《初三数学圆》PPT课件.ppt

圆圆 北京四中网校 圆圆知识点知识点 v点的轨迹 v三种位置关系 v垂径定理 v圆心角定理 v圆周角定理 v圆的内接四边形定 理 点的轨迹点的轨迹 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半 径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线 的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到 两条直线距离都相等的一条直线 集合： 轨迹： 三种位置关系三种位置关系 点与圆 直线与圆 圆与圆 点与圆的位置关系点与圆的位置关系 点在圆内 dr 点A在圆外 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 v直线与圆相离 dr 无交点 v直线与圆相切 d=r 有一个交点 v直线与圆相交 dR+r v外切（图2） 有一个交点 d=R+r v相交（图3） 有两个交点 R-rdR+r v内切（图4） 有一个交点 d=R-r v内含（图5） 无交点 dR-r 垂径定理垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条 弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平 分弦所对的另一条弧 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 圆心角定理圆心角定理 v圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦 相等，所对的弧相等。 圆周角定理圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：AOB和ACB是 所对的圆心角和圆周角 AOB=2ACB 圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所 对的弧是等弧 即：在O中，C、D都是所对的圆周角 C=D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆 ，所对的弦是直径 即：在O中，AB是直径 或C=90 C=90 AB是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三 角形 即：在ABC中，OC=OA=OB ABC是直角三角形或C=90 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的 中线等于斜边的一半的逆定理。 v要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：顶点在 圆上；角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆 或等圆中. 如果两个圆心角相等，那么（ ） A.这两个圆心角所对的弦相等 B.这两个圆心角所对的弧相等 C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D.以上说法都不对 v.推论： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们 所对的圆心角相等，所对的弦也相等 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们 所对的圆心角相等，所对的弧也相等 v要点诠释： (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这 一特征. (2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 弧长、扇形面积公式弧长、扇形面积公式 （1）弧长公式： （2）扇形面积公式： 侧面展开图侧面展开图 （1）圆柱侧面展开图 = （2）圆锥侧面展开图 = 垂径定理及应用 v已知，点P是半径为5的O内一点，且OP=3 ，在过点P的所有的O的弦中，弦长为整数 的弦的条数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 思路点拨：在一个圆中，过一点的最长弦是经过这一点的直径 ，最短的弦是经过这一点与直径垂直的弦.知道这些，就可以利 用垂径定理来确定过点P的弦长的取值范围. v解：作图，过点P作直径AB，过点P作弦，连 接OC 则OC=5，CD=2PC 由勾股定理，得 CD=2PC=8，又AB=10 过点P的弦长的取值范围是 弦长的整数解为8，9，10，根据圆 的对称性，弦长为9的弦有两条，所以弦长为 整数的弦共4条. 已知：O的半径为10cm，弦 ABCD，AB=12cm，CD=16cm， 求AB、CD间的距离 v 思路点拨：O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂 线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的 长表示这两条平行弦AB、CD间的距离. v 解：(1)如图，当O的圆心O位于AB、CD之间时，作 OMAB于点M，并延长 MO，交CD于N点.分别连结AO、CO. 又ABCD ONCD，即ON为弦CD的弦心距. AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm =8+6 =14(cm) v(2)如图所示，当O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即 弦AB、CD在圆 心O的同侧)时 同理可证：MN=OM-ON=8-6=2(cm) O中，平行线AB、CD间的距离是14cm或 2cm. 总结升华：解这类问题时，要依平行线与圆心间的位置 关系，分类讨论，千万别丢解. 总 升 华 ： 解 这 类 问 题 时 ， 要 依 平 行 线 与 圆 心 间 的 位 置 关 系 ， 分 类 讨 论 ， 千 万 别 丢 解. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中， 点O是的圆心，其中CD=600m，E为上一点， 且OECD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路 的半径 v思路点拨：本题是垂径定理的应用. 解：如图，连接OC 设弯路的半径为R，则OF=(R-90)m OECD CF=CD=600=300(m) 根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2 即R2=3002+(R-90)2 解得R=545 这段弯路的半径为545m 总结升华：构造直角三角形，利用垂径定理、勾股定理 ，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几 何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握 v举一反三 【变式1】有一石拱桥的桥拱是圆弧形， 如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水 面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水 面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请 说明理由 v 思路点拨：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m，是否需 要采取紧急措施，要求出DE的长，因此要先求半径R 解：不需要采取紧急措施 设OA=R，在RtAOC中，AC=30，OC=OD- CD=R-18 R2=302+(R-18)2， R2=900+R2-36R+324 解得R=34(m) 连接OM，设DE=x，在RtMOE中，ME=16 342=162+(34-x)2 x2-68x+256=0 解得x1=4，x2=64(不合题意，舍) DE=4 不需采取紧急措施 圆周角与的应用 .如图，在O中，求A的度数. 思路点拨：在同圆或等圆中，如果两条弧 相等，那么它们所对的圆心角相等，所对 的弦也相等