思维 （1）思维的意义与特征 思维是人脑对客观现实概括的和间接的反映，它反映的是事物的本质与内 容规律性。 概括起来就是两个方面： 一是能反映。思维的器官是人脑，它能够天然的反映客体，这种天 然的反映形式就是感觉。反映的仅是事物的个别属性、个别事物及其 外部联系，属于感性认识。 二是有意识。是人脑和动物脑的一个显著区别，人脑可以产生意识 头脑中已有知识和自觉摄取知识的习性，而动物没有意识。所以 说，用意识装备起来的头脑去反映的可以是一类事物共同的、本质的 属性和事物间内在的、必然的联系，即超出了感性认识的界线，属于 理性认识。这就是思维的直接本质。 思维的显著特征：概括性反映一类事物本质特征及事物所具有的普 遍或必然的联系。概括水平是衡量思维水平的重要标志。 间接性通过其他事物的媒介作用来反映客观事物，基于此，人们才 能对那些未曾感知过或根本无法感知的事物做出反应，使人的知识范 围扩大、延伸，并可预测未来。 （2）数学思维的意义与特征 数学思维维：以数与形及其结结构关系为对为对 象，以数学 语语言与符号为载为载 体，并以认识发现认识发现 数学规规律为为 目的的一种思维维。 数学思维的特征 v第一，具有一般思维的特征； v第二，抽象性； v第三，严谨性； v第四，整体性； v第五，相似性； v第六，问题性和语言符号化。 （详见数学教学论罗增儒等，P229） 3.1.2 数学思维维的基本成分 数学思维的基本成分有具体形象思维、抽象逻辑思维、直觉思维三种。 v1形象思维及其特征 数学形象思维是借助数学形象或表象反映数学对象的本质和 规律的一种思维。 数学形象思维的过程是对一类特殊的思维材料的加工创造 过程。这类特殊的数学思维材料，就是具体可感知的表象 材料。通过对原有的数学表象的提炼改造加工处理，即按 照数学的逻辑和思维的目的对原有表象有意识地、有指 向性地选择和重新排列组合，形成新的“意向”，从而提 出数学问题或解决数学问题。 它的基本特征：以物象为思维材料，在整个思维过程中都不 脱离形象，始终具有具体可感性。 数学形象思维的功能： v第一,它以形象的形式反映数学规律，从而提供数 学问题生动而形象的整体显示。因此，易于把握 整体。 v第二,数学创造性往往从对形象的思维受到启发， 以形象思维为先导。它给数学猜想、数学方法的 提出以及数学创造带来活力。 v第三,数学形象思维可以弥补抽象思维的不足。（ 如，一块正方板，锯掉一个角，还剩几个角？若 按抽象思维形式，答案可能是“3”，若按形象思 维形式，答案则为“3或5”，显然后者是正确的 。） v2数学逻辑思维的特征 数学逻辑逻辑 思维维也称数学抽象思维维，它是借助数学概 念、判断、推理等思维维形式，通过过数学语语言来反 映数学对对象的本质质和规规律的一种思维维。 它的最基本特征：就是以反映客观事物数学本质属 性的概念为思维材料。在数学概念的基础上，通 过一定的逻辑法则进行推理，形成概念、定理、 原理。在数学逻辑思维中，概念如“珠”，逻辑 如“线”，思维结果就是“一串珠”，即概念的 逻辑链 。 数学逻辑思维方法：归纳和演绎，分析与综合， 具体与抽象。 数学逻辑思维主要功能：它是认识数学概念、建 立数学理论体系乃至其他科学理论体系最主要的 工具。 v3数学直觉思维的特征 数学直觉思维是以一定的知识经验为 基础,通过对数学对象 作总体观察,在一瞬间顿悟到对象的某方面的本质,从而 迅速作出估断的一种思维。这种思维形式，以高度省略、 概括、浓缩的方式洞察问题的实质。它由潜意识参与活 动，不受逻辑规则约 束，是一种非逻辑思维活动。 其特征是： 一、突发性（受视觉触发，突然地领悟道理，作出判断，得 出结论。） 二、直接性（没有详尽的分析和推理，直接接触结果，是一 种逻辑的跳跃。） 三、创造性（直觉思维的结果常表现出新的突破，新的结 论。） 注意！任何直觉思维都是持久探索和思考的结果，虽然在 形式上表现为逻辑的跳跃和中断，但它仍是理性的思维， 理性的积淀，而决非是盲目的。 3.1.3 数学学习与思维发展 v1.思维发 展的年龄特征 年 龄龄 阶阶 段 婴婴儿期（0 3岁岁） 幼儿期 （学前期） （36、7 岁岁） 学龄龄初期（ 小学期）（ 6、711、 12岁岁） 少年期 （11、12 14、15岁岁） 青年期 （14、15 17、18岁岁） 思 维维 水 平 感知动动作 思维维水平 具体形象 思维维水平 形象抽象思 维维水平 经验经验 型为为 主的抽象逻逻 辑辑思维维（ 经验经验 型思 维维） 理论论型为为 主的抽象逻逻 辑辑思维维， 开始形成辩辩 证证思维维（ 理论论型思 维维） v2思维发展的“关键期”与“成熟期” 一是初二年级，表现为 从经验 型思维向理 论型思维的转化，处于思维发 展的转折点 ，称之为“关键期”； 二是在高一到高二年级，这时学生的思维活 动初步形成，思维发展处于“成熟期”，高 二以后学生智力发展日趋稳定和成熟。 v3思维发展的差异性 v4思维发展与数学学习 数学学习要以学生一定的思维发 展水平为前 提，反过来，学习数学又能大力促进学生 思维的发展。教师在指导学生学习数学时 ，要与学生思维发 展的进程相吻合，既不 能不顾学生思维发 展的阶段、水平，要求 他们学习难 度过大或过于抽象的内容，从 而造成“消化不良”和学习负 担过重，也 不能低估学生思维发 展水平，降低学习要 求，阻碍学生学习潜力的发挥 ，造成教学 内容贫乏和过易，从而直接影响他们思维 发展和能力的提高。 3.1.4 数学思维品质和创造性思维的培养 v1.思维的品质 思维品质是评价和衡量学生思维优劣的重要标志。 数学思维品质主要有以下几个方面： （1）思维的广阔性 思维的广阔性又称思维的发散性，即善于全面 地看问题，思路开阔，多角度探求，多方面考虑 问题的品质。 (举例) 思维的广阔性的反面是思维的狭隘性，具体表 现在思考问题时脑 子经常放不开，跳不出条条框 框的束缚，思维处于封闭状态。 （2）思维的深刻性 思维的深刻性，是指在分析、解决问题的过程中， 能够透过事物的表象认识和把握问题的实质及其相互 关系，正确提示现象背后的规律，从复杂多变的现象 中追根求源，或将已有结果变换、推广，得到更深刻的 结果。思维的深刻性是一切思维的基础。 思维深刻性的反面是思维的肤浅性，表现为只满足一 知半解，不求甚解；考虑问题时，不去领会问题的实质 ，照葫芦画瓢。(举例) （3）思维的灵活性 思维的灵活性，又称思维的变通性，是指能依据客 观条件的变化及时调整思维方向，摆脱思维定势的影 响，灵活地运用有关知识，多角度寻求解决问题的途径 的能力。 思维灵活性的反面是思维的呆板性。受思维定势的影 响，习惯于“现成途径”，遁入业已知道的规则系统。 (举例) （4）思维的批判性 思维的批判性，是指在思维活动中独立思考 ，善于质疑，敢于发表不同的意见、看法 。既不人云亦云，也不自以为是。 思维的批判性的反面是无批判性，不善于 或不会找出自己解题中的错误。 （5）思维的敏捷性 思维的敏捷性指思维过 程的简缩 性和快速性 。特点是：一快捷，二准确。 它的反面是思维的迟钝性。(举例) （6）思维的创造性 思维的创造性表现为能独立地发现问题 、分析问题 和解决问题，主动地提出新的见解和采用新的方法的思 维品质。如数学王子高斯10岁时，对计算1+2+3+100 ，一口报出结果，即思维具有创造性的表现。 思维的创造性是创造性人才的主要特征，是人类思维 的高级形态，是智力活动的高级表现。任何创造、发明 、革新、发现等活动都离不开创造性思维。 创造性思维具有五个重要特点（心理学家林崇德教授研究结 果）： 新颖（前所未有）、独特（不同寻常）、有意义（有价值） 思维加想象 思维的产生具有突发性或称为“灵感” 分析思维与直觉思维的统一 发散思维与辐合思维（求同思维）的统一 思维的创造性的对立面是思维的保守性，表现为 受条条框框限制， 被俗套束缚，不愿多想问题 ，只求“成法”，而产生思维惰性。 v2.数学教学中的创造性思维培养 创造可分为真创造与类创造两种。真创造是科学家 和创造发明家最终产生了对人类来说是新的知识 和有社会价值的成品活动。类创造是对个体而言 的，其思维或品质对个人来说是新的，而对人类 来说是已知的，所以将这种活动称为类创 造。 创造能力的素质是每一个人、每一个正常儿童所 固有的，需要的只是善于把它们发掘出来并加以 发展。所以，我们必须摒弃“创造是天才们的专 利”的陈腐观念，树立起“人人能创造”的现代 意识，创新精神。（杨振宁教授说过:在国外,中国留学生无 论在普通大学,还是一流大学,学习成绩都是非常出色的.但是中国留学 生胆小,老师没有讲过的不敢想,老师没有做过的不敢做.朱棣文(美籍 华人,诺贝尔奖得主,美能源部长)说:美国学生学习成绩不如中国学生, 但是他有创新及冒险精神,所以往往创造出一些惊人成就.）创新 精神强,天资差的人往往比天资强而创新精神不足 的人能取得更大的成就. v数学教学中培养创造性思维的若干成功经 验： （1） 培养归纳 、类比能力，鼓励大胆猜 想; （2） 一题多解，培养发散思维能力; （3） 鼓励质疑，培养思维的批判性; （4） 重视直觉思维能力培养;(举例) （5） 引入数学开放题;（说明及举例） （6） 指导学生写数学小论文; （7） 多一点耐心与宽容; 思考题题 v1.何谓谓数学思维维？它有哪些特点？ v2.简简述数学思维维的基本成分。 v3.简述创造性思维的价值,如何培养学生的 创造性思维? 3.2 数学学习习的基本思维过维过 程 v1.分析与综合 v2.比较与分类 v3.抽象与概括 v4.演绎、归纳与类比 v5.联想与猜想 （详见罗增儒等数学教学论P237-243） 思考题 v1.数学思维的品质包括哪几个方面？举例说明。 v2.什么是分析与综合？各有什么特点？ v例如,在圆x2+y2=9上有一点P,圆内有一个定 点A(-2,0),求线段AP中点的轨迹方程.解题不 难,引入参变量,利用中点坐标公式可以推导 出它的轨迹方程. v若把条件“圆”改为椭圆、双曲线、抛物线， 解题思路相同吗？ v若把条件“圆内有一定点”改为圆上或圆外， 行吗？ v若把结论“中点的轨迹方程”改为把线段AP分 成定比k的分点的轨迹方程，解题思路仍基 本相同。 v例如,已知方程x2+x+p=0的两个虚 根为,且|-|=3,求实数p的值. v在审题中,不少学生由|-|=3得到 -=3或|-|2=(-)2,从而造成原 则性的错误,其根本原因是没有深 入思考实数的绝对值与虚数绝对值 的本质差异,从而错误,这是思维缺 乏深刻性的表现. v例如,已知二次方程 (a-b)x2+(c-a)x+(b-c)=0 (a,b,cR)有相等实根,求证 a,b,c成等差数列. v对此题,若思维呆板,则会总 是停留在利用一元二次方程 根的判别式上.由题目条件,你 能得出其他证法吗? v例如,学生刚学完两数和的平 方公式: (a+b)2=a2+2ab+b2, v对于(x+y+z)(x+y+z)=? 怎样解答? v如图,有一个边长为3的立 方体,它由27个边长为1的 小立方体组成,其中19个看 得见,8个看不见.问在边长 为n的立方体中,看不见的 边长为1的小立方体有多少 个?看得见的小立方体有多 少个? v发挥直觉思维,从大立方体 的顶面、前面、侧面各剥 去一层小立方体，剩下部 分恰好就是看不见的立方 体。 v于是边长为n的立方体，看 不见的小立方体有(n-1)3个 ， v看得见的小立方体有 n3-(n-1)3=3n2-3n+1个. v开放题是相对于传统的封闭题而言的,其主要特征: 答案不惟一或答案的可能情况不惟一. v从心理学视角加以分析,一道数学题是开放题还是封闭题, 取决于该题对解题主体激发的思维之性质. 如果激发的思维是收敛的,就是封闭题,因为解题者是 在复制别人设定的解法,遵循逻辑规则去寻求一个正确的答 案,他的思维缺少创新性. 如果激发的思维是发散性的,就是开放题,因为解题者 会同时想到多个可能的解决方向,而不限于惟一答案或进行 钻牛角尖式的探求,他在某些方面需要创造出新的思想和新 的方法才能解决问题.因此,思维的发散性是数学开放题的 思维特征. v数学开放题以其新颖的问题内容、生动的问题形式和问题 解决的发散性，给解题者发挥创造性思维提供了广阔空间 ，为培养解题者的创造能力提供了良好的载体，因此受到 全世界数学教育界的高度重视。 数学开放题 v数学命题根据思维形式一般可分成假设、推 理、判断三个要素。一个数学开放题，可视 其未知要素作如下分类： v若未知要素是假设，则为条件开放题； v若未知要素是推理，则为策略开放题； v若未知要素为判断，则为结论开放题； v若问题只给出一定的情境，其条件、解题 策略与结论都要求解题者根据给出的情境自 己寻求与设定，则可称为综合开放题。 数学开放题 数学教育学是思维活动的教 学，包含的问题有: “教什么” “如何教” 斯多利亚尔、奥加涅相 观点 T基兰观点 数学教育学研究三个对象课程、教学 、学习.好比三角形的三个顶点，分别对应 于课程设计者、教师和学生。他认为，有 关备课、教学和分析课堂活动的研究，以 及教学实验和定向的现象观察，都属于数 学教育三角形的“内部”；数学、心理学 、哲学、技术手段、符号和语言等都属于 数学教育三角形的外部。 横地清观点 数学教育研究包括七个方面：关于学 习者的数学认识和实践的研究；关于 教授学习的研究；关于教学内容 的确定和教育课程的研究；关于公共 教育机关数学教育的研究；关于数学 在社会中作用的研究；关于数学教育 史的研究；关于世界数学教育的研究 。 学科的基本结构： 指学科的基本原理，是把每门学科的事实、零散的 知识联系起来的基本概念、基本公式、基本法则 等。 掌握学科基本结构的意义： (1)懂得基本原理可以使得学科更加容易理解。 (2)掌握基本结构有助于知识的记忆。 (3)掌握基本原理有助于学习的迁移。 (4) 学习学科的基本结构，有利于缩小目前小学、 中学乃至大学的学习过程中“低级”知识和“高 级”知识之间的差距。 v发现学习: 即学生不是从教师的讲述中得到一个概念或 原则，而是在教师组织的学习情境中，学生 通过自己的头脑亲自获得知识的一种方法。 布鲁纳认为，发现法学习是使学生的理智发展达到 最高峰的有效手段。 第四章 数学教学的基本理论 主要内容 v1.中学数学教学目的。 v2.中学数学教学原则。 关键词 目标，目的，数学教学目的，教学规律 ，教学原则，数学教学原则 4.1 中学数学教学目 的 4.1.1 确定中学数学教学目的的依 据 v1依据党的教育总方针、普通中学的性质和任务 、基础教育培养目标 教育方针 “德、智、体”；“四有新人”；“三个面向”。在政治 思想、文化科学知识、能力等方面提出了要求。 具有鲜明的时代特色。 普通中学的性质与任务： 性质基础教育，是帮助受教育者打下文化基础 和做好生活准备的教育。 任务为高一级学校输送合格新生，为四化建设 培养优良的劳动后备力量（双重性）。 基础教育的培养目标： “使学生热爱社会主义，具有爱国主义精神、 良好的道德行为规范，立志为人民服务。要 使学生学好文化科学基础知识和基本技能， 培养能力，发展智力；要使学生身心得到正 常的发展，具有健康的体质；还要使学生有 一定的审美能力，并初步掌握一些劳动技能 、职业技术技能。” 4.1.1 确定中学数学教学目的的依 据 4.1.1 确定中学数学教学目的的依 据 v2. 确定中学数学教学目的要考虑数学的特点 数学的特点 : (1)高度的抽象性; (2)逻辑的严谨性 ; (3)应用的广泛性 ; (4)语言性 ; (5)幽美性 . 基于以上特点,数学的教育价值表现为: 在德育方面：培养积极进取的意志，求实 精神，净化心灵。 在智育方面：培养缜密周详的推理及严密 的运算，分析问题、解决问题的能力。 在美育方面：培养审美情趣，激发对完美 境界的追求。 数学的教育价值 4.1.1 确定中学数学教学目的的依 据 v3. 确定中学数学教学目的还要考虑学生的学 习基础、年龄特征和认识水平 (1)注意小学、初中、高中数学知识、能力及 学习方法与习惯方面的衔接。 (2)年龄特征与认识水平。 主要对象是青少年, 生理方面因素 心理方面因素 4.1.2 中学数学的教学目的 中学数学教学目的，是根据中学教育的任务，培养目标，中学数学所 能起的作用，对中学数学在“基础知识、基本技能、基本能力、个性 品质、世界观”等方面应该完成的任务作出的规定，包括初高中两个 阶段。 v1.义务教育初中数学教学目的(大纲和标准 规定) “使学生学好当代社会中每一个公民适应日常生活、参加生 产和进一步学习所必需的代数、几何的基础知识与基本技 能，并进一步培养运算能力，发展逻辑思维能力和空间观 念，并能够运用所学知识解决简单的实际问题。培养学生 良好的个性品质和初步的辩证唯物主义的观点。” 概括起来，就是三句话： (1)学好双基； (2)培养能力; (3) 进行思想教育。 v10 关于基础知识与基本技能 数学基础知识包括初中代数、几何中的概念、法则 、性质、公式、公理、定理以及数学思想方法等 。 正确理解概念是掌握数学知识的前提，而牢固掌握 法则、性质、定理、公式等数学命题和解题证题 的思想方法则是学好数学的必要条件。 技能是指完成某种任务的一种活动计划，通过 练习而获得。 数学基本技能是指按照一定的程序与步骤进行运 算、作图或画图，进行简单的推理。 v20 关于培养能力 能力是完成学习和其他活动任务的个性心理特 征。它是心理特征，要以知识为基础。 （1）逻辑思维能力正确、合理地进行思考的能 力，它在能力培养中起核心作用。具体地有观察、 比较、分析、综合、概括、抽象等形成概念的能力 ；归纳、演绎、类比进行推理论证的能力；分类与 系统化形成知识体系的能力。 这些能力表现在运用它们时的正确性、条理性、合 理性、敏捷性、灵活性和深刻性以及表述自己思想 、观点时的清晰、简明的程度上。 （2）运算能力思维能力与运算技能的结合。 由法则按步骤进行运算； 分析条件，找简捷、合理的途径与方法进行运算 。 v30 关于个性品质 正确的学习目的，浓厚的学习兴趣，顽强的学习 毅力，实事求是的科学态度，独立思考、勇于创 新的精神与良好的学习习惯。 培养个性品质的办法: (1)以数学的广泛应用,数学家富于独创的史实，使学生真 切地认识到学好数学的必要性和迫切性。明确学习目的， 端正学习态度，改进学习方法，激发学习兴趣，提高学习 的主动性和积极性。(2)利用我国数学史上的辉煌成就， 培养学生的爱国主义思想和民族自豪感、自尊心，激励学 生为赶超世界先进水平而刻苦学习。(3)通过概念的引入 ，定理的论证，习题的解答等各环节培养学生严谨精确的 治学精神，有条不紊的工作作风、实事求是的科学态度， 坚忍不拔的意志毅力，忠诚正直的高尚品格。(4)发掘数 学内容和数学方法中的辩证因素，培养学生实践第一，对 立统一，运动变化等辩证唯物主义观点。 v2普通高中数学教学目的 “使学生学好从事社会主义现代化建设和进一步学 习所必需的代数、几何的基础知识和概率统计、 微积分的初步知识，并形成基本技能；进一步培 养学生的思维能力、运算能力、空间想象能力、 解决实际问题的能力以及创新意识；进一步培养 良好的个性品质和辩证唯物主义观点。” 它的基本内容仍然是：学好双基；培养能力；进行 思想教育。 但各部分内容要求不同，强调创新意识，独立思考 ，发现问题和提出问题，进行探索和研究。 v3.初、高中数学课程标准中的数学课程 目标 （1）初中课程目标 知识与技能、数学思考、解决问题、情感 与态度等四个方面（详见标准）。 （2）高中课程目标 知识与技能、方法与过程、情感态度与价值 观等三个方面（简称“三维”目标）。 思考题 v1.确定中学数学教学目的的依据是什么？ v2.数学课程目的与数学教学目标有何异同？ 4.2 中学数学教学原则 主要内容 v一、教学原则的基本理论. v二、中学数学教学的基本原则. 关键词 v教学原则,教学规则,教学规律,严谨性,量力性 ,抽象性,具体性 4.2.1 教学原则概说 v1教学原则的意义 教学原则指导教学活动的基本原理，是客观教 学规律的主观反映，是所有教学规则的统一整体 。 v2教学原则与教学规律 (1)联系：教学原则是教学规律的反映。教学原则 是根据客观教学规律制定出来的。 (2)区别：教学规律是不依人们的意志为转移的客 观存在，是教学活动内在的本质的必然联系。 如，复习教材就可以巩固知识，这是一条教学规律，不管 我们是否愿意遵循，它都是客观存在的。我们对教学规律 只能发现、掌握和利用，决不能臆造和违背。 v3教学原则与教学规则 联系：教学原则要借助于一定的教学规则来实现， 否则，教学原则就是空洞的东西。 区别：教学规则是教学原则的组成部分和具体细节 ，每个教学原则都包含一系列具体的教学规则。 v4教学原则的确定 一要以教学实践为基础，二要以一定的理论作指导 。具体地理论基础是： （1）辩证唯物主义； （2）教育学理论； （3）心理学理论； （4）神经生理学； （5）教育工艺学。 v5教学原则体系（教学论原则） （1）科学性与思想性统一的原则； （2）理论联系实际的原则； （3）传授知识与发展能力相统一的原则； （4）老师主导作用与学生主体性相结合的原则； （5）直观性与抽象性相统一的原则； （6）系统性与循序渐进性相结合的原则； （7）理解性与巩固性相结合的原则； （8）量力性与尽力性相结合的原则； （9）统一要求和因材施教相结合的原则。 思考题 v1.何谓教学原则与教学规律？两者之间的区 别与联系是什么？ v2.确定教学原则的主要依据是什么？ 4.2.2 中学数学教学的基本原 则 v1中学数学教学原则的确定 中学数学教学原则确定依据： （1）中学数学的教学目的、数学学科的特点 ； （2）学生认知发展的基本特点。 v2数学教学原则与一般教学原则的关系 数学教学原则不能代替一般教学原则， 一般教学原则是数学教学原则的发源地。 3.中学数学教学的基本原 则 （1）严谨性与量力性相结合的原则； （2）抽象性与具体性相结合的原则； （3）理论与实际相结合的原则； （4）巩固与发展相结合的原则。 .严谨性与量力性相结合的 原则 v一、严谨性与量力性 数学严谨性的表现： 1.数学结论准确、精练； 2.数学推理严密、合乎逻辑。 数学严谨性的特点： (1)具有相对性；(2)严谨程度可以逐步达 到，逐步满足. 教学的量力性量力而行.即教学内容可被学生接 受，知识发展符合学生年龄特征。 教学上数学严谨性的要求要恰当，有一个逐步适 应、逐步提高的过程.要充分考虑中学生实际情况 ： （1）对数学语言的理解和运用存在困难; （2）推理不严; （3）思维不缜密. 刚入中学，就要求学生完全接受数学的严谨性， 是不可能的。必须顺应学生认识的发展规律，有 计划、有步骤地逐步提高，才能达到逐步理解和 掌握数学严谨性的要求。 v二、教学中严谨性与量力性相结合原则贯彻 1.教学内容应是科学的，思维要符合逻辑要求 (1)处理数学教学内容，切不可违背科学观点; (2)遵循一般的逻辑要求; 概念清楚、准确. 克服两种倾向：一是滥用学生还接受不了的语言和符号 ；二是把日常流行而不太准确的习惯语言带到课堂里。 推理有据. 推理论证言必有据,合乎逻辑. 思考缜密. 考虑问题全面，周密而不遗漏. 思路清晰. 思考问题步骤清楚、层次分明. 2.严谨程度应是学生力所能及，而又必须经 过努力才能达到 (1)选择最便于学生接受的方式处理教学内容 . (2)教学安排梯度适当，以利于有计划、有步 骤地逐步发展学生的逻辑思维能力. (3)反对主观主义教学（了解学生，不高估也 不低估学生，做到有的放矢）.如有的教师 在讲三角形高的概念时，只讲锐角三角形的高这 一种情况，就认为学生对其它类型的三角形的高 都掌握了，其实错了. .抽象性与具体性相结合原 则 v个体：一是直观具体；二是一般中的个体. v抽象：从不同事物中隔离出特殊属性而将本质概 括出来的过程. v数学的抽象性：撇开对象的具体内容，只保留客 观事物的空间形式和数量关系。表现为以下几个 方面：1、逐级抽象，逐级提高，高度概括. 2、 广泛而系统地使用数学符号，具有字词、义、符 号三位一体的特性. 3、数学的抽象必须以具体的 素材为基础. v具体与抽象的关系 v对立统一的； v数学抽象具有相对性; v感知上的具体思维的抽象思维的具体( 认识阶段的发展过程); v具体与抽象互相依赖：具体是抽象的材料， 而抽象的结果又可作为材料进行再抽象。 学生抽象思维的局限性对教学的影响 v对具体素材的依赖性; v具体与抽象的割裂; v抽象能力弱; v对抽象结论之间的关系不易掌握; 抽象性与具体性相结合原则贯 彻 v1直观教学 v2数形结合 v3. 注重观察 v4. 重视教学手段改革 、理论与实际相结合的原则 v一、数学理论与实践的关系 v1理论来源于实践 v2数学理论来源于实践，反过来又指导实 践，并接受实践检验，在实践中获得丰富、 发展与提高 v二、理论与实践相结合原则的贯彻 v1大力提高理论水平，重视一般原理和方 法的教学. 提高理论水平的关键在于对理论的理解，只有加 深理解，才能更有效地将理论用于实际，并牢固 掌握有关数学知识. v2注重联系实际，既要注意用实例说明数学应用 ，更要重视通过实例培养学生运用数学知识的能 力，在实际应用中去发现、探索数学问题. v3在教学实践中，遵循实践认识再实践 再认识的规律，充分注意数学理论来源于实 践又应用于实践，防止实用主义和理论至上两种 不良倾向. 、巩固与发展相结合的原则 v一、巩固所学知识 v二、发展思维 在数学教学中 1、要明确思维的目标与方向 提出富有启发性、挑战性的问题，创设问题情境，激发学生的思维. 2、要为思维加工提供充足的原料 3、要发展抽象思维形式 4、要让学生掌握思考的方法 v三、巩固知识与发展能力相结合原则贯彻 v1要全面系统地复习基础知识，让学生领会基本 的数学思想和方法。 v2巩固知识要着眼于发展能力。 （1）基础知识的复习，要注重数学思想、方法的培 养和训