重庆市万州区纯阳中学2015届高三上学期9月质检数学文试卷.pdf

重庆市万州区纯阳中学2015届高三上学期9月质检 数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的 四个备选项中，只有一项是符合题目要求的 1若集合A=x|0x1，B=x|x22x，则AB=( ) Ax|0x1 Bx|0x1 Cx|0x1 Dx|0x1 考点：交集及其运算 专题：集合 分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可 解答： 解：由B中的不等式变形得：x（x2）0， 解得：0x2，即B=x|0x2， A=x|0x1， AB=x|0x1 故选：A 点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关 键 2平面向量 =（1，1）， =（1，m），若 ，则m等于( ) A1 B1 C0 D1 考点：平面向量共线（平行）的坐标表示 专题：平面向量及应用 分析：直接利用向量共线的坐标表示列式计算 解答： 解： =（1，1）， =（1，m）， 由 ，得1m（1）1=0，解得：m=1 故选：B 点评：平行问题是一个重要的知识点，在2015届高考题中常常出现，常 与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的 区别若 =（a1，a2）， =（b1，b2），则 a1a2+b1b2=0， a1b2a2b1=0是基础题 3命题“若函数f（x）=exmx在0，+）上是减函数，则m1”的否 命题是( ) A若函数f（x）=exmx在0，+）上不是减函数，则m1 B若函数f（x）=exmx在0，+）上是减函数，则m1 C若m1，则函数f（x）=exmx在0，+）上是减函数 D若m1，则函数f（x）=exmx在0，+）上不是减函数 考点：四种命题 专题：简易逻辑 分析：直接写出命题的否命题，即可得到选项 解答： 解：否定命题的条件作条件，否定命题的结论作结论，即可得 到命题的否命题 命题“若函数f（x）=exmx在0，+）上是减函数，则m1”的否命题 是：若函数f（x）=exmx在0，+）上不是减函数，则m1 故选：A 点评：本题考查命题的否命题的判断与应用，基本知识的考查 4函数f（x）= +lg（1+x）的定义域是( ) A（，1） B（1，+） C（1，1） （1，+） D（，+） 考点：函数的定义域及其求法 专题：函数的性质及应用 分析：根据题意，结合分式与对数函数的定义域，可得 ，解可得答案 解答： 解：根据题意，使f（x）= +lg（1+x）有意义， 应满足 ，解可得（1，1）（1，+）； 故选：C 点评：本题考查函数的定义域，首先牢记常见的基本函数的定义域，如 果涉及多个基本函数，取它们的交集即可 5设an是等差数列，且a2+a3+a4=15，则这个数列的前5项和S5=( ) A10 B15 C20 D25 考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和 专题：计算题 分析：由等差数列的性质知3a3=15，可求a3，代入等差数列的求和公式 S5= =5a3可求 解答： 解：由等差数列的性质知3a3=15， a3=5， S5= =5a3=25， 故选D 点评：本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的简单应用，属于基 础试题 6采用随机抽样法抽到一个容量为20的样本数据，分组后，各组的频 数如下表 分组 （10，20 （20，30 （30，40 （40，50 （50， 60 （60，70 频数 2 3 x 5 y 2 已知样本数据在 A0.70 B0.50 C0.25 D0.20 考点：频率分布表；简单随机抽样 专题：计算题；概率与统计 分析：由题设条件知 ，由此能求出样本数据在区间（50，60上的频率 解答： 解：由题设条件知 ， 解得x=4，y=4， 样本数据在区间（50，60上的频率= =0.2 故选D 点评：本题考查频率的求法，是基础题解题时要认真审题，仔细解 答，注意合理地进行等价转化 7设向量 =（1，cos）与 =（1，2cos）垂直，则cos2等于 ( ) A B C0 D1 考点：二倍角的余弦；数量积判断两个平面向量的垂直关系 专题：计算题 分析：由两向量的坐标，以及两向量垂直，根据平面向量的数量积运算 法则得到其数量积为0，得出2cos21的值，然后将所求的式子利用二 倍角的余弦函数公式化简后，将2cos21的值代入即可求出值 解答： 解： =（1，cos）， =（1，2cos），且两向量垂直， =0，即1+2cos2=0， 则cos2=2cos21=0 故选C 点评：此题考查了平面向量的数量积运算法则，以及二倍角的余弦函数 公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键 8数列an的首项为1，bn为等比数列且 ，若b3=4，b6=32，则a5=( ) A16 B32 C64 D128 考点：等比数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列 分析：由bn为等比数列，且b3=4，b6=32，先求出bn=2n1，再由 ，数列an的首项为1，利用递推思想求出a5 解答： 解：bn为等比数列，且b3=4，b6=32， ，解得q=2，a1=1， bn=2n1， ，数列an的首项为1， =1， a3=12=2， =8， =64 故选C 点评：本题考查数列的第5项的求法，解题时要熟练掌握等比数列的性 质，注意递推思想的合理运用 9已知ABC中，b= ，c=2，sinC+cosC= ，则角B=( ) A30 B45 C90 D150 考点：余弦定理 专题：解三角形 分析：已知等式左边变形后，利用两角和与差的正弦函数公式变形，求 出C的度数，确定出sinC的值，再由b，c的值，利用正弦定理求出sinB 的值，即可确定出B的度数 解答： 解：ABC中，b= ，c=2，sinC+cosC= sin（C+45）= ， sin（C+45）=1，即C+45=90， C=45， 由正弦定理 = 得：sinB= = = ， bc，BC， 则B=30 故选：A 点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角 的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键 10在ABC中，P是BC边中点，角A、B、C的对边分别是a、b、c， 若 ，则ABC的形状是( ) A等边三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D等腰三角形但不是等边三角形 考点：三角形的形状判断 专题：计算题；解三角形 分析：将c +a +b = 转化为以 与 为基底的关系，即可得到答案 解答： 解： = ， = ， c +a +b =c a +b（ ）= 即c +b （a+b） = ， P是BC边中点， = （ + ）， c +b （a+b）（ + ）= ， c （a+b）=0且b （a+b）=0， a=b=c 故选A 点评：本题考查三角形的形状判断，突出考查向量的运算，考查化归思 想与分析能力，属于中档题 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题 卡相应的位置上 11已知 =a+bi，其中i为虚数单位，a，b为实数，则a+b=2 考点：复数代数形式的混合运算 专题：数系的扩充和复数 分析：利用复数的代数形式的混合运算可求得a+bi=1i，从而可得答 案 解答： 解： = = =1i=a+bi， ， a+b=2， 故答案为：2 点评：本题考查复数代数形式的混合运算，考查复数相等的概念及应 用，属于基础题 12曲线y=ex（其中e=2.71828）在x=1处的切线方程为exy=0 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题 分析：欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在 x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而 问题解决 解答： 解：f（x）=ex， y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率是e1=e，而f（1）=e， 曲线y=ex在点（1，f（1）处的切线方程为： ye=e（x1），即exy=0 故答案为：exy=0 点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲 线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题 13在等差数列an中，2a3a72+2a11=0，数列bn是等比数列，且 b7=a7，则b7=4 考点：等差数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列 分析：根据等差数列的性质化简已知条件，得到关于a7的方程，求出方 程的解得到a7的值，进而得到b7的值 解答： 解：根据等差数列的性质得：a3+a11=2a7， 2a3a72+2a11=0变为：4a7a72=0，解得a7=4，a7=0（舍去）， 所以b7=a7=4， 故答案为：4 点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质及等比数列的性质化简求 值，是一道基础题 14已知数列1，a，9是正项等比数列，数列1，b1，b2，9是等差数 列，则 的值为 考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列 分析：直接由等比数列和等差数列的性质求出a和b1+b2的值，代入要求 的式子即可 解答： 解：已知数列1，a，9是正项等比数列，则有： a2=19=9，即得：a=3 又1，b1，b2，9是等差数列，那么： b1+b2=1+9=10 故答案为 点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，是基础的计算题 15函数f（）=sin2+2（sin+cos）+3（R）的值域为1，4+2 考点：函数的值域 专题：函数的性质及应用；三角函数的求值 分析：利用倍角公式和换元法，可将求函数f（）=sin2+2（sin +cos）+3（R）的值域，转化为求二次函数在定区间上的值域问 题，进而利用二次函数的图象和性质进行解答 解答： 解：f（）=sin2+2（sin+cos）+3 =sin2+cos2+2sincos+2（sin+cos）+2 =（sin+cos）2+2（sin+cos）+2 令t=sin+cos= sin（+ ），则t ， 则y=f（）=t2+2t+2，t ， y=t2+2t+2的图象是开口朝上，且以直线t=1为对称轴的抛物线 故当t=1时，函数y=f（）=t2+2t+2取最小值1； 当t= 时，函数y=f（）=t2+2t+2取最大值4+2 ； 故函数的值域为1，4+2 故答案为：1，4+2 点评：本题考查的知识点是函数的值域，和差角公式，二倍角公式，是 二次函数和三角函数的综合应用，难度中档 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤 16已知an是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数 列 （）求数列an的通项公式； （）若数列bnan是以2为首项，2为公比的等比数列，求数列bn 的前n项和Sn 考点：数列的求和；等比数列的性质 专题：等差数列与等比数列 分析：（）利用等差数列的通项公式结合等比数列的性质，列出方程 求出公差，由此能求出数列an的通项公式 （）依题意得 ，由此利用分组求和法能求出数列bn的前n项和Sn 解答： （本小题满分，（）小问，（）小问7分） 解：（）设数列an的公差为d（d0）， 则a3=1+2d，a9=1+8d， a1=1，且a1，a3，a9成等比数列， ，即（1+2d）2=1+8d，解得：d=1或d=0（舍） 数列an的通项公式为an=n （）依题意有： ，则 ， = 点评：本题考查数列的前n项和的求法，考查数列的通项公式的求法， 是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用 17已知函数f（x）=x3+bx2ax在x=1处有极小值1 （1）求a，b的值； （2）求出函数f（x）的单调区间 考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用 分析：（1）已知函数f（x）=x3+bx2ax在x=1处有极小值1，即 f（1）=1，f（1）=0，所以先求导函数，再代入列方程组，即可解得 a、b的值； （2）分别解不等式f（x）0和f（x）0，即可得函数f（x）的单调 增区间与单调递减区间 解答： 解：（1）f（x）=3x2+2bxa，函数f（x）=x3+bx2ax在 x=1处有极小值1， f（1）=1，f（1）=0 1+ba=1，3+2ba=0 解得a=1，b=1 f（x）=x3x2x （2）f（x）=3x22x1 由f（x）=3x22x10得x（， ）（1，+） 由f（x）=3x22x10得x（ ，1） 函数f（x）的单调增区间为：（， ），（1，+），减区间为：（ ，1） 点评：本题考查导数在求函数极值中的应用，利用导数求函数的单调区 间，属于中档题 18已知等差数列an是递增数列，且满足a4a7=15，a3+a8=8 （）求数列an的通项公式； （）令bn= （n2），b1= ，求数列bn的前n项和Sn 考点：等差数列的通项公式；数列的求和 专题：计算题 分析：（1）根据等差数列的性质可知a3+a8=a4+a7，求得a4+a7的值， 进而利用a4a7判断出a4，a7为方程的两根据，则a4和a7可求，进而利 用等差数列的性质可求得公差d，则等差数列的通项公式可得 （2）把（1）求得的an代入 中求得bn，进而用裂项法求得数列的前n项的和 解答： 解：（1）根据题意：a3+a8=8=a4+a7，a4a7=15，知：a4， a7是方程x28x+15=0的两根，且a4a7 解得a4=3，a7=5，设数列an的公差为d 由 故等差数列an的通项公式为： （2） = 又 = 点评：本题主要考查了等差数列的确定和数列的求和应熟练掌握诸如 公式法，错位想减法，裂项法，叠加法等常用的数列求和的方法 19已知函数f（x）=4cos2x+4 sinxcosx1，xR （1）求函数的最小正周期、最大值及单调增区间； （2）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c；若a，b，c成等 比数列，且c=2a，求 的值 考点：等比数列的性质；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期 性及其求法 专题：等差数列与等比数列；三角函数的求值 分析：（1）利用倍角公式降幂化积，则函数的最小正周期、最大值及 单调增区间可求； （2）由a，b，c成等比数列得到a，b，c的关系，利用余弦定理求出 cosB，进一步求出sinB，把 代入（1）中的解析式化简整理求值 解答： 解：（1）由f（x）=4cos2x+4 sinxcosx1， 得 令 则 所以函数f（x）的最小正周期 ，最大值为5， 单调增区间为 ； （2）在ABC中，若a，b，c成等比数列，b2=ac， 又c=2a， ， 点评：本题考查了三角函数的恒等变换，考查了复合三角函数的单调 性，考查了等比数列的性质， 利用余弦定理通过边的转化求角B是解答该题的关键，是中档题 20等比数列 an中，an0（nN*），a1a3=4，且 a3+1是 a2和 a4的 等差中项，若bn=log2an+1 （1）求数列 bn的通项公式； （2）若数列 cn满足 cn=an+1bn，求数列cn的前n项和 考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和 专题：综合题；等差数列与等比数列 分析：（1）求数列an的通项公式，设出公比为q，由a1a3=4，a3+1是 a2和a4的等差中项，这两个方程联立即可求出首项与公比，通项易求 （2）确定数列cn的通项，利用错位相减法求出数列cn的前n项和 解答： 解：（1）设等比数列an的公比为q 由a1a3=4可得a22=4 因为an0，所以a2=2 依题意有a2+a4=2（a3+1