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2、振动动方向相同(或平行），振动频动频 率相同 作业业12 答 案 1、 (C) 3、(1) 两列波传传到P点的振动动方程为为： (2) 振动动加强： 气气 体体 动动 理理 论论 Kinetic theory of gases 第七章第七章 热现象和热运动 研究对象 单个分子 无序、具有偶然性、遵循力学规律。 研究对象特征 整体（大量分子） 服从统计规律 。 热学的研究对象和研究方法 1. 微观法 从能量的观点出发，以大量实验观测为基础逻辑 推理（运用数学） 称为热力学 。 热学的研究方法 2. 宏观法 物质的微观结构 + 统计方法 称为统计物理学。 其初级理论称为气体动理论。 7-1 热力学系统 平衡态 状态参量 一、热力学系统 系统以外的物体称为外界 热力学系统(系统)热力学所研究的对象 描述系统状态的量分宏观量和微观量 1. 宏观量 例如：体积V 、压强 p 、温度T 表示大量分子集体特征的物理量（可直接测量） 2. 微观量 例如：分子的质量m、直径 d 、速度 v、动量 p 等 描述个别分子运动状态的物理量（不可直接测量） 宏观量是大量粒子运动的集体表现，决定于微观 量的统计平均值。 二、平衡态 在不受外界影响的条件下，宏观性质不随时间变化 的状态叫平衡态。 说明 (1) 不受外界影响是指系统与外界不通过作功或 传热的方式交换能量。 (2) 热力学平衡态是动的平衡，通常把这种平衡 叫热动平衡。 (3) 平衡态是一个理想的概念。 (4) 平衡态可用一组确定 的值(p,V,T )表示，用p-V 图 上的一点来表示。 用来描述系统运动状态的物理量称为状态参量 三、状态参量 压强 、体积、温度气体的状态参量 气体施加于器壁的正压力 1、压强 p 单位：帕斯卡 (Pa) 1Pa = 1Nm-2 1atm =760mmHg= 1.01325105Pa 气体分子能自由活动的空间2、体积V 单位：米3（m3）1L=103m3 3、温度T 热力学(开氏)温标： K，冰点 为273.15K 气体质量 摩尔质量 摩尔气体常量 阿伏伽德罗常数 7-2 理想气体状态方程 解：设混合A和B前中气体的质量分别为m1和m2，由气态方程： 又设混合后A和B中气体的状态参量分别为p、V1 、T1 、 m1 和p、V2 、T2、 m2，由气态方程： 例题：两个盛有空气的容器A和B，用有活塞之细管相连(细管 体积可忽略不计)，容器A浸入温度为t1=100 C的沸水中，而容器 B浸入温度为t2= 20 C的冷却混合物中，开始时活塞关闭，容器 A中空气的压力为p1= 40cmHg ，而B中压力为p2= 50cmHg ，如 果A的容积为V1=2.510-4 m3 ，B的容积为V2= 410-4 m3 ，求活塞 打开后的稳定压力。 7-3 理想气体的压强 一、理想气体的微观模型 1、气体分子的大小与气体分子间的平均距离相比 可忽略不计，分子可以看成是质点。 2、除“碰撞”瞬间外，分子间及分子与器壁间的相 互作用可忽略不计，即在两次碰撞间，分子可看成 是匀速直线运动。 3、分子间的相互碰撞，以及分子与器壁的碰撞可 视为完全弹性碰撞。 理想气体分子好像是一个个没有大小并且除碰撞瞬 间外没有相互作用的弹性球。 二、平衡状态气体的统计假设 1、平衡态气体分子均匀地分布于容器中，即分子数 密度处处相等。 二、理想气体的压强公式 1、压强的微观实质： 2、分子沿各个方向运动的概率相同。 * * 任一时刻沿各向运动的分子数相同。 * 分子速度在各个方向分量的各种平均值相等。 这种统计假设是对大量分子而言，是大量分子的 统计平均值，且分子数越多，准确度越高。 气体的压强是由大量分子在和器壁碰撞中不断给 器壁以力的作用所引起的。 2、理想气体压强公式推导 (1) 计算一个分子在一次碰撞时施予器壁的冲量。 (2) 计算一个分子在单位时间 内碰撞施予器壁的冲量。 N个分子施予A1面的作用力 分子a施予A1面的冲量为 ： (3) 求N个分子在单位时间内施予A1面的总冲量 。 （设分子的质量为） (4) 求气体分子施予A1面的压强 N个分子沿x轴的速度 分量平方的平均值。 统计关系式 压强的物理意义 微观量的统计平均值宏观可测量量 气体的压强是由大量分子对器壁的碰撞而产生的，它 是一个统计平均量，气体分子平均平动动能也是一个统 计平均量，分子数密度实际上也是一个统计平均量。气 体压强公式给出了三个统计平均量之间的关系。建立了 宏观可测量量与微观量的统计平均值之间的关系。 宏观可测量量 7-4 理想气体的温度公式 设质量为 m 的气体分子数为N，分子质量为，则 根据理想气体的状态方程 微观量的统计平均值 分子平均平动动能 温度 T 的物理意义 1）温度是分子平均平动动能的量度，也是表征大 量分子热运动剧烈程度的物理量。 气体温度越高平均平动动能越大气体分子热运 动越剧烈。 2）温度是大量分子的集体表现，对单个分子谈温 度是没有意义的。 3）在同一温度下，各种气体分子平均平动动能均 相等，与气体的性质无关。 注意 热运动与宏观运动的区别：温度所反映的 是分子的无规则运动，它和物体的整体运动 无关，物体的整体运动是其中所有分子的一 种有规则运动的表现。 例1 在标准状态下，气体分子的平均平动动能有多大 ？1m3的气体中有多少个气体分子？这些分子的平均平 动动能的总和是多少？ 解：(1) 由气体分子的平均平动动能与温度的关系式 (2) 由关系式 p = nkT，n 为1m3的气体分子数 (3) n个分子的平均平动动能总和为 洛喜密脱数 例题2 一容器为V=1.0m3的容器内装有N1=1.01024个氧 分子和 N2= 3.01024个氮分子的混合气体，混合气体的压 强 p=2.58 104Pa。试求: (1) 分子的平均平动动能； (2) 混合气体的温度。 解：单位体积内的分子数为 7-5 能量均分定理 理想气体内能 一、自由度： 要完全确定一个物体在空间的位置所需引入的独 立坐标数。 1、质点：自由运动：3个 在平面上运动：2个 在线上运动：1个 2、刚体的自由度 刚体有6个自由度(三个平动，三个转动) 质心：3个( x, y, z ) 转轴：2个( , ) 位置：1个( ) 3、 分子的自由度： i ：表示自由度， t ：表示平动自由度， r ：转动自由度，s ：振动自由度。 i = t +r + s 1、单原子分子：i = 3 2、双原子分子： 质心：t = 3 转动：r = 2 振动：s = 1 3、多原子分子： 刚性双原子分子：i = t + r = 5 非刚性双原子分子：i =t +r + s = 6 刚性的：i = t + r = 3 + 3 = 6 二、能量均分定理 能均分定理：在温度为T 的平衡状态下，分子的每一 个自由度上都具有相同的平均动能，其大小均为 分子的平均平动动能 ： 气体处于温度为 T 的平衡态时，分子任何一个自由 度的平均能量都相等，均为 ，这就是能量按自由 度均分定理 。 分子的平均能量 刚性分子能量自由度 单原子分子 3 0 3 双原子分子 3 2 5 多原子分子 3 3 6 分子 自由度 t 平动 r 转动i 总 三、理想气体的内能 对质量为m ，摩尔质量为M 的理想气体： 物体内部所有分子各种形式热运动的动能、势能以 及分子间相互作用的势能的总和称为物体的内能。 内能是状态的函数。 内能和机械能是不同的。 理想气体的内能仅是温度T 的单值函数，即 E = E(T) 对1mol的理想气体： 理想气体内能变化 几种刚性分子理想气体的内能 理想气体的内能 单原子分子双原子分子多原子分子 例：一容器内装有某一气体(视为刚性双原子分子)，其温度 为00C，压力为 1.010-2大气压，密度为1.2410-2kg/m3。求： (1) 气体的摩尔质量； (2) 气体分子的平均平动动能和转动动能； (3) 容器单位体积内分子的总平动动能， (4) 若该气体有0.3 mol，求其内能。 上节内容回顾 一、理想气体状态方程： 二、理想气体压强公式、温度公式 三、理想气体内能 刚性双原子分子：i = 5 i 表示分子 的自由度 单原子分子：i = 3 刚性多原子分子：i = 6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律 热力学系统的统计规律： 统计规律： 大量偶然事件整体所遵从的规律 不能预测多次重复 抛硬币：抛大量次数，出现正反面 次数约各1/2，呈规律性。 伽尔顿板实验 每个小球落入哪个槽是 偶然的 少量小球按槽分布有 明显偶然性 大量小球按狭槽分布呈现规律性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 速率分布：不管分子运动速度的方向如何，只考虑 分子按速度的大小的分布的规律。 一、速率分布和分布函数 设有一定量的气体，共有N个分子，速率在 区间的分子数为N。 速率分布函数 速率分布函数的物理意义： 分布在速率v附近的单位速率间隔内的分子数占总 分子数的比率。 速率在v v+dv区间内的 分子数占总分子数的比率： 速率在v v+dv区间内 的分子数 速率分布函数归一化条件 麦克斯韦速率分布函数的数学表达式： 对麦克斯韦速率分布定律的分析说明 (1) 麦克斯韦速率分布函数 f (v)与气体的绝对温 度T 和分子的质量 有关。 (3) 速率分布曲线 二、理想气体分子的麦克斯韦速率分布律 (2) 当v=0和v时， f(v)=0，这说明分子速率 为零或速率趋于的概率 为零。 玻耳兹曼常量 二、三种统计速率 1、最概然速率vp f (v)的极大值对应的速率 将f (v)对v求导，并令其为零 气体在一定温度下分布在最概然速率vp附近单位 速率间隔内的分子数最多 。 物理意义 对给定气体，分布曲线随温度改变 对给定温度，分布曲线随气体种类改变 2、平均速率 3、方均根速率 例：氦气的速率分布曲线如图所示。求：(1) 试在 图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况； (2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率。 解:(2) O 说明下列各式的物理意义： 说明下列各式的物理意义： v1 v2速率区间内的分子数占总 分子数的百分比。 在v附近dv速率区间内的分子数 占总分子数的百分比。 在v附近dv速率区间内的分子数。 v1 v2速率区间内的分子数。 v1 v2速率区间内的分子的平均速率 整个速率区间内分子的平均速率。 7-8 气体分子的平均自由程和碰撞频率 气体分子 平均速率 氮气分子在27 0C时的平均速率为476 m .s-1. 气体扩散过程为什么 进行得那么慢呢 扩散速率( 位移/时间) 平均速率( 路程/时间) 分子在不断地碰撞， 所走路线为折线！ v分子间的碰撞可视为弹性刚球之间的碰撞，且两分 子碰撞时，它们质心间的最小距离的平均值认为是分 子的有效直径。 v自由程 free path ： 分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程。 v平均自由程 mean free path ： 每两次连续碰撞之间，一个分子自由运动的平均 路程。 v平均碰撞频率 mean collision frequency ： 单位时间内一个分子和其它分子碰撞的平均次数。 假设分子都是直径为 d 的弹性小球，只有一个分 子A 在运动，其它分子都认为是静止不动的。 设分子A 运动的速度为u，则t 时间内分子走过的 路程为：